基于自適應Kalman濾波的平面陣列電容成像*

張玉燕 殷東哲 溫銀堂? 羅小元

1) (燕山大學電氣工程學院， 秦皇島 066004)

2) (燕山大學， 測試計量技術及儀器河北省重點實驗室， 秦皇島 066004)

針對平面陣列電極邊緣電場和病態特性嚴重影響電容圖像重建質量的問題， 提出了一種改進的自適應Kalman濾波圖像重建算法來同時減小電容及介電常數矩陣的噪聲， 在構建引入噪聲的平面陣列電容成像狀態模型的基礎上， 利用極大似然準則來對介電常數矩陣噪聲方差陣進行在線估計及實時修正， 并且通過對系統誤差協方差矩陣進行動態加權的方法來對此算法的收斂速度進行優化.通過一種復合材料結構件進行缺陷檢測實驗， 結果表明與LBP， TR正則化及Kalman濾波算法相比， 自適應Kalman濾波算法圖像誤差最高可降低約20%， 圖像相關系數高達0.79， 收斂速度提升約15%， 說明自適應Kalman濾波算法對提升重建圖像質量的有效性.此研究對提高平面陣列電容成像的量化精度有著重要意義.

1 引 言

平面陣列電容成像(planar array electrical capacitance imaging)技術是近年來由電容層析成像(electrical capacitance tomography， ECT)技術發展而來的一種新型無損檢測技術[1]， 與傳統ECT不同， 平面陣列電極傳感器是將所有電極排列在同一平面內， 利用電極邊緣效應對被測介質敏感， 通過測量電容獲得被測空間敏感場介電常數的分布信息， 經過圖像重建得到圖像灰度值信息.

平面陣列電容成像技術具有靈敏度高、穿透性強、不受被測物幾何空間限制等特點[2]， 可以對被測物進行單面檢測[3].因此， 該可視化成像技術可適用于陶瓷基復合材料粘接結構的內部粘接層缺陷檢測.陶瓷基復合材料在航空航天領域、汽車工業和機械制造領域等具有非常廣泛的應用需求， 但由于粘接工藝的原因， 陶瓷基復合材料的粘接膠層會產生一些氣泡、孔洞、夾雜等缺陷.這些細小的缺陷可能會造成很嚴重的安全隱患.而目前還沒有成熟的陶瓷基復合材料結構內部粘接層可視化無損檢測技術， 因此研究平面電容成像傳感技術具有非常重要的意義和實際應用價值.

目前對平面陣列電容成像系統的研究主要包含: 電容傳感器的設計[4，5]、3D成像[6，7]及圖像重建算法的研究.傳統的ECT圖像重建算法已經發展得非常成熟， 如: 線性反投影(LBP)[8]、Tikhonov正則化[9]、正交匹配跟蹤算法[10]等.雖然傳統的ECT圖像重建算法有很多地方值得借鑒， 但由于平面陣列電容成像系統“軟場”性質更明顯， 陣列電極數目和可用數據更少， 因此不適定問題更為嚴重[11]， 因此高精度的平面陣列電容成像算法對于實現量化檢測至關重要.近幾年針對平面陣列電容成像算法研究方面， 在文獻[12]中， 作者用模糊聚類算法(FCM)直接對電容數據進行聚類處理， 降低了電容數據噪聲對圖像質量的影響; 在文獻[13]中， 作者將Kalman濾波算法應用到平面陣列電容成像中， 通過迭代的方法， 對灰度值和誤差協方差矩陣的先驗信息不斷進行校正， 從而得到最優的灰度值矩陣.在上述兩種算法中， 作者均未考慮系統噪聲， 但由于平面陣列電極敏感場的“軟場”效應，即敏感場的分布是不均勻的， 介電常數矩陣會存在較大噪聲， 直接導致圖像的偽影非常嚴重， 影響對缺陷位置及個數的判斷.

