外場(chǎng)調(diào)控下的納米激光時(shí)延隱藏及不可預(yù)測(cè)性提升*

蔣培 周沛 李念強(qiáng)? 穆鵬華 李孝峰?

1) (蘇州大學(xué)光電科學(xué)與工程學(xué)院， 蘇州納米科技協(xié)同創(chuàng)新中心， 蘇州 215006)

2) (江蘇省先進(jìn)光學(xué)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 教育部現(xiàn)代光學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 蘇州 215006)

3) (煙臺(tái)大學(xué)光電信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 煙臺(tái) 264005)

納米激光器作為未來實(shí)現(xiàn)光集成的重要光學(xué)元件， 成為了近年來的研究熱點(diǎn)之一， 相應(yīng)的結(jié)構(gòu)工程及輸出特性受到了廣泛的關(guān)注.然而， 納米激光的非線性動(dòng)力學(xué)方向上的研究卻少有報(bào)道.本文基于納米激光器的單模速率方程， 應(yīng)用排列熵復(fù)雜度量化工具分析了光反饋及光注入下的混沌納米光源不可預(yù)測(cè)程度， 并通過自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行時(shí)延表征.結(jié)果表明: 增加線寬增強(qiáng)因子α、偏置電流Idc、減小增益飽和因子ε、自發(fā)輻射增強(qiáng)因子F、自發(fā)輻射耦合因子β都有利于提升混沌的不可預(yù)測(cè)性并抑制時(shí)延特征.而通過光反饋方式產(chǎn)生的混沌光源進(jìn)一步注入到另一個(gè)納米激光器， 會(huì)帶來額外的光場(chǎng)非線性作用， 進(jìn)一步地增強(qiáng)混沌激光的復(fù)雜度特性.此外， 基于繪制頻率失諧及注入強(qiáng)度下激光器輸出的二維復(fù)雜度空間分布， 確定了獲取高不可預(yù)測(cè)度納米激光混沌信號(hào)的參數(shù)范圍.這對(duì)于實(shí)現(xiàn)低成本、小尺寸、高品質(zhì)混沌光源的研究有重要推動(dòng)作用.

1 引 言

在過去幾十年里， 半導(dǎo)體激光器的非線性動(dòng)力學(xué)受到了人們的廣泛關(guān)注.其中， 激光混沌由于具有時(shí)間維度上的長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性， 被廣泛地應(yīng)用于保密通信[1，2]， 高速物理隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生[3，4]， 以及混沌激光雷達(dá)[5，6]等方面.而混沌的產(chǎn)生方式也有很多種， 大致可分為光反饋、光注入、光電反饋、電流調(diào)制等幾大類[2].其中， 由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、可控性強(qiáng)等特點(diǎn)， 光反饋半導(dǎo)體激光器裝置產(chǎn)生光學(xué)混沌的方案被廣泛地應(yīng)用到研究中[7].然而， 在該條件下產(chǎn)生的混沌與引入的光反饋外腔有關(guān)， 表現(xiàn)出一定的周期性， 被稱為時(shí)延特征(time delay signature， TDS)[8].如果以這種帶有時(shí)延特征的混沌信號(hào)作為信息載體， 關(guān)鍵參數(shù)的相關(guān)信息泄漏風(fēng)險(xiǎn)會(huì)增大， 竊聽者可能重構(gòu)混沌吸引子并對(duì)有用信息進(jìn)行預(yù)測(cè)， 這會(huì)對(duì)混沌通信系統(tǒng)的安全性構(gòu)成威脅[9].因此， 必須提高混沌信號(hào)質(zhì)量， 再進(jìn)一步地實(shí)現(xiàn)相關(guān)應(yīng)用.

