傾角對方腔內熱對流非線性演化與分岔的影響*

尹慧 趙秉新2)?

1) (寧夏大學數學統計學院， 銀川 750021)

2) (寧夏科學工程計算與數據分析重點實驗室， 銀川 750021)

傾斜封閉腔內對流換熱問題是非線性非平衡系統中研究的熱點問題之一.本文采用高精度數值方法對傾斜方腔內流體熱對流進行了直接數值模擬， 研究了腔體傾角在 0 °—180° 之間變化時， 傾角的不同變化過程對流場非線性演化、傳熱效率以及流動分岔的影響.所考慮的Rayleigh數范圍為 1 03—106.結果表明: 表征傳熱效率的Nusselt 數對Rayleigh數、Prandtl數及傾斜角度均具有較強依賴性， 在較高Rayleigh數時， Nusselt數會在80°和100°附近產生較大幅度的變化; 高Rayleigh 數下流場及溫度場的演變更為復雜， 腔體內存在1—3個對流強度不等的渦卷; 低Rayleigh數下腔體傾角接近90°時流動狀態為熱傳導狀態.當腔體傾角介于70°—110° 之間時， 在Rayleigh數 R a∈(4949，314721) 內存在解的兩條穩定分支.

1 引 言

腔體內自然對流傳熱有著極其廣泛的工程應用， 例如建筑保溫、電子儀器的冷卻裝置、太陽能集熱器以及核反應堆設計等.自1954年Batchelor[1]對二維封閉腔內自然對流開創性的研究以來， 對于水平放置腔體內自然對流問題， 前人早期進行了理論或實驗研究.如Eckert和Carlson[2]實驗研究了兩個具有不同溫度的等溫垂直板之間的空氣層中的溫度場， 給出了局部和平均傳熱與Grashof 數的關系.Patterson和Armfield[3]研究發現， 隨著Rayleigh數Ra的增大， 腔體內對流狀態開始分層并且逐漸由定常轉向非定常.Xin和Quéré[4]研究了水平放置的寬高比為4 的長方形腔體中混沌自然對流問題.對于水平放置的外形為三角形、梯形或平行四邊形等特殊腔體內的自然對流換熱也有了一定的研究[5].然而在實際應用中， 即使打算將腔體水平放置， 對流系統在自然界中往往是相對于重力傾斜的.Arnold等[6]研究了傾斜腔體熱對流中傾斜角對矩形區域內傳熱的影響.之后不久，John和Jorg[7]的研究也說明了腔體內的流動情況由Rayleigh數(Ra)、Prandtl數(Pr)、高寬比、傾斜角等參數決定.Khezzar等[8]分析了初始條件和滯后效應對流場的影響， 認為產生分岔的臨界傾斜角度對初始條件有較強的依賴性.Didier等[9]研究了寬高比為4的二維腔體內Rayleigh-Bénard對流(腔體傾斜角度在 0°— 1 80°范圍內變化)從穩態到混沌的分岔現象， 并將關于傾斜腔內熱對流的研究拓展到三維腔體.Torres等[10]對Prandtl數Pr=5.9 ， Rayleigh數Ra≤150000 的傾斜立方腔內自然對流進行了三維分岔分析， 討論了流體從初始分岔到振蕩狀態過程中傾斜角對立方體封閉空間內三維對流穩定性的影響.緊接著， 他們證明了三維腔體在 0°—90°轉變過程中出現單一穩定渦卷的臨界角的存在性， 并將這一結論推廣到了任意Prandtl數Pr＞0.71 的 Boussinesq流 體 中[11].Miroshnichenko和Sheremet[12]對矩形腔內自然對流的研究進行了綜述， 并對封閉腔體內自然對流問題的研究進展做了一些總結.