因此， 為了提高平面陣列電容成像的量化精度， 本文考慮降低平面陣列電極軟場性質和不適定問題對圖像質量的影響， 提出了一種改進的自適應Kalman濾波圖像重建算法來同時降低電容數據及介電常數矩陣的噪聲， 并且通過對誤差協方差矩陣進行動態加權的方法來對此算法的收斂速度進行優化， 以提高重建圖像的精度， 并用模擬復合材料膠層缺陷檢測實驗驗證此算法的有效性.本工作為提升平面陣列電容成像傳感技術的量化檢測精度提供了強有力的技術依據， 進而推動其在無損檢測技術中的可靠應用.

2 平面陣列電容成像原理

平面陣列電容成像系統由電容傳感器單元、數據采集單元、圖像重建單元三部分組成(見圖1).電容陣列傳感器單元將被測物場介電常數信息轉化為電容的變化值， 數據采集系統采集電容變化值并輸入到計算機， 利用圖像重建算法在計算機上重建出被測目標的圖像[14].

圖1 平面陣列電容成像系統Fig.1.Planar array capacitance imaging system.

與傳統的ECT不同， 本文所采用平面陣列電容傳感器是排列在一個3 × 4的平面陣列中， 共12個電極; 總尺寸為170 mm × 170 mm， 每個電極尺寸為29.8 mm × 40.7 mm， 如圖2所示.實驗過程中首先激勵1號電極， 其余電極作虛地處理，依次測量1—n之間的電容值， 然后激勵2號電極，其余電極依然進行虛地處理， 以此類推， 一共可以測得66個電容值.

圖2 平面陣列電容傳感器Fig.2.Planar array capacitance sensor.

平面陣列電容成像方法基于電容的敏感機理，根據麥克斯韋電磁場理論， 在傳感器敏感場內的任一點滿足(1)式:

式中，D為電位移，ε為介電常數，E為電場強度，B為磁感應強度，ζ為磁導率，H為磁場強度，Je為電流密度，v為電導率.根據Dirichlet邊界條件，可以推出平面陣列電容傳感器電場微分方程:

其中，ε(x，y) 表 示介電常數，φ(x，y) 表示場域內電勢分布.介電常數分布與電容數據的關系為

其中，Г表示電極表面，Q代表電荷，V代表兩個電極之間的電位差.對(3)式線性化、離散化和歸一化后， 可以簡化為下式:

(4)式中，C為歸一化后的66 × 1的電容值向量，G為1024 × 1的介電常數矢量， 可看作直接進行圖像重建的灰度值;S為66 × 1024的敏感場矩陣， 圖像重建問題就是在靈敏度分布矩陣和測量電容數據已知時， 求解(4)式中的G; (4)式中的S反映了介電常數分布不均所導致的電容數據變化率.本文采用有限元的思想來劃分電勢分布， 從而求得敏感場: 首先將被測場劃分為8層， 每層32 ×32個單元， 通過Laplace變換、功率守恒公式及極板表面電荷的分布規律， 可得到i-j電極對在(x，y)處的靈敏度公式:

其中，Vi和Vj為i和j號電極施加的電壓激勵.Ei(x，y) 與Ej(x，y) 分別表示對i，j號電極施加電壓信號時(x，y)處的電場強度;p(x，y) 表示所求解的敏感區域; 然而敏感場的分布是不均勻的， 并受介質分布的影響， 即“軟場”性質， 減弱“軟場”性質帶來的介電常數矩陣噪聲是成像的一大難點.

其次， 另一大難點是獨立測量的數據C(m=66)要比重建數據的像素值(n= 1024)少很多， 即m?n， 所以(4)式的逆問題是典型的不適定的、病態的， 求解非常困難.介電常數矩陣噪聲及逆問題的病態性會直接導致圖像上偽影嚴重， 甚至會影響判斷缺陷的個數， 因此若要提高平面陣列電容成像重建圖像的質量， 就必須降低“軟場”性質及不適定問題帶來的影響.

