恒定功率拉動(dòng)下導(dǎo)體棒切割磁感應(yīng)線運(yùn)動(dòng)的深入研究*

魏詩琪 錢慧玲 黎國勝

(成都市省雙流中學(xué) 四川 成都 643200)

徐平川

(西華師范大學(xué)物理與空間科學(xué)學(xué)院 四川 南充 637009)

《中國高考評(píng)價(jià)體系》《高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》都對(duì)學(xué)生的模型建構(gòu)能力、質(zhì)疑創(chuàng)新能力提出了具體而明確的要求[1,2].機(jī)車以恒定功率啟動(dòng)及金屬導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)是高中物理的經(jīng)典問題和典型模型.如果將二者結(jié)合起來，讓導(dǎo)體棒在恒定功率的外力作用下在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，對(duì)學(xué)生的模型建構(gòu)能力及模型應(yīng)用能力將會(huì)是更大的挑戰(zhàn)，同時(shí)也對(duì)命題者的專業(yè)功底是更大的考驗(yàn).如果稍不注意，命題者給出的數(shù)據(jù)就會(huì)出現(xiàn)科學(xué)性錯(cuò)誤.對(duì)命題者而言避免科學(xué)性錯(cuò)誤，對(duì)學(xué)生和普通教師而言識(shí)別數(shù)據(jù)錯(cuò)誤，都非常重要而且必要.同時(shí),對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的批判、質(zhì)疑和創(chuàng)新能力也是大有裨益的.

1 試題呈現(xiàn)

【試題】如圖1所示，兩根平行光滑金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，左端連接定值電阻R=2 Ω，導(dǎo)軌間距L=1 m.整個(gè)裝置處在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2 T，一質(zhì)量m=1 kg、電阻r=1 Ω的金屬棒放在導(dǎo)軌上，在外力F的作用下以恒定的功率P=12 W從靜止開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)距離x=3 m時(shí)金屬棒達(dá)到最大速度，此時(shí)撤去外力，金屬棒最終停下，設(shè)導(dǎo)軌足夠長(zhǎng).求：

(1)金屬棒的最大速度；

(2)在這個(gè)過程中，外力F的沖量大小；

(3)撤去外力后電阻R放出的熱量.

圖1 試題題圖

2 試題解析

(1)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可知，當(dāng)金屬棒速度為v時(shí)，金屬棒中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

E=BLv

(1)

(2)

金屬棒受到的安培力

F安=BIL

(3)

當(dāng)金屬棒加速度為零時(shí)，其速度達(dá)到最大，有

P=F安vm

(4)

聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得

(2)設(shè)金屬棒經(jīng)過時(shí)間t由靜止加速至速度最大，在此過程中，金屬棒受到的平均安培力

(5)

金屬棒運(yùn)動(dòng)的距離

(6)

根據(jù)動(dòng)量定理有

I外-F安t=mvm

(7)

聯(lián)立以上各式并代入數(shù)據(jù)解得

(3)撤去外力后，金屬棒由最大速度逐漸減速至零，對(duì)此過程，根據(jù)能量守恒定律可知，電阻R放出的熱量

3 提出問題

根據(jù)題意，金屬導(dǎo)體棒在外力作用下在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做切割磁感應(yīng)線運(yùn)動(dòng)，外力的功率恒定，由于速度的增加，外力減小，同時(shí)安培力增大，導(dǎo)體棒的加速度必減小，當(dāng)加速度為零時(shí)速度最大，最后以最大速度(收尾速度)做勻速運(yùn)動(dòng).加速運(yùn)動(dòng)過程其速度隨時(shí)間怎樣變化，經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間，運(yùn)動(dòng)多大的位移才能達(dá)到最大速度？本題中位移等于3 m時(shí)棒的速度最大，不少學(xué)生和教師對(duì)此表示質(zhì)疑：位移等于3 m時(shí)棒的速度真的達(dá)到最大了嗎？如果沒有達(dá)到，那位移為多少時(shí)速度達(dá)到最大，且最大速度是多少呢？

4 問題探究

已知金屬棒運(yùn)動(dòng)時(shí)的恒定功率為P，質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)過程中受到的安培力為

則當(dāng)運(yùn)動(dòng)速度為v時(shí)，由牛頓第二定律可知

F-F安=ma

由P=Fv可得

(8)

現(xiàn)將P=12 W,B=2 T,L=1 m,m=1 kg,R=2 Ω,r=1 Ω帶入式(8)可化簡(jiǎn)得

(9)

對(duì)該微分方程進(jìn)行求解，并帶入初始條件(t=0,v0=0 m/s)，即得到速度與時(shí)間所滿足的函數(shù)關(guān)系為

(10)

式(10)中的v-t關(guān)系較為復(fù)雜，難以直接看出v-t圖像.運(yùn)用Origin作圖可以清楚地觀察到速度與時(shí)間的變化關(guān)系，如圖2所示.