為了量化混沌信號(hào)的質(zhì)量， 相關(guān)學(xué)者提出了一些有用的工具， 例如最大李雅普諾夫指數(shù)[10]、樣本熵[11]、動(dòng)態(tài)熵(Kolmogorov-Sinai entropy， KS)[12]和排列熵(permutation entropy， PE)[13]等.其中，PE是引入的與時(shí)間序列相關(guān)的參數(shù)， 可通過比較相鄰兩個(gè)值大小而得到具體結(jié)果， 用于解決其他量化工具在加入無法避免的噪聲后易失效的問題， 更適合評(píng)估高維度的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)時(shí)間序列的復(fù)雜度特性.此外， 它還具有簡(jiǎn)單、運(yùn)算速度快等優(yōu)點(diǎn).因此， PE廣泛地適用于量化混沌激光系統(tǒng)所產(chǎn)生混沌信號(hào)的不可預(yù)測(cè)程度(unpredictability degree，UD).例如， Xiang課題組[14-16]探究了垂直腔面發(fā)射激光器(vertical-cavity surface-emitting laser，VCSEL)在固定偏振及可變偏振條件下， 偏振角度、反饋強(qiáng)度、反饋延時(shí)、偏置電流等因素對(duì)不可預(yù)測(cè)度的影響， 并將產(chǎn)生的混沌應(yīng)用于保密性增強(qiáng)并且高度同步的通信系統(tǒng)中.此外， 該課題組分析了單注入[17]、雙注入[17]、互注入[18]， 以及多延時(shí)下的雙反饋[19]、環(huán)形網(wǎng)絡(luò)[20]等裝置下相應(yīng)的不可預(yù)測(cè)性.Li等[21]則發(fā)現(xiàn)在單注入下， 增加線寬增強(qiáng)因子有利于抑制強(qiáng)度及相位中的時(shí)延特征， 還探究了具有較好集成度的半導(dǎo)體環(huán)形激光的混沌不可預(yù)測(cè)程度[22].然而， 它們中的大多數(shù)都是由傳統(tǒng)半導(dǎo)體激光器和輔助元件構(gòu)成的復(fù)雜結(jié)構(gòu).未來做大規(guī)模集成就必須要突破有源器件面臨的瓶頸—大尺寸.而半導(dǎo)體納米激光器展現(xiàn)了模體積小、閾值低、量子效率高、響應(yīng)速度快等優(yōu)勢(shì)， 具備在緊湊型光子集成電路中的應(yīng)用潛力， 因此在近些年備受關(guān)注.

納米激光的發(fā)展， 最早要追溯到2007年， Hill等[23]提出基于表面等離激元效應(yīng)， 并通過補(bǔ)償由于金屬帶來的高損耗， 從而制備出了近紅外波段有效輸出的納米級(jí)尺寸激光.由于納米激光器的模體積小于衍射極限， 具有明顯的局域場(chǎng)增強(qiáng)特性.因此， Lau等[24]于2009年提出在傳統(tǒng)的激光器速率方程中引入了自發(fā)輻射特征增強(qiáng)因子F與自發(fā)輻射耦合因子β， 建立了納米激光器速率方程.在此基礎(chǔ)上， Shore等分析了納米激光在電流調(diào)制[25]、光反饋[26，27]、光注入[28]、光反饋及光注入共同作用[29]，以及互注入作用下[30]的動(dòng)力學(xué)行為.此外， 納米激光器由于具有高調(diào)制、低閾值等優(yōu)勢(shì)也被認(rèn)為是混沌源的候選元件.2018年， Elsonbaty等[31]從強(qiáng)度及相位自相關(guān)角度入手， 與普通光反饋、相位共軛光反饋(phase conjugated feedback， PCF)及光柵鏡面光反饋下產(chǎn)生的混沌特性做了比較， 證實(shí)了采用全光和電光混合反饋的方案可以更好地抑制時(shí)延特征， 并將產(chǎn)生的混沌光源用于圖像加密.2019年， Xiang課題組[32]發(fā)現(xiàn)受到來自兩個(gè)主納米激光器雙混沌注入的從納米激光器輸出在寬參數(shù)范圍內(nèi)具備了低時(shí)延特征.本課題組則在先前的工作中報(bào)道了基于單注入產(chǎn)生優(yōu)質(zhì)混沌光源， 并將其作為載波實(shí)現(xiàn)信息的安全傳輸[33].這些詳細(xì)的研究闡明了納米激光進(jìn)入混沌的路徑， 不同系統(tǒng)下的時(shí)延特性， 也為混沌的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ).

