巨梯型四能級里德伯原子系統透射光譜性質的調控*

高小蘋 梁景睿 劉堂昆 李宏 劉繼兵?

1) (湖北師范大學物理與電子科學學院， 黃石 435002)

2) (湖北師范大學， 光電技術與材料湖北省重點實驗室， 黃石 435002)

采用超級原子模型研究了一個巨梯型四能級里德伯原子系統與一個弱光場和兩個強控制場的相互作用.利用蒙特卡羅算法， 通過數值求解海森伯-朗之萬方程， 討論了系統的動力學演化， 研究了偶極-偶極相互作用對探測場透射譜和二階強度關聯函數的影響.在有限溫度下， 利用洛倫茲分布函數代替麥克斯韋分布函數，得到解析的探測場極化率， 討論了強場的失諧量對系統出射探測場透射譜對稱性質的影響， 最后研究了多普勒效應對探測場透射譜和二階強度關聯函數的影響.結果表明， 在電磁誘導透明條件下， 透明窗口處出射探測場的透射率隨著入射探測場強度的增強而減弱， 而當系統入射探測場強度不變時， 通過改變強場的失諧量可以得到非對稱的透射譜.此外， 當弱探測場和強場的傳播方向一致時， 多普勒效應對系統透射譜和二階強度關聯函數的峰值有很小的影響.當探測場和強場的傳播方向不一致時， 多普勒效應對系統透射譜和二階強度關聯函數的影響可以忽略.

1 引 言

偶極-偶極相互作用是極性分子間最普遍的一種相互作用.里德伯原子系統中具有較強的偶極-偶極相互作用， 可用于量子計算中的多量子比特操作， 進而實現復雜的量子操控.因此吸引了大量的科研工作者從事相關研究.比如， 利用偶極-偶極相互作用可以研究不同原子能級之間的糾纏動力學問題[1—4]、實現可控的量子門方案[5]以及量子糾纏[6，7].除此之外， 對原子-分子相干操控[8，9]、慢光控制[10]、可控光柵[11，12]、以及原子系統的光學雙穩性[13]、非線性孤立波[14—17]、玻色愛因斯坦凝聚體的結構和磁化率等方面的研究也有促進作用[18—21].里德伯原子之間的偶極-偶極相互作用非常強， 利用電磁誘導透明技術， 可以實現單光子巨克爾效應[22—24].利用超級原子模型理論方法[25—27]求解里德伯原子系綜的光學響應問題， 將超級原子模型計算出的透射強度與實驗結果[28]進行對照， 結果表明兩組結果符合得非常好.利用干涉儀， 在三能級梯型系統中測量了系統的色散特性[29]; 在N型系統中實現了單光子開關[30]; 在倒Y型系統中， 實現了線性電磁誘導透明和非線性電磁誘導透明兩窗口的分離， 并且通過調節探測場強度實現了透射光譜由對稱向不對稱的轉換[31]; 在四能級梯型系統中發現， 當系統滿足共振條件時， 出現無多普勒中心吸收的現象[32].

在有限的溫度下， 利用洛倫茲分布函數， 研究了二能級冷原子系統單光子里德伯激發， 發現原子溫度越高， 多普勒展寬可以減小雙穩態區域[33]; 對三能級梯型里德伯原子模型進行改進， 討論了三能級里德伯冷原子系統的相干效應， 結果表明在低溫下多普勒展寬會削弱探測光的的非經典性質[34];利用數值計算方法， 討論了多普勒效應對分子磁體介質中透射光柵的影響[35，36].在四能級Y型系統中， 當探測場的拉比頻率增加時， 探測場的電磁誘導透明會轉化為電磁誘導吸收[37]; 英國和美國的小組在四能級梯型里德伯原子系統中觀察到了電磁誘導透明， 探測光譜呈現亞多普勒特征， 由于交流斯塔克位移補償了多普勒頻移， 可以實現光譜增強[38].國內的研究小組[39]提出了一個實驗上可行的方案， 通過三步級聯激發控制穩態里德伯態布局， 該方案與傳統的雙光子電磁誘導透明不同， 穩態里德伯態布局由兩個耦合場之間的相對強度決定， 而不取決控制場的絕對值.在此基礎上， 本文討論了不同強度入射探測場對里德伯原子系統的透射譜和二階強度關聯函數的影響， 計算了失諧量對系統對稱透射譜影響， 最后給出有限溫度下透射譜和二階強度關聯函數隨探測失諧量的變化曲線.