3 基于自適應Kalman濾波的圖像重建算法

3.1 Kalman濾波算法

Kalman濾波算法是一種最優化自回歸處理算法， 目前在控制、通信、導航等領域都有著非常廣泛的應用.該算法引入狀態空間的概念， 充分利用系統的變量初始值、系統噪聲等信息， 通過對預測值和測量值不斷的迭代， 計算目標的最優估計值，從而得到所需狀態向量的最佳擬合值[15].

采用平面陣列電極進行實驗時， 由于基于邊緣電場工作， 極間電場線較弱， 且易受相互干擾， 測量出的電容變化量數據往往帶有很強噪聲， 對圖像質量有較大的影響.因此需要研究一種既能用于解決平面陣列電容成像的不適定問題， 又能抑制噪聲的穩定成像算法.因此Kalman濾波算法能夠利用迭代優化解決上述問題.Kalman濾波算法中首先建立該問題的狀態空間公式:

假設電極的敏感場分布是均勻的， 只考慮測量時外界因素產生的噪聲， 即系統噪聲為0， 測量噪聲為Vk， 其方差陣為R.Gk為狀態估計量， 也就是重建圖像的灰度值，Ck表示在k時刻測量后得到的歸一化后的電容值;S為敏感場矩陣;Φ表示一個系統矩陣， 其描述了狀態向量的演化， 默認為單位矩陣， 所以平面陣列電容成像Kalman濾波模型為

(8)式中，Gk為通過迭代在k時刻得到的灰度值矩陣， 即狀態估計值;Pk為在k時刻的協方差矩陣，Kk為k時刻的卡爾曼增益， 整個算法分為預測和校正兩大部分， 預測過程是對Gk以及Pk進行先驗估計; 校正過程是通過已知預測的先驗信息基礎上， 對狀態矩陣和誤差斜方差矩陣進行修正， 并提供反饋， 不斷地迭代， 從而得到最優的灰度值狀態矩陣[16].

3.2 基于自適應Kalman濾波的圖像重建

在上述傳統卡爾曼濾波算法中， 為了計算更加簡單， 只考慮了測量噪聲， 默認該模型中的系統噪聲是0， 沒有考慮平面陣列電極敏感場“軟場”性質帶來的影響， 因此會影響成像質量.本文為解決這個問題， 重新考慮系統噪聲對灰度值矩陣帶來的偏差， 用極大似然準則[17]來估計系統噪聲的協方差陣， 并利用新息序列及新息的協方差矩陣對系統噪聲協方差矩陣進行實時修正[18]， 依然默認測量電容噪聲序列Vk已知， 其方差陣用R表示， 系統噪聲序列wk未知， 其噪聲方差陣用極大似然法進行估計， 采用Qk表示.整個算法過程如下.

首先建立新的狀態空間表達式:

系統的新息序列和新息序列的協方差矩陣分別定義為

其中，vk為新息序列，zk為真實測量值，為測量預測值.若定義為真實灰度值與預測灰度值之差， 則由(9)式和(10)式可得:

灰度值估計誤差協方差的一步預測矩陣為

定義α=(Rk，Qk) 為存在噪聲的方差陣， 根據極大似然估計準則， 通過新息方差對Qk進行實時的調整[19]， 則目標函數為

由J(α)/?α可得:

繼續分別對(12)式和(14)式中預測參數α求偏導:

當濾波器穩定收斂后， 理論上Pk會趨于常量，并根據Kalman基本關系式[20]可得:

默認電容噪聲R的序列已知， 所以令α=R， 將(17)式與(18)式整合后代入到(16)式得:

在整個估計窗內， 若要(19)式成立， 必須滿足(20)式的條件[21]:

結合(6)式， 可以推出:

將(21)式代入(20)式可以推導出系統噪聲矩陣Qk的自動適應預測估計值:

為了加重新測量的信息在下一迭代過程中的影響， 從而減弱模型對濾波結果的限制， 可使最后一次迭代得到的灰度值最接近理論值， 誤差最小，并且在一定程度上抑制濾波發散， 加快收斂速度.實現方法就是對協方差矩陣Pk/k進行動態加權[22]，其基本思想就是隨著k時刻Pk/k的不同， 對Pk/k提供不同的加權系數， 實現可變加權， 提高卡爾曼濾波增益的模.系數λk如下:

系數λk逐漸增大并且大于等于1， 當k較小時，a取盡量接近1的值， 當k較大時，a取接近0的值.這樣就可以加強對新測量的電容值和灰度值矩陣的修正.