從目前情況來看， 納米激光器的動(dòng)力學(xué)特性及應(yīng)用研究還具備很大的探索空間， 例如針對(duì)混沌系統(tǒng)的不可預(yù)測(cè)性， 即評(píng)估混沌系統(tǒng)安全水平的重要指標(biāo)展開分析， 對(duì)于增強(qiáng)安全保密及類隨機(jī)特性就具有指導(dǎo)性意義.基于這種研究現(xiàn)狀， 本文提出對(duì)納米激光混沌輸出的不可預(yù)測(cè)程度展開探究.通過納米激光器的速率方程進(jìn)行數(shù)值研究， 從僅受光反饋及具備主從結(jié)構(gòu)型激光器產(chǎn)生的混沌輸出信號(hào)入手， 系統(tǒng)分析自發(fā)輻射增強(qiáng)因子F、自發(fā)輻射耦合因子β、偏置電流、增益飽和因子、線寬增強(qiáng)因子、反饋強(qiáng)度、注入強(qiáng)度、頻率失諧等關(guān)鍵參數(shù)對(duì)納米激光器混沌光源不可預(yù)測(cè)程度的影響.

2 理論模型

通過外腔附加自由度， 帶來額外的光波擾動(dòng)，與激光器形成的光場(chǎng)發(fā)生拍頻效應(yīng)， 就可以使激光器輸出在時(shí)域上呈現(xiàn)出周期、類周期、混沌的多種波形.這是研究激光器非線性動(dòng)力學(xué)最常見的方式.本文主要介紹在光反饋及光注入兩種常規(guī)外部擾動(dòng)下的納米激光混沌特性.對(duì)應(yīng)公式如下[32]:

其中，I(t) 為隨時(shí)間變化的光子數(shù)，N(t) 為載流子數(shù)，φ(t) 為對(duì)應(yīng)的相位， 下標(biāo)m， s分別代表主激光器與從激光器，F(xiàn)為珀塞爾腔增強(qiáng)自發(fā)輻射因子，β為自發(fā)輻射耦合因子，Idc為注入電流，Ith為閾值電流，α為線寬增強(qiáng)因子，ε為增益飽和因子，Γ為局限因子，Va為活性層體積，τp為光子壽命，τn為載流子壽命，gn為微分增益，e為單位電荷量，N0為透明電流密度.光反饋條件下， 在(1)式、(2)式中分別有一個(gè)反饋延時(shí)項(xiàng)， 包含了反饋延時(shí)τd， 反饋強(qiáng)度kd， 這項(xiàng)參數(shù)可表示為[26]

其中，f表示反饋耦合因子，R表示納米激光器的腔面反射率，Rext表示的是鏡面反射率，c代表著真空中光速，n是激光介質(zhì)的折射率，L代表反饋腔長(zhǎng).而通過光反饋產(chǎn)生的混沌光源會(huì)被進(jìn)一步注入到從激光中， 在(1)式、(2)式中都存在一個(gè)注入延時(shí)項(xiàng)， 包含注入強(qiáng)度kr， 注入延時(shí)τr.此外， 主激光與從激光之間會(huì)存在頻率失諧 Δf=(fm-fS) ，其中fm，fS分別為主從激光的工作頻率， 與波長(zhǎng)λ0有關(guān).

我們利用四階Runge-Kutta方法對(duì)(1)—(5)式進(jìn)行數(shù)值求解.如無特別說明， 所用參數(shù)如下[32]:F=14 ，β=0.05，α=5，ε=2.3×10-17cm3，τd=0.2ns，τr=0ns，Γ=0.645 ，gn=1.64×10-6cm3/s ，Va=3.96×10-13cm3，τp=0.36ps ，τn=1ns ，n=3.4 ，Ith=1.1mA ，Idc=2Ith，N0=1.1×1 018cm-3，λ0=1.591 μ m，R=0.85 ，Rext=0.95 ，L=1.39 μm.