2 理論模型

考慮圖1所示的巨梯型四能級原子系統[39]，由基態|g〉， 亞激發態|k〉， 激發態|e〉和一個里德伯態|r〉組成.一個頻率為ωp的探測場驅動躍遷|g〉到|k〉， 其拉比頻率為而兩個頻率為Ωc1和Ωc2的控制場分別驅動躍遷|k〉到|e〉和|e〉到|r〉， 對 應 的 拉 比 頻 率 分 別 為Ωc1=Ec1μke/(2?) 和Ωc2=Ec2μer/(2?).其中Ec1和Ec2分別描述第一個控制場的振幅和第二個控制場的振幅，μxy(xy=g，k，e，r)表示|x〉→|y〉躍遷的電偶極矩，表示探測場的振幅算符，V表示里德伯原子的量子探測體積， 考慮偶極-偶極相互作用， 系統的哈密頓量可以表示為

其中，表示四能級原子的哈密頓量，表示四能級原子與三個場的相互作用哈密頓量，表示范德瓦耳斯偶極-偶極相互作用哈密頓量，表示第i個原子的投影算符，Rij表示i原子和j原子之間的距離.δp=ωp-ωkg表示弱探測場的失諧量，δe=Ωc1-ωek和δr=Ωc2-ωre分別表示兩個控制場的失諧量.

圖1 里德伯原子系統能級示意圖， 一個失諧量為 δp 的弱探測場驅動基態到亞激發態的躍遷， 第一個失諧量為 δe 的強控制場驅動亞激發態到激發態的躍遷， 第二個失諧量為δr 的強控制場驅動激發態到里德伯態的躍遷.實際能級基于銫原子選取Fig.1.General energy level diagram for four levels Rydberg atomic system.A weak probe field， detuned from the intermediate level by δp ， drives transitions from the ground state | g〉 to the intermediate state | k〉.The first strong control field， detuned from the intermediate level by δe ，drives transitions from the intermediate state | k〉 to the excited state | e〉.State | r〉 is a Rydberg state directly coupled to state | e〉 by the second strong control field Ω c2.Real energy levels are shown based on Cs atoms.

假設弱探測光沿著Z軸方向傳播，σ^μν(r) 表示處在Z處微小體積 ΔV內的所有的平均值， 利用弱場近似， 可以得到如下海森伯-朗之萬方程(令?=1):

式 中Δ1=γgκ+iδp，Δ2=γge+(iδp+iΔe)，Δ3=γgr+(iδp+iδe+iδr) ， 其中γgk，γge，γgr表示相應能級的衰減率.表示由于范德瓦耳斯作用引起的里德伯態|r〉的總位移.在穩態條件下， 假設原子最初狀態處在基態|g〉，有采用絕熱近似條件消除， 可以得到

借助超原子概念， 在偶極阻塞機制下， 一個超原子內部只有一個原子被激發到里德伯態|r〉， 每個超原子的體積是偶極阻塞半徑[25]， 在這個模型中， 超原子的阻塞半徑Rb=超原子之間沒有偶極相互作用， 因此原子樣品可以看作是由無偶極相互作用的超級原子組成的.假設原子局域密度為ρ(r) ，則單個超原子中含有的平均原子數目nSA=ρ(r)VSA.