在k=0 時刻， 采用正則化算法得到灰度值G0作為AKF算法迭代的初始值， 根據以往經驗， 以及實驗驗證， 正則化因子為0.1時效果最好.結合(8)式可得動態加權自適應Kalman濾波的平面陣列電容成像公式[23]:

4 實驗設計與結果評價

4.1 檢測實驗設計

本文采用模擬復合材料膠接結構樣件中膠層缺陷的檢測實驗， 驗證所提出圖像重建算法的有效性.實驗材料選取陶瓷基多孔復合材料， 長 × 寬為15 cm × 15 cm、厚度為10 mm， 模擬膠層選取的是16 cm × 16 cm、厚度為3 mm的環氧樹脂膠塊， 其介電常數與隔熱材料相近.測量中電容空場定義為沒有膠層的狀態(圖3)， 滿場定義為滿膠層的狀態(圖4)， 傳感器單元、數據采集單元和圖像重建單元的實物圖如圖5所示.被測復合材料樣件放置在傳感器上方， 以非接觸方式進行測量.傳感電極的電場需要穿透復合材料才能敏感到膠層材料.

圖3 無膠層狀態Fig.3.Sample without adhesion.

圖4 滿膠層狀態Fig.4.Complete sample.

接下來分別設計4種由簡單到較復雜的實驗樣件， 并分別用LBP算法、Tikhonov正則化算法、傳統Kalman濾波算法和自適應Kalman濾波算法來對成像質量進行對比.

樣件一為尺寸20 mm × 20 mm的單孔正方形缺陷(圖6(a)).樣件二為兩個尺寸20 mm ×20 mm的斜雙孔缺陷(圖6(b)).樣件三設計為尺寸20 mm×20 mm的上下雙孔缺陷(圖6(c)).樣件四為尺寸20 mm×20 mm的三孔缺陷 (圖6(d)).4種樣件分別使用傳統圖像重建算法與自適應Kalman濾波算法得到的重建圖為表1所示.圖7—圖10為歸一化后4種樣件的測量電容值與滿場狀態下電容值的差值折線圖.

從4種樣件的成像效果圖來看， LBP和Tikhonov正則化算法生成的圖像偽影非常嚴重， 對于樣件四這種較為復雜的缺陷樣件， 甚至分辨不出缺陷的個數， 而Kalman濾波算法考慮了外界因素導致的傳感器測量的電容誤差， 對圖像的偽影有些許改善， 但沒有考慮系統誤差， 圖像誤差依然很大，樣件四的缺陷輪廓較為模糊; 但自適應Kalman濾波算法不僅考慮了電容測量誤差， 還用極大似然準則估計了敏感場“軟場”性質帶來的系統誤差， 結果表明對4種樣件都有很好的消除偽影的效果， 能清晰地分辨出缺陷的個數， 下文將從重建圖像誤差、圖像相關系數對4種算法生成的圖像質量進行對比.

圖5 (a)傳感器單元; (b)數據采集單元; (c) 圖像重建單元實物圖Fig.5.(a) Sensor unit; (b) data acquisition unit; (c) physical image of image reconstruction unit.

圖6 樣件一(a)、二(b)、三(c)、四(d)示意圖Fig.6.Schematic diagram of sample I (a)， II (b)， III (c) and IV (d).

圖7 樣件一電容差值折線圖Fig.7.Capacitance difference of sample I.