為了量化相應(yīng)的復(fù)雜度， 本文引入了PE算法[13].即對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列{xt，t= 1， ···，T}， 通過相空間重建的方法來構(gòu)造d維向量，Xt=(x(t)，x(t+τe)，···，x(t+(d-1)τe))，d為 嵌 入 維 數(shù)，τe為嵌入時(shí)延，T為序列長(zhǎng)度[34，35].將序列Xt再按照遞增的順序進(jìn)行排列， 即x(t+(r1-1)τe)≤x(t+(r2-1)τe)≤x(t+(rd-1)τe) 時(shí) ， 如果rt1≤rt2，則按照x(t+(rt1-1)τe)≤x(t+(rt2-1)τe) 進(jìn)行排列.在這種情況下， 序列Xt存在著d! 種排列方式，都可能會(huì)被映射到相應(yīng)的排列順序π= {r1，r2， ···，rd}， 而給定排列的概率P= {p(π)}， 對(duì)應(yīng)式如下:

其中， #表示給定排列所對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)，p(π)表示特定的排列分布所對(duì)應(yīng)的可能性， 用于進(jìn)一步計(jì)算熵值.往往不同排列下的概率分布越均衡表示事件越隨機(jī)， 熵值會(huì)越大.將得到的概率進(jìn)行如下計(jì)算，就得到了歸一化熵值為

其中，H[P]介于0—1之間， 如果值越大， 則表示不可預(yù)測(cè)程度越高， 相應(yīng)的序列越接近于完全隨機(jī)序列.這里， 選擇了維數(shù)d=5 ，T= 105，τe=τd/Ωs=103(Ωs=0.2ps) 進(jìn)行熵值計(jì)算[21]， 采樣率Ωs剛 好對(duì)應(yīng)Runge-Kutta的積分步長(zhǎng).此外， 可利用自相關(guān)函數(shù)(auto correlation function， ACF)對(duì)時(shí)滯下混沌隨機(jī)序列的時(shí)間延遲信號(hào)進(jìn)行評(píng)估[36，37].ACF也稱為序列相關(guān)， 是一個(gè)信號(hào)與自身在不同時(shí)間點(diǎn)下相似度的比較.利用該函數(shù)可以找出重復(fù)模式， 即被噪聲掩蓋的周期信號(hào)， 對(duì)分析混沌信號(hào)的偽隨機(jī)特性具有重要意義.此外， 該技術(shù)具有計(jì)算效率高、魯棒性強(qiáng)、不受白噪聲影響等優(yōu)點(diǎn).具體公式如下:

其中， 〈〉 為時(shí)間序列的平均值， Δt為滯后時(shí)間.我們?nèi)CF函數(shù)相對(duì)應(yīng)在時(shí)間窗口t∈[τd-κ×τd，τd+κ×τd]ns 范圍內(nèi)的峰值，κ= 10%進(jìn)行TDS的衡量.混沌隨機(jī)序列在越低自相關(guān)值下， 往往對(duì)應(yīng)越高的不可預(yù)測(cè)性， 表示越難以提取出有用信息.

3 結(jié)果與討論

圖1 (a1)， (a2)光反 饋下的納米激光器時(shí) 序; (b1)， (b2) ACF曲線; (c1)， (c2) PE曲線.反饋耦合 因子: (a1)—(c1) f =0.02 ;(a2)—(c2)f=0.06Fig.1.(a1)， (a2) Time series; (b1)， (b2) ACF curve; (c1)， (c2) PE curve of a nanolaser under optical feedback.The feedback coupling fraction: (a1)—(c1) f =0.02 ; (a2)—(c2) f =0.06.

圖2 光反饋納米激光器 (a) TDS與 (b) H[P ]隨著 α ， ε 的變化Fig.2.(a) TDS and (b) H[P ] of a nanolaser subjected to optical feedback as functions of α ， ε.