近年來， 隨著計算機硬件水平的長足進步以及計算精度的大幅提高， 利用數值模擬研究自然對流已被更多地使用[13]， 這使得學者們對自然對流的研究也更加深入.Hamady等[14]和Kuyper等[15]模擬研究了某些角度下方腔內的對流情況， 他們將局部和平均Nusselt數(Nu)的測量值與數值預測值進行了比較， 進一步說明腔內傳熱對傾斜角和Rayleigh數有較強的依賴性.Rasoul和Prinos[16]分別對傾角在 0°—180°和 4 0°—160°范圍的腔體進行了數值模擬， 分析了傾斜角對方形腔體內自然對流的影響， 并給出了傾角對Nu-Ra 相關關系的影響. 文獻[17-20] 對二維腔體內穩定狀態的自然對流換熱情況進行了研究， 分別模擬了不同高寬比或者傾斜角下腔體內部的流場狀態.Armfield和Janssen[21]描述了Pr=7.5 ，Ra=108時腔體內的流場狀況， 他們的結論說明了充分展開的熱邊界層具有與啟動流大致相同的穩定性.Zhao和Tian[22]基于渦量-流函數型Navier-Stokes方程， 給出了一種求解非定常自然對流問題的高精度方法， 模擬研究了方腔內自然對流狀態的過渡與分岔.為了進一步探究不同參數對二維腔體內熱對流的影響， 不少學者通過改變腔體內流體類型來研究熱對流的演變情況.如Sheremet等[23]對二維傾斜方腔內氧化鋁水納米流體的流動和傳熱進行了模擬研究， 他們的研究成果表明邊界溫度振蕩頻率的增加會導致平均Nusselt數振蕩幅度的增加和振蕩周期的減少.Boudjeniba等[24]模擬研究了銅水納米流體在傾斜方腔內從層流向混沌自然對流的過渡， 表明流動從穩定層流狀態經超臨界Hopf分岔后， 依次經歷周期狀態和準周期狀態， 最后進入混沌狀態.最近， Wang等[25-29]直接數值模擬研究了不同參數對二維腔體內熱對流演變過程的影響， 其中Rayleigh數的范圍為 1 07≤Ra≤1010; 高寬比為0.5 — 1 28 ， Prandtl數為 0.01≤Pr≤100 ， 腔體傾斜角度的范圍為 0°—90°.他們分析了腔內熱對流從層流到湍流的過渡狀態、腔內大尺度環流翻轉的演變過程等， 發現傾斜引起的對稱破壞極大地抑制了方腔內大尺度環流的翻轉[25]， 給出了大寬高比二維矩形腔內湍流熱對流狀態下影響渦卷數量的因素(即渦卷的橢圓形狀和黏性阻尼)[29].對于二維腔體， 環流翻轉對Ra和Pr有很強的依賴性[25，27，28，30]， 但當Ra＞5×108時， 數值模擬結果顯示不存在環流翻轉現象[30].前人的研究工作集中在對傾斜腔體內流動演化和傳熱模式的模擬與分析， 很少將腔體傾斜角的各種變化情況綜合考慮，如腔體順時針旋轉與逆時針旋轉對流場的影響是否一致等.事實上， 考慮傾斜角不同的變化過程對流場的影響， 有助于對方腔自然對流問題的對流和傳熱特性進行更細致全面的分析， 有利于深入揭示自然對流換熱的參數依賴性以及流動向湍流過渡的復雜機理.本文采用高精度數值模擬的方法， 考慮腔體傾斜角在 0°— 1 80°的范圍內， 研究不同角度變化過程對流動和傳熱的影響， 探討流場及溫度場隨傾斜角變化時的分布規律， 并分析不同傾角變化過程下解的分岔情況.

2 物理模型與控制方程

2.1 問題描述

本文主要研究傾斜二維方腔內的自然對流問題， 對流示意圖如圖1， 其中腔體的高為H， 傾角為β.均勻重力場g為豎直向下的正值.水平壁面都是絕熱的， 垂直壁面均恒溫， 且左壁面Th(熱壁)溫度高于右壁面Tc(冷壁)的溫度.

2.2 控制方程

在本研究中， 假設流體滿足Boussinesq近似，即其密度與溫度T呈線性關系， 具體表達式如下:

其中ρ0為參考溫度T0下的流體密度，γ為熱膨脹系數.選取H為特征長度，H2/κ為特征時間(其中κ為熱擴散系數)， 引入以下無量綱量:

在笛卡爾坐標系中， 描述該對流系統的無量綱連續性方程、動量和能量方程如下:

其中v=(u，v) 代表速度場，p是流體的壓力，t，θ，ρ和ν分別為流體的時間、溫度、密度和運動黏度.Ra和Pr分別為Rayleigh數和Prandtl數， 定義為:

對于速度場， 腔體的所有壁面是無滑移的; 垂直壁面是完全導熱的， 且在x=0 和x=H時溫度恒定， 橫向壁面絕熱.因此， 邊界條件為:

引入渦量ω和流函數ψ來消除壓力p， 具體表達式為:

于是， 方程(2a)—(2d)可寫為

相應地， 邊界條件也可寫成:

用Nusselt數來表征對流傳熱效率， 沿與y軸平行的直線上Nusselt數定義為

令(6)式中x=0 ， 可得熱壁Nusselt 數Nu0， 其最大值和最小值分別由Numax和Numin表示.若沿水平方向對Nux積分， 可得整個腔體內Nusselt數的平均值:

3 數值方法與檢驗

3.1 數值方法

本文采用文獻[22]中的高精度高分辨率有限差分法來求解控制方程(方程(5a)—(5c))及相應邊界條件， 對傾斜腔內熱對流進行直接數值模擬.該方法中， 用優化的三階迎風緊致格式(Opt-UCD3)離散對流項， 采用四階對稱Padé緊致格式對黏性項進行離散， 利用九點四階緊致格式[31]離散流函數泊松方程; 采用TVD 保持的三階Runge-Kutta方法進行時間推進.

3.2 數值檢驗

為了驗證數值方法的有效性和計算結果的正確性， 并說明本文計算中所選取網格尺寸的合理性， 針對不同工作流體(Pr=0.71 ，Pr=7.01 )， 在不 同 傾 角(β=0°，β=45°)和 本 文 討 論 的 最 高Rayleigh數(Ra=106)時， 對多個工況進行了網格無關性檢驗， 并將本文結果與已有文獻結果進行了對比.

3.2.1 與其他文獻的對比

表1將Ra=105和Ra=106時本文計算結果與其他文獻結果進行了對比， 其中本文結果的計算網格尺寸為 1 21×121.結果表明本文所用數值方法的計算結果與文獻結果高度符合， 由此， 本文所用數值方法計算結果的正確性得到了驗證.

3.2.2 網格無關性檢驗

本文在高Rayleigh 數下進行數值計算時選取的網格尺寸為 1 21×121 ， 此計算的網格分辨率在表2—表5中分別針對Pr=0.71 和Pr=7.01 以及β=0°和β=45°(取Ra=106)， 用 2 41×241 的 精細網格進行了檢驗.結果表明， 在高Rayleigh數下， 本文所取網格尺寸與精細網格下特征參數(流函數ψ和Nusselt數Nu等)的最大相對誤差均小于0.2%， 保證了計算結果的準確性; 對于低Rayleigh數(Ra=103和Ra=104)， 在保證計算準確的前提下， 為了減少計算量， 本文采用91×91的網格進行計算.網格無關性檢驗結果顯示， 低Rayleigh數下 9 1×91 網格與 2 41×241 精細網格下特征參數的最大相對誤差小于0.01%， 與121×121網格下特征參數的最大相對誤差小于0.011%.

4 結果與討論

本文重點研究了腔體傾斜角度( 0°— 1 80°)對流動和傳熱的影響， 在計算時， 考慮了三種過程.

過程A模擬腔體傾斜角度β在 0°—180°范圍內腔內流體自然對流換熱， 溫度場和流場的初始值均取零， 即對每個給定的傾斜角度， 都從零場開始計算.

過程B模擬腔體傾斜角度逐漸增大的過程.計算時，β以小步長 Δβ=10°逐漸增大，β每增大一次， 都以前一次β較小時的穩定結果為初值， 直到β增大到 1 80°時， 計算停止.

表1 與其他文獻結果的對比( P r=0.71 ， β =0° )Table 1.Comparison of the results by different numerical methods for P r=0.71 and β =0°.

表2 Pr=0.71 ， β =0° ， R a=106 下的網格檢驗結果Table 2.Grid test results for P r=0.71 ， β =0° and R a=106.

表3 P r=0.71 ， β =45° ， R a=106 下的網格檢驗結果Table 3.Grid test results for P r=0.71 ， β =45° and R a=106.

表4 P r=7.01 ， β =0° ， R a=106 下的網格檢驗結果Table 4.Grid test results for P r=7.01 ， β =0° and R a=106.

表5 P r=7.01 ， β =45° ， R a=106 下的網格檢驗結果Table 5.The grid test results for P r=7.01 ， β =45° and R a=106.