根據超級原子的定義， 每個超原子結構中含有很多集體態， 但是每個超原子中最多有一個原子被激發到里德伯態|r〉， 僅用四個集體態就可以很好地描述巨梯型原子系統， 即

則系統中探測場的極化率:

其中α3和α4分別表示梯型和巨梯型原子的極化率， 通過在穩態時求解方程(3)—方程(6)， 可以得到α3和α4的表達式如下:

為了了解系統演化的詳細信息， 采用蒙特卡羅方法數值求解方程(13)—方程(17).首先在傳播方向上求出超級原子的個數L/(2Rb) ，L為原子樣品的長度，Rb為超級原子半徑.其次， 在每個超級原子處產生一個隨機數pz∈[0，1] ， 如果則令表明超級原子內部有一個里德伯原子被激發， 此時系統表現為巨梯型原子系統.反之，系統超級原子內部沒有里德伯原子被激發， 表現為普通三能級梯型原子系統.最后， 重復多次這樣的獨立過程， 然后對所有的數值結果取平均值.數值計算過程中采用Monte-Carlo方法， 可以保證系統狀態接近真實的原子隨機分布情況， 進而保證數值計算的可信度.

3 理論與數值計算

本文采用真實的超冷Cs原子參數[39]， 具體取值為Ωc2/(2π)=10 MHz， 激光線寬為 0.5MHz.原子的密度遵循分 布， 其中峰值為ρ0=1.32×1 07mm-3且半峰寬度為σz=0.7mm.超級原子模型封鎖半徑為Rb=4.58 μm，每一個超級原子內含有的原子個數為nSA≈4.7 ，那么100個SA原子組成的介質長度為L=0.9 mm.

圖2(a)給出了在不同初始探測光強度下的透射光譜隨單光子失諧量δp的變化圖， 變化趨勢與梯型三能級里德伯原子系統中的結果類似[24].在圖2(a)中可以清楚地觀察到在δp/(2π)=±5MHz處有兩個透明窗口， 在透明窗口處隨著探測光場強度的增加， 透射率逐漸降低， 對應的EIT窗口受到抑制，Ip(L)/Ip(0) 最大值在0.3—0.6之間， 表明由于范德瓦耳斯相互作用導致的非線性效應起到主要的作用.圖2(b)表明隨著探測光強度的增大， 在透明窗口處， 光子的反聚束效應逐漸增大， 當Ωp/(2π)=4MHz 時， 二階強度關聯達到=0.6.有限溫度情況下， 考慮多普勒效應對系統透射和二階強度關聯函數的影響.假定原子沿著Z軸傳播， 其運動速度分布遵循麥克斯韋分布規律， 在計算時，要做如下更改:δr+κ3v，其 中κ1，κ2，κ3為 對 應 的 波 失， 且κ1=wp/(2π)，κ2=we/(2π)，κ3=wr/(2π).則多普勒效應下系統的極化率可以改寫為

其中α3D和α4D的表達式為

其 中ΔF=iκ1+iκ2，B1=Δ1ΔF+iκ1Δ2和D1=表 達 式 詳見附錄A.

圖2 (a)透 射函數 I p(L)/Ip(0) 隨 δ p/(2π) 變化的 曲線， 三條線對應不同的初始探測場 Ω p/(2π)=0.1，2.0，4.0 MHz;(b)對應的探測場的二階強度關聯函數 隨δp/(2π) 變 化 的 曲 線， 其 他 參 數 取 值 分 別 為 δ e=δr= 0 ，Ωc1/(2π)=Ωc2/(2π)=10MHzFig.2.(a) Probe field transmission I p(L)/Ip(0) versus detuning δp ， for different input intensities corresponding to Ωp/(2π)=0.1，2.0，4.0MHz; (b) corresponding intensity correlation functions .Other parameters are δe=δr=0 ， Ω c1/(2π)= Ω c2/(2π)=10 MHz.