首先， 分析在不同反饋強(qiáng)度下納米激光混沌輸出的時(shí)延及不可預(yù)測(cè)特性.圖1顯示了在反饋耦合因子f分別為0.02和0.06下的時(shí)序， ACF及PE變化情況.此時(shí)的激光工作在混沌狀態(tài)， 時(shí)序具有類噪聲波形， 無法看出明顯的特征信息.然而， 當(dāng)采用ACF表征相關(guān)信息時(shí)， 會(huì)發(fā)現(xiàn)在反饋延時(shí)附近具有明顯的峰值.此外， PE曲線中對(duì)應(yīng)延遲時(shí)間的位置， 熵值出現(xiàn)了明顯的下降.這說明采用兩種方式都能表征出延時(shí)特征.反饋延時(shí)附近對(duì)應(yīng)特征峰值越大， 熵值下降得越多， 表示延時(shí)特征越明顯.而在這兩種不同反饋強(qiáng)度下， 這個(gè)特征都明顯地存在， 這是由于鏡面光反饋只能提供局部光反饋， 反饋回來的光與特定時(shí)刻的激光輸出具有強(qiáng)相關(guān)性， 導(dǎo)致了所產(chǎn)生混沌的隨機(jī)性較差.只有通過調(diào)節(jié)反饋強(qiáng)度與偏置電流， 使弛豫振蕩周期與反饋延時(shí)相接近， 才可能有效地抑制住這種時(shí)延特征[8].因此， 需要采用其他有效的方式， 例如增加反饋腔的數(shù)量或利用非線性裝置代替鏡面減弱相關(guān)性， 提升混沌的不可預(yù)測(cè)程度并實(shí)現(xiàn)時(shí)延隱藏， 進(jìn)而確保信息的安全傳輸.

其次， 考慮不同激光內(nèi)部參數(shù)增益飽和因子ε與線寬增強(qiáng)因子α對(duì)混沌信號(hào)復(fù)雜度的影響.α是表征非線性相移、頻率啁啾效應(yīng)和因載流子濃度變化引起線寬展寬的一項(xiàng)重要參數(shù).圖2(a)展示了隨著α增大后所對(duì)應(yīng)的時(shí)延特征值變化， 曲線呈下降趨勢(shì)表示TDS會(huì)逐漸減弱， 但不能得到完全消除， 即時(shí)延特征值始終大于0.2， 在這種條件下時(shí)延信號(hào)無法在背景噪聲中得到有效地隱藏.主要原因是增加α導(dǎo)致了激光振蕩模式及邊帶模式數(shù)量的增加， 光譜成分增多， 色散效應(yīng)增強(qiáng)， 從而削弱了外腔的信息， 減小混沌的周期性.圖2(b)則展示了不可預(yù)測(cè)度的變化趨勢(shì)， 與時(shí)延特征值的變化剛好相反， 所對(duì)應(yīng)的HP值會(huì)逐漸增加并趨近于1.此外， 固定α值， 發(fā)現(xiàn)隨著ε減小， 經(jīng)過光反饋產(chǎn)生混沌輸出信號(hào)的不可預(yù)測(cè)程度會(huì)得到提升， 時(shí)延特征峰值則有所減弱.其物理原因可能是增益飽和效應(yīng)會(huì)抑制激光強(qiáng)度的劇烈波動(dòng)， 即增益飽和因子較大時(shí)， 對(duì)激光器的弛豫振蕩會(huì)起到很好的阻尼作用， 因此時(shí)序上表現(xiàn)為小幅度的振蕩， 此時(shí)激光輸出處于弱混沌狀態(tài).而基于最大李雅普諾夫指數(shù)、KS動(dòng)態(tài)熵和KY維數(shù)(Kaplan-Yorke dimension)等技術(shù)對(duì)有無增益飽和因子下的非線性動(dòng)力學(xué)分析中也已經(jīng)指出了增大ε會(huì)導(dǎo)致復(fù)雜度的減弱[38].綜上所述， 較小的ε及較大的α有利于增強(qiáng)納米激光器混沌輸出的隨機(jī)特性， 并降低時(shí)延特征值.