過程C與過程B相反， 模擬傾斜角度逐漸減小的過程.計算時，β以小步長 Δβ=10°逐漸減小， 以β=180°時的穩定結果為初值， 之后β每減小一次， 都以上一次β較大時的計算結果為初值，直到β減小到 0°時， 計算停止.

4.1 對流傳熱效率的變化

4.1.1 Rayleigh數和Prandtl數的影響

對數字資源建設崗而言，基本上需要計算機類人才，實現了高度專業化。除了網絡設備管理等工作外，數字資源建設還依托“全國文化信息資源共享工程”等進行數據庫的構建。

圖2為熱壁面Nusselt數Nu隨Rayleigh數Ra的變化情況(事實上， 整個腔體平均Nusselt數Nu具有相同的結論， 故以下只討論熱壁面Nusselt數的情形)， 其中紅線代表腔內流體為空氣時Nu的變化趨勢， 藍線則代表腔內流體為水時Nu的變化趨勢.由圖2可以清晰地看出， 隨著Ra的增大，Nusselt數也在逐漸增大， 且這種增大的趨勢在Ra=105附近尤為明顯.另外， 對于不同的流體介質， 腔內自然對流換熱的強弱程度略有差異， 且Ra越大， 這種差異越明顯.例如， 在Ra=103時，Pr=0.71 和Pr=7.01 下Nu的計算結果均約為1.118， 而在Ra增大至 1 06時，Pr=0.71 下Nu的值為8.834，Pr=7.01 下Nu的值約為 9.216， 表明在較高Rayleigh數下水的傳熱效率要比空氣高一些.

圖2 Nusselt數隨Rayleigh數的變化( β =0° )Fig.2.Variation of Nusselt number as a function of Rayleigh number ( β =0° ).

圖3 Nusselt數隨Prandtl數的變化( β =0° )Fig.3.Variation of Nusselt number as a function of Prandtl number ( β =0° ).

Ra分別為 1 04， 1 05和 1 06時，Nu隨普朗特數Pr的變化情況如圖3所示， 可以看出， 當Ra較小時Nu隨Pr的變化并不明顯， 幾乎呈水平直線; 在高Rayleigh數下(如Ra=106)，Nu在Pr=0.2 到Pr=1.0 的范圍內隨Pr增大而增大， 變化較為明顯， 但當Pr＞1.0 時，Nu值則穩定在9.25附近.

4.1.2 腔體傾斜角度β的影響

研究發現腔體的傾斜角度對腔內傳熱效率的大小有著明顯的影響.從系統的控制方程來看， 傾斜角度的變化會引起浮力的改變， 這就使得腔內的自然對流換熱情況發生改變， 最終導致傳熱效率也發生變化.

圖4給出的是工作流體為空氣時(Pr=0.71 )不同Rayleigh數下Nusselt數隨腔體傾角變化的曲線.可以看出， 隨著傾斜角度的增大， A， B， C三種過程中Nu均會先增大， 然后開始減小， 大約在80°— 1 00°的范圍內達到最小值， 隨后會繼續增大，接近 1 80°時又開始減小， 且這種變化趨勢關于90°對稱.但是當Ra增大后，Nu的變化規律也會明顯發生改變.例如在Ra=103時， 過程A， B， C中Nu的變化曲線完全重合， 說明低Ra下傾斜角度改變的趨勢對Nu的影響并不明顯.但是當Ra=104和Ra=105時， 過程A， B， C中Nu的變化曲線在70°— 1 10°的范圍內截然不同， 此時的突變也說明流體的對流狀態發生了明顯改變.另外， 在 7 0°—110°的范圍內， 過程B與過程C中Nu的不同也說明此范圍內出現了解的分岔(在4.3節詳細討論)，控制方程本身所具有的非線性性質是產生這種差異的根本原因[31].值得一提的是， 當Ra增大到106時， 三種過程中Nu的變化曲線也幾乎重合， 這說明在Ra增大到一定程度后， 解的分岔也會消失.

腔體內工作流體為水(Pr=7.01 )時， Nusselt數隨傾斜角度的變化關系具有類似的結論， 但因Rayleigh數不同而略有差異.當Ra=103，104和106時， 兩 種 工 作 流體 的Nu的 變 化 規 律相 同(即Ra=103，106時， A， B， C三種過程中Nu的曲線完全重合，Ra=104時在 8 0°— 1 00°的范圍內存在解的分岔); 當Ra=105時則與空氣中不同， 此時三種過程中Nu曲線完全重合， 不存在解的分岔.對于給定Rayleigh數， 結合圖2可知不同流體下Nu的值不同， 且Nu隨β的變化也不同(如圖5所示).顯然Ra=104和 1 05時兩種流 體下Nu隨β的變化曲線有明顯差異.Ra=104時(圖5左)兩種流體下的Nu曲線均在 4 0°和 1 40°附近取得極大值， 在100°附近取得極小值， 但二者的極值大小不同， 如Pr=0.71 時Nu的最小值為2.3759， 而Pr=7.01時最小值為2.4230.當Ra=105時(圖5右)兩種流體下Nu曲線極值點不同，Pr=0.71 時極值點為β=100°; 而Pr=7.01 時極值點為β=90°且曲線關于該點具有對稱性.在該角度下， 空氣Pr=0.71時Nu值 為3.9094， 略 高 于Pr=7.01 時 的Nu值3.8777 ， 這表明在某些傾斜角度下， 對于給定的(較大) Rayleigh數， 空氣的傳熱效率可能反而要比水的傳熱效率高一些.

圖4 不同Rayleigh數下Nusselt數隨傾斜角度的變化( P r=0.71 )Fig.4.Variation of Nusselt number with inclination angle for different Rayleigh numbers ( P r=0.71 ).

圖5 不同Prandtl數下Nusselt數隨傾斜角度的變化(以過程B為例)Fig.5.Variation of Nusselt number with inclination angle for different Prandtl numbers (Process B).

4.2 對流斑圖結構

4.2.1 低Rayleigh數下對流狀態隨傾角的變化

圖6—圖8分別給出了Ra=103，104，105時典型傾斜角度下腔體內流場和溫度分布(Pr=0.71 ).可以看到， 對于足夠大的Rayleigh數， 近熱壁處流體沿壁面向上流動， 近冷壁處流體在重力場作用下沿壁面向下流動， 形成對流.流體微團在運動過程中， 不斷將其從熱壁吸收得到的熱量向近冷壁處流體傳遞， 直至腔內的熱量分布趨于穩定.由圖6可知，Ra=103時低Rayleigh數下對流較弱， 流場和溫度場的演變相對較平穩; 隨著傾角從 0°增大到90°， 等溫線逐漸從彎曲狀態轉變為垂直狀態， 這說明流體傳遞熱量的方式由以對流換熱為主逐漸轉換為以熱傳導為主.當傾角進一步增大時， 流場線及等溫線的分布發生翻轉， 與 0°— 9 0°的分布正好相反(如β=60°與β=140°).在此Rayleigh數下，不論傾角如何， 流場中只有一個主渦卷， 流函數的值介于(—1.2， 1.1)之間.

當Ra=104時， 腔內流場和溫度分布如圖7所示， 由等溫線的彎曲程度可以看出， 隨著Ra數的增加， 對流明顯增強.隨著傾角β從 0°增大到 9 0°， 對流強度先增后減，β=40°時對流最強.若腔體繼續從 9 0°傾斜到 1 80°， 流場線以及等溫線的分布與0°—90°的分布相反.在此Rayleigh數下， 無論何種傾角， 流場中仍然只有一個主渦卷， 流函數的值介于(—7， 7)之間.

圖6 R a=103 時流線與等溫線圖Fig.6.Streamlines and isotherms for R a=103.

圖7 R a=104 時流線與等溫線圖Fig.7.Streamlines and isotherms for R a=104.

圖8 R a=105 時流線與等溫線圖Fig.8.Streamlines and isotherms for R a=105.