圖8 樣件二電容差值折線圖Fig.8.Capacitance difference of sample II.

圖9 樣件三電容差值折線圖Fig.9.Capacitance difference of sample III.

圖10 樣件四電容差值折線圖Fig.10.Capacitance difference of sample IV.

表1 不同算法成像效果圖Table 1.Imaging effects of different algorithms.

4.2 圖像質量評價

在得到重建圖像之后， 一般用重建圖像誤差Ie和圖像重建相關系數Ic來對圖像的質量進行評價.Ie是指圖像重建之前與重建后的灰度值矩陣向量的相對誤差值，Ie越小， 圖像的質量就越高， 其公式為

其中，G為初始的圖像的灰度值矩陣;為重建迭代后的灰度值矩陣.Ic指原始的缺陷圖像與經過算法重建后的圖像灰度值向量之間的相關度，Ic越大重建后的圖像與原始的圖像就越接近， 圖像質量也就越高， 評價公式為

4種樣件分別用上述4種算法得到的圖像誤差和圖像相關系數對比分別如表2和表3所示.

表2 不同算法圖像誤差對比Table 2.Image error comparison of different algorithms.

表3 不同算法圖像相關系數對比Table 3.Comparison of image correlation coefficients of different algorithms.

從表2和表3可以看出， 對于4種樣件， AKF算法相比于其他3種算法， 圖像相關系數都有較大提升， 圖像誤差有明顯降低， 尤其對于樣件四這種較為復雜的缺陷樣件， LBP， TR算法的圖像相關系數僅僅在0.25左右， 而AKF算法依然可以在0.6以上， 提升近60%， 由此可以說明越是復雜的缺陷， 電場線更容易受到干擾， 敏感場“軟場”性質更嚴重， 所以AKF算法的優勢就更明顯.

由于真實的工程測量環境要比在實驗室更復雜， 電容噪聲和敏感場噪聲更大， 為了更加貼近實際的工業環境， 我們在電容數據和敏感場矩陣同時被擾動的情況下對KF和AKF兩種迭代算法前100次迭代的圖像誤差進行對比， 從而判斷收斂速度.首先定義電容數據噪聲水平Ec和敏感場噪聲水平Es:

圖11 樣件一圖像誤差Fig.11.Image error of sample I.

圖12 樣件二圖像誤差Fig.12.Image error of sample II.

圖13 樣件三圖像誤差Fig.13.Image error of sample III.

圖14 樣件四圖像誤差Fig.14.Image error of sample IV.

對于4種樣件， KF算法以及AKF算法完成收斂所需要的迭代次數以及完全收斂后的圖像誤差如表4所示.通過圖11—圖14及表4可以分析出， 在電容數據和敏感場矩陣同時被擾動的情況下， AKF算法相比于KF算法， 依然可以用更少的迭代次數完成收斂， 并且收斂后的圖像誤差有明顯降低.從而進一步說明AKF算法在收斂速度和濾波精度上都有較大提升.

表4 不同算法收斂速度對比Table 4.Comparison of convergence speed of different algorithms.

5 結 論

本文提出了一種改進的自適應Kalman濾波圖像重建算法來解決平面陣列電容傳感技術檢測復合材料構件粘接缺陷的成像問題， 并通過復合材料粘接構件進行缺陷檢測.實驗結果表明， 所提算法對平面陣列電極嚴重的不適定成像條件有較好的適應性.本文算法采用極大似然法估計平面陣列電容成像模型的噪聲方差陣， 有效降低了測量電容噪聲及電極敏感場“軟場”性質帶來的介電常數矩陣噪聲， 使圖像誤差相較于其他幾種算法最高可降低20%， 重構圖像相關系數高達0.79， 并且通過對誤差協方差矩陣進行動態加權的方法來對此算法的收斂速度進行優化， 收斂速度提升近15%.此研究為提高平面陣列電容成像檢測的量化精度提供了強有力的技術依據.后續將進一步考慮復雜被測物場條件下的圖像重建.