探究納米激光器的兩個(gè)重要唯象因子(F，β)對(duì)于混沌輸出復(fù)雜度的影響也是具有意義的.研究單模激光的混沌輸出特性時(shí)，F(xiàn)表示單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入相應(yīng)模式的瞬態(tài)輻射率與無腔介質(zhì)中總自發(fā)輻射率之比;β表示自發(fā)輻射光子耦合進(jìn)入腔模所占的比例.如圖3所示， 反饋耦合因子f在0.005—0.080內(nèi)變化.隨著反饋增加， 時(shí)延特征值會(huì)達(dá)到相應(yīng)的波谷位置， 此時(shí)激光輸出的擾動(dòng)效果加劇，使混沌序列隨機(jī)性增強(qiáng)， 混沌的時(shí)延峰值減小， 在反饋耦合因子又逐漸增大進(jìn)入強(qiáng)反饋區(qū)域后， 激光會(huì)形成穩(wěn)定的外腔運(yùn)行模式， 即外部反饋光占據(jù)主導(dǎo)， 因此不可預(yù)測(cè)性又有所減弱， 時(shí)延特征再次變得明顯， 這與在傳統(tǒng)的半導(dǎo)體激光器得到的時(shí)延特征演變趨勢(shì)一致[8].特別說明當(dāng)固定β=0.1 ，F(xiàn)值的變化范圍在10—30時(shí)， 只有極小的閾值電流波動(dòng)， 并不會(huì)影響計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)的一般性趨勢(shì)， 因此這里都采用閾值電流Ith=1.1mA[30].相應(yīng)的結(jié)果表明了增加F會(huì)導(dǎo)致混沌輸出的隨機(jī)性減弱，對(duì)應(yīng)時(shí)延特征變得明顯.其次， 固定F值， 改變?chǔ)轮禃?huì)得到同樣的變化趨勢(shì)， 即β增加后， 時(shí)延特征會(huì)更明顯.這歸結(jié)于自發(fā)輻射增強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致激光器啟動(dòng)延遲的降低， 引發(fā)的強(qiáng)阻尼在激光器的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)化過程中產(chǎn)生長(zhǎng)尾效應(yīng)， 從而影響納米激光輸出的非線性動(dòng)力學(xué)行為及特性.

圖3 光反饋納米激光器 (a) TDS與 (b) H[P] 隨著 F 的變化Fig.3.(a) TDS and (b) H[P] of a nanolaser subjected to optical feedback as functions of F.

緊接著， 觀察偏置電流的改變對(duì)混沌輸出的不可預(yù)測(cè)性產(chǎn)生的影響， 結(jié)果如圖4所示.定義Idc=qIth，q是電流的量化因子.發(fā)現(xiàn)在低反饋強(qiáng)度下， 不同偏置電流對(duì)應(yīng)的H[P]值及時(shí)延特征無明顯差異.但是當(dāng)反饋強(qiáng)度進(jìn)一步增大， 更高的偏置電流條件下所對(duì)應(yīng)不可預(yù)測(cè)度會(huì)增加， 時(shí)延特征值則減小.因?yàn)樵诠夥答仐l件下， 更高的偏置電流會(huì)使輸出的激光更強(qiáng)， 帶來的擾動(dòng)更劇烈， 此時(shí)激光輸出進(jìn)入混沌所需的反饋閾值則越小， 混沌輸出的隨機(jī)性也會(huì)越好.并且隨著反饋強(qiáng)度增加， 不同偏置下反饋光強(qiáng)的差異會(huì)明顯增加， 這導(dǎo)致了混沌隨機(jī)性及時(shí)延特征值的差異更為明顯.

圖4 光反饋納米激光器 (a) TDS與 (b) H[P] 隨著偏置電流的變化Fig.4.(a) TDS and (b) H[P] of a nanolaser subjected to optical feedback as functions of the bias current.

圖5 混沌光注入下從納米激光器的 (a1)， (a2)時(shí)序; (b1)， (b2)ACF曲線; (c1)， (c2) PE曲線.注入強(qiáng)度(a1)—(c1) k r=100ns-1 ;(a2)—(c2) k r=200ns-1 ;Δf=25GHzFig.5.(a1)， (a2) Time series; (b1)， (b2) ACF curve; (c1)， (c2) PE curve of the slave nanolaser under chaotic optical injection.The injection strength (a1)—(c1) k r=100ns-1 ; (a2)—(c2) k r=200ns-1 ; Δ f=25GHz.