圖2 v-t函數(shù)關(guān)系圖

根據(jù)圖2速度與時(shí)間關(guān)系圖像以及e指數(shù)函數(shù)特點(diǎn)可知[3]，時(shí)間t越大，則速度v將越接近最大速度vm=3 m/s，但在實(shí)際過程中永遠(yuǎn)也達(dá)不到最大速度，只能無限趨近[4].接著從式(9)出發(fā)，可對(duì)其進(jìn)行如下變換

(11)

再次求解微分方程，即可得到速度-位移所滿足的函數(shù)關(guān)系

(12)

速度與位移函數(shù)關(guān)系圖像可利用Origin作圖得到，如圖3所示.

圖3 v-x函數(shù)關(guān)系圖

結(jié)合式(12)和圖 3可以形象地反應(yīng)金屬導(dǎo)體棒的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過程，在不撤去外力的條件下，隨著金屬導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)位移的增加，速度不斷增大.理論上位移為無窮大時(shí)，速度才達(dá)到最大.當(dāng)x=3 m時(shí)，v≈2.942 m/s.當(dāng)x≈10.13 m時(shí)，v≈2.999 9 m/s，更為接近最大速度.因此，筆者建議將題中的x=3 m改為x=10 m.

5 能量判斷

對(duì)于一線中學(xué)教師而言，隨著教齡增加，對(duì)高等數(shù)學(xué)中的微分方程越來越陌生.對(duì)廣大高中生而言，沒有學(xué)過微分方程，根本無法求解出導(dǎo)體棒的速度時(shí)間關(guān)系或者位移速度關(guān)系.對(duì)此類變加速運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)的科學(xué)性怎樣判斷呢？

高中物理涉及的加速度減小的加速直線運(yùn)動(dòng)，諸如阻力作用下的雨滴下落運(yùn)動(dòng)、恒力作用下的導(dǎo)體棒切割磁感應(yīng)線運(yùn)動(dòng)等具有收尾速度的問題，理論上講運(yùn)動(dòng)時(shí)間無窮長(zhǎng)速度才會(huì)無限接近(達(dá)到)最大，因此，速度最大時(shí)位移理論上應(yīng)為無窮大.在數(shù)據(jù)設(shè)置時(shí)，位移要盡可能給大點(diǎn).多大合適呢？判斷的方法和依據(jù)是什么呢？

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》明確提出了學(xué)科核心素養(yǎng)，高中物理學(xué)科核心素養(yǎng)的一個(gè)重要方面就是物理觀念，其中能量轉(zhuǎn)化與守恒的觀念是物理學(xué)中非常重要的觀念.能量轉(zhuǎn)化與守恒定律是自然界的普遍規(guī)律，電磁感應(yīng)現(xiàn)象也必然會(huì)遵循這一規(guī)律.

判斷如下：

假設(shè)題中數(shù)據(jù)正確，位移等于3 m時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為

E=BLv=6 V

通過導(dǎo)體的電荷量為

顯然感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功

即

6 J

速度最大時(shí)安培力為

從開始運(yùn)動(dòng)到位移為3 m的過程中，安培力由零增大到4 N，其做功絕對(duì)值

W安

即

6 J

在電磁感應(yīng)過程中，根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒定律可知，(只有一個(gè))安培力做功的絕對(duì)值與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)做功相等，都等于電路產(chǎn)生的熱量，本題的數(shù)據(jù)顯然符合這一規(guī)律.

金屬棒做加速度減小的加速直線運(yùn)動(dòng)，初速度為零，末速度為3 m/s，位移如果為3 m，則有

1 s

由于功率恒定，外力做功

WF=Pt

12 J

金屬棒增加的動(dòng)能為

合外力對(duì)棒做的總功為

6 J<-W安+EF<12 J

根據(jù)動(dòng)能定理，合外力做功與動(dòng)能的變化相等，也就是棒的動(dòng)能應(yīng)該在6～12 J的范圍內(nèi).本題的動(dòng)能增加量是4.5 J，顯然題中數(shù)據(jù)存在矛盾.

6 教學(xué)啟示

高中物理教學(xué)中，學(xué)生普遍存在著大量做題、重復(fù)做題、盲目做題的現(xiàn)象.針對(duì)這一現(xiàn)象，《中國高考評(píng)價(jià)體系》明確要求通過高考評(píng)價(jià)改革引導(dǎo)學(xué)生從解題轉(zhuǎn)變到解決問題，高中物理教學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.怎樣才能實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)變，筆者認(rèn)為,教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)物理試題的情景、過程、方法、思想等進(jìn)行審視，特別要對(duì)物理情景的合理性、物理過程的真實(shí)性、題設(shè)數(shù)據(jù)的科學(xué)性進(jìn)行論證，對(duì)試題中包含的物理思想方法進(jìn)行梳理、總結(jié)，這樣才能將物理知識(shí)轉(zhuǎn)化成物理觀念和學(xué)科核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)由解題到解決問題的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)出敢于質(zhì)疑、勇于創(chuàng)新的時(shí)代新人.