4.2.2 高Rayleigh數下對流狀態隨傾角的變化

隨著Rayleigh數的增大， 對流越來越強， 對流隨腔體傾斜角度的變化也更加復雜.圖9給出了Ra=106時流場隨傾角β從 0°變化到 1 80°時的詳細演變過程.此時對流狀態的變化較低Rayleigh數時要復雜得多， 在β=0°時， 流線圖中雖然只有一組閉合流線， 但是靠近冷熱壁的流場線彎曲的程度較大， 有分化為兩組閉合流線的趨勢， 到β=10°時流線圖中已經分裂出兩組閉合流線， 主渦卷內包含兩個同向旋轉的二次渦卷.隨著傾角的進一步增大， 二次渦卷分別向左上和右下移動， 在β=30°時兩個同向旋轉的二次渦卷之間出現了反向旋轉的三次渦.這種具有一個主渦、兩個同向旋轉二次渦和一個反向旋轉三次渦的對流狀態一直持續到β=70°， 但隨著傾角的增大， 由于重力在溫度梯度方向上的作用增大， 將對流渦卷在此方向上進行了拉伸， 致使渦卷從扁平狀逐漸變為圓形.隨著傾角進一步增大到β=80°， 二次渦和三次渦被主渦吸收合并為一個大渦卷， 流場演變為只有一組閉合流線的狀態， 此狀態一直持續到β=100°.流場在傾角為 1 10°— 1 80°范圍內的變化情況與在 0°—70°范圍內的變化情況剛好相反， 這是腔體旋轉 1 80°之后冷熱壁面互換導致的結果.在此Rayleigh數下，流函數ψ的值介于(—70， 75)之間.

圖9 R a=106 時流場結構隨傾角的變化Fig.9.Variation of flow field with inclination angle for R a=106.

4.3 解的分岔

從4.1.2節知道， 對于相同的Rayleigh數和傾角， 采用不同的過程(如過程B和過程C)得到的流場穩定狀態不同， 對應的對流傳熱Nusselt數不同， 表明存在解的分岔現象.

4.3.1 Nusselt 數的變化

進一步模擬發現， 當Ra=104和 1 05， 且傾角介于 7 0°— 1 10°之間時， 過程B和過程C的Nu曲線不重合， 出現了分岔; 但是當Ra=106或 1 03時，這種分岔現象又消失了.圖10(a)給出了Ra=4949時， 過程B與過程C中Nusselt數Nu隨傾角的變化情況.可以看出， 兩個過程的Nusselt數曲線完全重合， 此時并沒有出現解的分岔現象.而當Ra=4950時， 如圖10(b)所示， 過程B與過程C的Nu曲線在 7 0°— 1 10°之間出現了分岔， 在此傾角區間內存在兩條解的分支， 且二者的Nu曲線是對稱的(對稱軸為 9 0°).由此得到分岔出現的臨界Ra數下限值為Ra=4949.當Ra≤4949 時， 腔內流場變化情況相對穩定， 初始條件對流場變化無明顯影響， 過程B和過程C中傳熱效率的變化情況幾乎完全相同， 流場的穩定狀態是唯一的.當Ra＞4949時， 流場最終穩定狀態對初始條件有很強的依賴性， 流場的非線性演變以及對流傳熱效率也不同.

持續增大Rayleigh數直到Ra=314061 ， 對流越來越復雜， 過程B和過程C的Nu曲線仍在70°— 1 10°之間出現了分岔， 且二者關于 9 0°對稱; 當314062≤Ra＜314721時， 分岔存在的傾角區間縮短到[ 7 0°， 9 0°]之間， 兩種過程的Nu曲線出現了一種不對稱現象.此時過程B中Nu曲線關于90°對稱， 而過程C中Nu曲線不具有對稱性， 它在80°處產生跳躍， 如圖11(a)所示.進一步增大Rayleigh數到Ra=314721 時， 如圖11(b)所示， 過程B與過程C的Nu曲線已完全重合， 解的分岔消失， 分岔區間的上限為Ra=314721.綜上可知， 隨著傾角變化過程的不同， 分岔現象存在的Rayleigh數范圍為Ra∈(4949，314721).

圖10 分岔點附近Nusselt數隨傾角的變化 (a) Ra = 4949; (b) Ra = 4950Fig.10.Variation of Nusselt number with inclination angle near the bifurcation point: (a) Ra = 4949; (b) Ra = 4950.

圖11 分岔區間上界附近Nusselt數隨傾角的變化曲線 (a) R a=314720 ; (b) Ra = 314721Fig.11.Variation of Nusselt number with inclination angle near the upper bound of bifurcation interval: (a) R a=314720 ; (b) Ra= 314721.

4.3.2 對流斑圖結構的比較

圖12給出了腔體傾斜角為 8 0°時給定Rayleigh數下的流場斑圖結構.Ra=4950 時， 過程B對應的對流斑圖(圖12(a))只有一個主渦， 對流渦卷順時針旋轉， 主渦中心位于腔體幾何中心， 流函數值為—4.412; 而過程C的對流斑圖(圖12(b))顯示流場中除了中心處的大尺度主渦外， 在腔體的左上角和右下角出現了流動強度較弱的二次渦， 主渦的中心依然位于幾何中心， 流函數值為2.122.盡管二次逆向旋轉的渦卷強度很弱， 但減緩了主渦的旋轉速度， 降低了過程C的對流傳熱效率.主渦中心處流函數值的大小關系表明， 過程B比過程C中的對流更強， 對流傳熱能力也更強， 對應于圖10(b)中β=80°時過程B的Nusselt數明顯大于過程C的Nusselt數.當Ra數上升到314720時， 過程B與過程C的對流斑圖區別更加明顯， 過程B對應的對流斑圖(圖12(c))顯示腔體左下角和右上角出現了極微弱的二次渦， 強度僅約為主渦的1/750;過程C中二次渦的強度明顯更強(約為主渦強度的1/14)， 二次渦的成長將中心主渦向內擠壓， 使得中心主渦變成了橢圓結構， 如圖12(d)所示.雖然兩種過程中， 流場均出現了二次逆向渦， 但是過程C中更強的逆向二次渦大大降低了對流傳熱的能力， 致使過程C的對流傳熱能力較過程B更弱，如圖11(b)中β=80°處.兩種過程的主渦中心位置均位于腔體幾何中心， 過程B和過程C中腔體中心處流函數值分別為—45.273和41.450.無論流場結構的差異還是對流傳熱的能力差異等方面均表明， 在Ra∈(4949，314721) 的層流階段， 存在解的分岔現象.有趣的是， 若繼續增大Ra數， 這種分岔現象會消失， 但是隨著Ra增大到一定程度， 到達湍流狀態時， Wang等[26，28，29]近期的研究表明這種解的分岔現象， 或者說多態現象將會再次出現.關于湍流狀態下多態現象的研究， 感興趣的讀者可參閱文獻[26，28，29].綜合本文結果和文獻結果， 我們希望未來對層流狀態下多渦卷的穩態結構進行深入研究， 并從每一種穩態結構出發逐漸發展至湍流狀態， 這或許能更深入地揭示層流狀態和湍流狀態下影響渦卷數量變化和流動翻轉等的原因.

圖12 β =80° 時分岔點處過程B與過程C的對流斑圖Fig.12.Flow field of process B and process C at the bifurcation point for β =80°.

5 結 論

本文采用高精度高分辨率數值方法對二維傾斜方腔內自然對流進行了數值模擬研究， 討論了不同傾角變化過程對流動狀態和傳熱效率的影響， 得到以下主要結論.

1) 在給定的腔體傾角β下， Nusselt數Nu總是隨著Rayleigh數Ra的增大而增大.若給定Ra，隨著傾角從 0°增大到 1 80°(或從 1 80°減小到 0°)，Nu隨之先增大后減小再增大， 最后再次減小; 對于低Rayleigh數，Nu曲線關于β=90°對稱.

2) 當腔體水平放置時， 對于不同的流體介質，腔內自然對流換熱的強弱程度不同， 且Ra越大， 這種差異越明顯.此外， 腔體水平放置時， 相同Rayleigh數下不同流體介質的對流傳熱效率不同， 且流體的Prandtl數越大則傳熱越強， 例如流體介質為水時的傳熱效率大于流體介質為空氣時的情況.但在某些特殊傾角下， 結論可能相反， 這為實際應用提供了一些思路.

3) 腔體傾角對流動狀態有很大的影響， 特別是對于高Rayleigh數Ra=106， 傾角β在10°—70°內， 腔體內會出現二次渦甚至三次渦， 對流傳熱明顯增強.

4) 傾角在 7 0°— 1 10°之間時， 該對流系統存在解的分岔現象， 分岔現象存在的Rayleigh數范圍為Ra∈(4949，314721).在該范圍的上限附近有一個過渡區域[314062， 314721)， 此區域內解的分岔出現的傾角范圍縮小為 7 0°— 9 0°.