由于光反饋產(chǎn)生的混沌隨機(jī)性偏弱， 無法隱藏相應(yīng)的時(shí)延特征， 就需要采用光注入實(shí)現(xiàn)非線性動(dòng)力學(xué)特性的增強(qiáng)[21].我們知道基于一定的頻率失諧可以更好地抑制時(shí)延特性， 這里以頻率失諧Δf=25GHz ， 反饋耦合因子f= 0.02為例， 具體結(jié)果如圖5所示.可以看到， 在嵌入延時(shí)位置的H[P]值從0.90提高至0.95以上， 時(shí)延特征值也變得更小.而對(duì)比兩種不同的注入強(qiáng)度下所得到的結(jié)果， 發(fā)現(xiàn)kr=100ns-1時(shí)的混沌不可預(yù)測(cè)程度更高，對(duì)應(yīng)時(shí)延特征則可以得到徹底消除.此時(shí)的從激光器沒有被主激光器注入鎖定， 相互之間的擾動(dòng)加劇， 通過拍頻作用會(huì)產(chǎn)生高頻振蕩輸出.由外腔反饋所形成的混沌光注入到從納米激光器后， 所形成的輸出可以作為一個(gè)增強(qiáng)的混沌源.當(dāng)進(jìn)一步提升注入強(qiáng)度kr=200ns-1時(shí)， 從激光器的輸出會(huì)被主激光器鎖定， 從而呈現(xiàn)出與主激光器一致的輸出.主激光器只在單一光反饋結(jié)構(gòu)下實(shí)現(xiàn)混沌輸出， 所對(duì)應(yīng)隨機(jī)性較弱， 因此強(qiáng)光注入下的從納米激光器輸出時(shí)延特征會(huì)再次變得明顯.

此外， 討論了在光注入條件下， 隨著注入?yún)?shù)的變化， 從激光器輸出的不可預(yù)測(cè)特性的演化情況.繪制對(duì)應(yīng)的PE演化如圖6所示， 顯示了從激光在反饋延時(shí)位置的H[P]值隨注入強(qiáng)度kr和頻率失諧 Δf的變化， 不同顏色表示了不同的H[P]值， 對(duì)應(yīng) 2 0ns-1≤kr≤300ns-1，-30GHz≤Δf≤30GHz.為清晰起見，H[P]=0.99作為分界線， 相應(yīng)的值越高表示混沌輸出越難以預(yù)測(cè)， 時(shí)延可以更好地被抑制.從圖6中可以看出以下幾個(gè)特征: 首先是處于高不可預(yù)測(cè)度的激光混沌輸出參數(shù)范圍(深紅色部分，H[P] ≥ 0.99)容易在適當(dāng)注入， 以及一定的頻率失諧下得到.正如在描述圖5時(shí)所提到的， 隨著注入強(qiáng)度增加， 從激光器會(huì)被主激光器注入鎖定， 不可預(yù)測(cè)度會(huì)明顯下降， 此時(shí)需要更高的頻率失諧減弱鎖定效應(yīng).因此在圖6中， 該范圍展現(xiàn)了“V”型效果.然而， 由于α不等于零， 展現(xiàn)的形狀關(guān)于頻率失諧變化又不完全對(duì)稱.其次， 在較高的注入強(qiáng)度下， 增大正頻率失諧會(huì)使主從激光器之

圖6 在不同F(xiàn)， β及偏置電流下， 從納米激光器混沌輸出的H[P ]隨失諧頻率及注入強(qiáng)度變化的二維映射 (a1)—(a3)Idc=2Ith ; (b1)—(b3) I dc=4Ith.(a1)， (b1)F = 14， β = 0.05; (a2)， (b2)F = 14， β = 0.1; (a3)， (b3)F = 30， β = 0.1Fig.6.Two-dimensional maps of H[P ] in the parameter space of the frequency detuning and injection strength under different values of F， β and injection current for the slave nanolaser: (a1)—(a3) I dc=2Ith ; (b1)—(b3) I dc=4Ith.(a1)， (b1) F = 14， β = 0.05; (a2)，(b2) F = 14， β = 0.1; (a3)， (b3) F = 30， β = 0.1.

圖7 在不同線寬增強(qiáng)因子下， 從納米激光器混沌輸出的 (a1)—(a3)H[P ]及(b1)—(b3)時(shí)延特征峰值隨失諧頻率及注入強(qiáng)度變化的二維映射.(a1)， (b1) α =4 ; (a2)， (b2) α =5 ; (a3)， (b3)α=6Fig.7.Two-dimensional maps of (a1)—(a3) H[P ] and (b1)—(b3) TDS in the parameter space of the frequency detuning and injection strength under different values of the linewidth enhancement factor for the slave nanolaser.(a1)， (b1) α =4 ; (a2)， (b2) α =5 ;(a3)， (b3) α =6.

間產(chǎn)生的拍頻效果更明顯， 進(jìn)而使輸出不可預(yù)測(cè)性得到提升.而對(duì)比不同F(xiàn)，β和偏置電流下復(fù)雜度的二維分布效果， 發(fā)現(xiàn)從激光器混沌輸出處于高不可預(yù)測(cè)程度的范圍會(huì)隨著F和β值增大而減小.另外， 通過對(duì)比Idc=2Ith和Idc=4Ith的結(jié)果圖， 可以觀察到在選擇合適的F和β條件下， 增大偏置電流會(huì)帶來更劇烈的擾動(dòng)效果， 該范圍也會(huì)被進(jìn)一步擴(kuò)大.

最后， 進(jìn)一步研究激光器重要的內(nèi)部參數(shù)變化對(duì)光注入下激光混沌輸出特性的影響.從已有報(bào)道可知， 當(dāng)光注入到納米激光器中， 隨著α增加， 會(huì)產(chǎn)生更寬的混沌有效區(qū)間; 在連續(xù)光注入條件下使從納米激光器工作在非穩(wěn)態(tài)， 其動(dòng)力學(xué)路徑也會(huì)發(fā)生變化[28].在動(dòng)力學(xué)行為變化的同時(shí)，α變化必然會(huì)影響納米激光器混沌輸出特性.如圖7(a1)和圖7(b1)所示， 具備高不可預(yù)測(cè)度與時(shí)延隱藏(對(duì)應(yīng)深藍(lán)色區(qū)域，C≤ 0.2)的激光混沌輸出參數(shù)范圍相對(duì)較小.主要原因是在較大的注入強(qiáng)度下從納米激光器容易被注入鎖定， 即此時(shí)的混沌特性會(huì)由主激光器所主導(dǎo).通過將圖7(a2)和圖7(b2)、圖7(a3)和圖7(b3)與圖7(a1)和圖7(b1)進(jìn)行對(duì)比， 發(fā)現(xiàn)當(dāng)增大α?xí)r， 從納米激光器混沌輸出可在更寬的注入?yún)?shù)范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)高不可預(yù)測(cè)度和時(shí)延隱藏.如圖7(a3)和圖7(b3)，H[P]較高的區(qū)域占據(jù)了大部分的參數(shù)空間， 此時(shí)注入鎖定的條件就變得嚴(yán)苛， 所對(duì)應(yīng)混沌特性得到提升， 因?yàn)樵龃螃習(xí)鰪?qiáng)光場(chǎng)中幅度和相位的耦合程度， 從而得到了更為復(fù)雜的激光混沌輸出.同理， 減小增益飽和因子也會(huì)使從納米激光器的輸出非線性得到增強(qiáng)， 達(dá)到不可預(yù)測(cè)性提升與時(shí)延抑制的效果， 這里就不一一贅述.

4 結(jié) 論

本文基于納米激光器的單模速率方程， 在一定的光反饋條件下實(shí)現(xiàn)混沌輸出， 并基于光注入進(jìn)一步提升混沌激光的動(dòng)力學(xué)特性， 對(duì)輸出信號(hào)的時(shí)延及不可預(yù)測(cè)程度做了系統(tǒng)分析， 詳細(xì)探究了反饋參數(shù)和注入?yún)?shù)對(duì)納米激光器混沌輸出不可預(yù)測(cè)程度演化的影響.數(shù)值仿真結(jié)果表明， 增加線寬增強(qiáng)因子α、偏置電流Idc， 以及減小增益飽和因子ε、自發(fā)輻射增強(qiáng)因子F與自發(fā)輻射耦合因子β都有利于光反饋及光注入下納米激光器混沌輸出不可預(yù)測(cè)性的提升以及時(shí)延特征的抑制.此外， 通過繪制從納米激光器的混沌輸出隨著注入強(qiáng)度與失諧頻率的演化圖， 發(fā)現(xiàn)在正頻率失諧與中等注入強(qiáng)度的參數(shù)條件下， 從納米激光器混沌輸出的復(fù)雜度會(huì)提升.上述發(fā)現(xiàn)對(duì)實(shí)現(xiàn)高品質(zhì)物理隨機(jī)數(shù)發(fā)生器及保密性增強(qiáng)的混沌光通信應(yīng)用具有重要意義.