圖3 探 測 光 和 控 制 光 同 向 傳 播 時， (a)透 射 函 數Ip(L)/Ip(0) 和(b)光子二階強度關聯函數隨 δp 的變化， 其中 δ e=δr=43 MHz， Ω p/(2π)=1.5 MHz，Ωc1/(2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz， 實 線 表 示 T =0.3K ， 虛線表示 T =0 KFig.3.When probe and control fields travel in the same direction， (a) the transmission of probe fieldIp(L)/Ip(0)and (b) the corresponding intensity correlation functionsversus the probe detuning δp.Other parameters are selected as δ e=δr=43 MHz，Ωp/(2π)=1.5 MHz， Ω c1/(2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz.The solid curve denotes T =0.3 K， and the dashed curve denotes T =0 K.

圖4 探 測 光 和 控 制 光 反 向 傳 播 時， (a)透 射 函 數Ip(L)/Ip(0) 和(b)光子二階強度關聯函數 隨 δp 的變化， 其中 δ e=δr=43 MHz， Ω p/(2π)=1.5 MHz，Ωc1/(2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz， 實 線 表 示 T =0.3 K， 虛線表示 T =0 KFig.4.When probe and control fields travel in opposite directions， (a) the transmission of probe fieldIp(L)/Ip(0)and (b) the corresponding intensity correlation functions versus the probe detuning δp.Other parameters are selected as δ e=δr=43 MHz，Ωp/(2π)=1.5 MHz， Ω c1(/2π)=Ωc2/(2π)=10 MHz.The solid curve denotes T =0.3 K， and the dashed curve denotes T =0 K.

光同向傳播的條件下， 圖3給出了T=0K 和T=0.3K時透射函數和二階強度關聯函數隨著單光子失諧量δp的變化圖.圖3(a)與圖2(a)對比可知， 當 調 節 失 諧 量 (δe，δr) 的 值 從0 MHz變 為43 MHz時， 系統的對稱透射譜轉變為非對稱透射譜， 而且透射率相對于圖2(a)的透射率略高， 在δp=0MHz 的右側幾乎沒有光透過， 造成這一現象的原因是失諧量可以影響范德瓦耳斯力產生的能級移動.當兩束控制光反向傳播時， 圖4給出了T=0K 和T=0.3K 時透射函數和二階強度關聯函數隨著δp的變化圖.可以看出，T= 0 K和T=0.3 K的兩條曲線基本重合， 表明調節控制光的傳播反向， 可以有效消除多普勒效應對透射譜和二階強度關聯函數的影響， 原因是當反向傳播時， 由于λp，λc1和λc2相差不大， 三光子失諧中-κ1ν+κ2ν相互抵消， 多普勒效應的影響可以被抵消[34].

4 結 論

本文研究了巨梯型四能級超冷里德伯原子系統與三個光場的相互作用， 通過調節兩束強光強度和失諧量， 可以有效調節弱探測光場的透射譜和二階強度關聯函數， 隨著弱探測場的初始強度的增加， 透明窗口處探測場的透射率減小， 表明里德伯態之間偶偶相互作用導致系統的非線性效應增強且起主要作用.選取合適的控制場強度， 當失諧量由δe=δr=0 ， 改 變 為δe=δr=43MHz 時， 系 統可透射譜由對稱變為不對稱.最后考慮多普勒效應對系統透射譜的影響， 為了準確評估多普勒效應的影響， 在積分時采用洛倫茲分布函數M(v)=代替克斯韋速度分布函數， 得到了系統解析的探測極化率.研究結果表明， 在低溫條件下，當探測光和控制光同向傳播方時， 多普勒效應對系統透射的影響主要集中在透明窗口處.當光場異向傳播時， 多普勒效應對系統的透射譜和二階強度關聯函數的譜線幾乎重合， 即通過控制光的傳播方向， 可以有效消除溫度對系統的影響.

附錄A

K1，K2，K2表達式如下:

對應的B2，C2，E，F，G，E1和E2的表達式如下: