基于新型自卷積窗和插值補(bǔ)償?shù)牟蓸臃椒ㄑ芯?/h1>
2021-06-18 10:50:50張國強(qiáng)李亞琭胡志遠(yuǎn)
自動(dòng)化儀表 2021年4期
張國強(qiáng),李亞琭,胡志遠(yuǎn)
(北京東方計(jì)量測試研究所,北京 100086)
0 引言
在電學(xué)計(jì)量校準(zhǔn)中,同時(shí)保證對正弦信號(hào)基波幅值測量和信號(hào)間相位差測量的準(zhǔn)確度,對于測試校準(zhǔn)有著十分重要的作用[1-2]。電學(xué)測量的主要研究方向之一為通過采樣方法獲得采樣點(diǎn),再通過采樣點(diǎn)分析得到相關(guān)電學(xué)參數(shù)[3]。關(guān)于正弦信號(hào)幅值[4-5]、雙路正弦信號(hào)相位差[6-7]的分析方法有多種。這些方法被普遍應(yīng)用于工頻諧波的幅值、頻率、無功功率的分析[8-10],以及工頻信號(hào)的相位差分析[11-12],并有著較高的準(zhǔn)確度[13]。但是其主要應(yīng)用于工頻正弦信號(hào)的諧波參數(shù)分析,無法滿足電學(xué)計(jì)量校準(zhǔn)需求。
本文結(jié)合了加窗函數(shù)法和頻譜分析法,并且針對電學(xué)計(jì)量測試中連續(xù)正弦信號(hào)的特點(diǎn),對兩種方法進(jìn)行改進(jìn)。該方法相比目前已經(jīng)存在的幅值和相位差測量法,更加適用于對計(jì)量校準(zhǔn)用的正弦信號(hào)進(jìn)行測量,并且幅值和相位差測量的精度均更高。
1 整周期采樣下的幅值、相位差測量
設(shè)定通過數(shù)字采樣得到的雙路同頻信號(hào),且信號(hào)中沒有諧波,則其采樣數(shù)為N的采樣序列u1n和u2n可以表示為:
式中:f為信號(hào)的頻率;U1和U2分別為信號(hào)的幅值;φ1和φ2分別為信號(hào)的采樣初始相位;fs為采樣頻率。
在數(shù)字采樣中,如果采樣間隔Ts=和信號(hào)周期T=之間滿足關(guān)系NTs=aT(a為正整數(shù)),那么采樣就為整周期采樣。對整周期采樣條件下的兩路采樣序列um n(m=1,2) 作離散傅里葉變換(discrete Fourier tramsform,DFT),則可用式(3)表示為:
這時(shí),可以直接通過X1k、X2k序列中的最大值位置p以及其所對應(yīng)的計(jì)算出信號(hào)的幅值U1和U2,并且信號(hào)間的相位差φ=arg(X1p)-arg(X2p)。
2 非整周期采樣下的幅值、相位差測量
2.1 DFT 頻譜泄漏
在對實(shí)際正弦信號(hào)進(jìn)行數(shù)字采樣時(shí),被采樣的正弦信號(hào)中存在諧波,且采樣條件基本為非整周期采樣NTs=(a+Δ)T(a為正整數(shù)且＜1)。雙路信號(hào)的采樣序列u1n和u2n通過DFT 后,就會(huì)存在頻譜泄漏[14]。選擇u1n進(jìn)行分析,并設(shè)=τ,那么實(shí)際采樣序列通過DFT 變換后的如式(4) 所示。其中,m為諧波次數(shù)。
此時(shí),對于基波信號(hào),其誤差e可以通過理想情況下的DFT 與實(shí)際采樣的DFT 作差得到。
分析式(5),可將基波的測量分為三部分誤差。長范圍泄漏誤差el是由于不同次諧波之間的相互干擾造成的。短范圍泄漏誤差es是由于采樣的柵欄效應(yīng)導(dǎo)致的信號(hào)頻譜中峰值點(diǎn)的觀測偏差,包括峰值點(diǎn)的幅值、頻率以及相位。負(fù)頻點(diǎn)泄漏誤差en也是長范圍泄漏的一種。
其中:
為了減少DFT 的運(yùn)算量,一般采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)算法代替DFT。FFT 對于采樣序列長度,N要求為:N=2x為正整數(shù)。
2.2 泄漏的修正方法
2.2.1 新型自卷積梯形窗的設(shè)計(jì)
本文采用加窗函數(shù)消除由于長范圍泄漏和負(fù)頻點(diǎn)泄漏引入的誤差。為了保證基波測量的準(zhǔn)確性,通過選擇參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)[15],采用調(diào)節(jié)其參數(shù)的方式改變其主瓣寬度和旁瓣衰減速度。梯形窗是介于三角窗和矩形窗之間的窗函數(shù)。時(shí)域長度為M、上底長度為L的離散梯形窗如式(9)所示。
令L和M的比值為ε,即:
當(dāng)ε 趨近于1 時(shí),梯形窗近似于矩形窗;當(dāng)ε 趨近于0 時(shí),梯形窗近似于三角窗。通過調(diào)節(jié)ε,可以改變梯形窗的主瓣寬度、旁瓣峰值電平。
對式(9)所示的離線梯形窗函數(shù)施加單位階躍響應(yīng)函數(shù)u(*)后,再將得到的響應(yīng)函數(shù)通過z變換從離散時(shí)域向復(fù)頻域轉(zhuǎn)化,可得:
令z=ejω=cosω+j×sinω。將其代入式(11),就能夠得到梯形窗的頻譜響應(yīng)函數(shù),如式(11)所示。
通過式(12),可得到梯形窗的主瓣寬度BW=通過調(diào)節(jié)ε,就可以調(diào)節(jié)矩形窗函數(shù)的主瓣寬度,同時(shí)旁瓣的峰值電平Asp(dB)也會(huì)變化。為了滿足FFT 運(yùn)算對序列長度的要求,設(shè)定時(shí)域長度M=1 024,ε取值步長為0.1,觀察其旁瓣的峰值電平變化;在τ屬于 (0.1,0.2]或[0.2,0.3)中的某一個(gè)區(qū)間內(nèi),取到Asp的最大值衰減值。所以先取ε屬于區(qū)間(0.1,0.2],得到Asp的最大衰減值。ε對Asp的影響如表1 所示。
表1 ε 對Asp 的影響Tab.1 Effect of ε on Asp
通過表1 可知,選擇ε=0.15,此時(shí)旁瓣峰值電平為-32.75 dB。
為了進(jìn)一步減小梯形窗的旁瓣峰值、提高其旁瓣衰減速率,對梯形窗進(jìn)行自卷積運(yùn)算,構(gòu)建新型的梯形窗函數(shù)。
通過自卷積窗函數(shù)的定義,定義p階自卷積梯形窗為p個(gè)梯形窗進(jìn)行卷積運(yùn)算,即:
對于p階梯形窗,需要進(jìn)行(p-1)次自卷積運(yùn)算,運(yùn)算后的新型窗函數(shù)的長度為pM-p+1。同樣,為了便于對窗函數(shù)序列進(jìn)行FFT,所以對最終的卷積結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)零,使得離散梯形的自卷積窗wTp(n)的長度滿足N=pM。
根據(jù)式(11)和式(13),可以得到p階自卷積梯形窗的離散頻譜:
所以,p階自卷積梯形窗的主瓣寬度為B=1～4 階且ε=0.15 的自卷積梯形窗的旁瓣峰值電平Asp(dB)與卷積階數(shù)p滿足如式(16)所示關(guān)系。
2.2.2 譜線插值算法
通過構(gòu)建新的自卷積梯形窗,利用窗函數(shù)的旁瓣衰減特性,能夠?qū)Ψ钦芷诓蓸酉碌腄FT(FFT)算法中存在的長范圍泄漏和負(fù)頻點(diǎn)泄漏進(jìn)行抑制。而對于非整周期采樣下條件DFT 存在的短范圍泄漏誤差,則提出譜線插值算法進(jìn)行修正。
對于非整周期采樣條件下的雙路信號(hào)序列u1n和u2n中的任意一路信號(hào),其基波的幅頻信息的譜線應(yīng)該介于其離散頻譜特性中幅值最大和次最大的兩根譜線之間。只考慮短范圍泄漏,并假設(shè)兩根譜線分別為第p根譜線和第(p+1)根譜線,基于式(4)進(jìn)行推導(dǎo),就可以得出第p根譜線和第(p+1)根譜線的值,如式(17)、式(18)所示:
Xp的實(shí)部Rp和虛部Ip分別為:
同理,對于第(p+1)根譜線對應(yīng)的Xp+1,其虛部為:
2.4 血糖（Glu）和皮質(zhì)醇（Cor） 兩組病人組間比較，T3、T4時(shí)間點(diǎn)B組Glu和Cor均高于A組，且差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異（P＜0.01）。A組Glu于T4時(shí)明顯高于T1（P＜0.05）；A 組 Cor于 T3、T4時(shí)較 T1顯著升高（P＜0.01）。 B 組 Glu 于 T2～T4時(shí)明顯高于 T1（P＜0.01）；B組 Cor于 T3、T4時(shí)明顯高于 T1(P＜0.01)。 見表 4。
式中:p和(p+1)為基波的幅頻特性曲線中幅值最大譜線以及次最大值譜線所對應(yīng)的位置;N為采樣點(diǎn)數(shù);λ為兩條譜線所對應(yīng)的值的虛部之比。其均為已知量,僅τ為未知量。
在求出τ之后,就可以求出α、β。再通過式(20)和式(21),可得:
同樣地,在求出α、β后,由于Rp和Ip已知,可以反解出a和b的值。
可以計(jì)算出該路信號(hào)的基波幅值為:
初始相位為:
2.2.3 幅值和相位差的精確測量方法
對雙路連續(xù)正弦信號(hào)的基波幅值和相位差,通過采樣以及采樣算法進(jìn)行精確測量。所得到的實(shí)際雙路信號(hào)采樣圖如圖1 所示。對于每一次采樣,都可以通過加自卷積梯形窗的補(bǔ)償算法準(zhǔn)確測量每一路正弦信號(hào)的幅值信息。但是在實(shí)際采樣中,無法保證采樣的起始點(diǎn)能夠剛好與信號(hào)源發(fā)生的起始點(diǎn)重合,而且在第二次采樣過程中,前一次采樣的數(shù)據(jù)處理也會(huì)使得采樣不連續(xù)。所以對于單路信號(hào),計(jì)算得到的初始相位值均對應(yīng)采樣器進(jìn)行單次采樣的初始相位,初始相位值會(huì)持續(xù)變化。
圖1 實(shí)際雙路信號(hào)采樣圖Fig.1 Actual dual signal sampling diagram
雖然采樣測量的初始相位會(huì)隨機(jī)變化,但是對于第一次采樣,其主要造成的偏差在于采樣器進(jìn)行采樣的時(shí)間起點(diǎn)延時(shí)于信號(hào)源發(fā)生的起點(diǎn)而產(chǎn)生的相移φs,以及非整周期采樣條件下進(jìn)行DFT 而引入的初始相位測量誤差φn。所以,當(dāng)雙路正弦信號(hào)同時(shí)發(fā)生,且通過采樣器雙路信號(hào)同時(shí)采樣時(shí),其初始相位的實(shí)際值φ1、φ2和通過采樣得到初始相位測量值φa、φb的關(guān)系可以表示為:
通過本文所描述的補(bǔ)償算法,可以消除非整周期采樣下進(jìn)行DFT 所引入的初始相位測量誤差。基于同時(shí)采樣的條件,所以兩路信號(hào)由于信號(hào)源發(fā)生與采樣器采樣不同步引起的相移φs相同。兩路信號(hào)的相位差為:
式中:φ′1、φ′2為通過插值補(bǔ)償算法求出采樣信號(hào)序列的初始相位,其中已經(jīng)不包含非整周期采樣下進(jìn)行DFT所引入的初始相位測量誤差。
從第二次采樣開始,除了φs與φn,單通道初始相位測量中還存在由于計(jì)算上次采樣數(shù)據(jù)而造成的時(shí)移產(chǎn)生的相移Δφ。所以對于同頻且同時(shí)發(fā)生的雙路信號(hào),對其進(jìn)行同時(shí)采樣計(jì)算,有:
2 路信號(hào)的相位差為:
通過加自卷積梯形窗的補(bǔ)償算法與采樣器的同時(shí)采樣相結(jié)合的方法,可以精確測量兩路信號(hào)之間的相位差。完整的基于新型自卷積窗和插值補(bǔ)償?shù)牟蓸臃椒ㄈ缦隆?/p>
①由設(shè)定好采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng),對雙路正弦連續(xù)信號(hào)進(jìn)行同時(shí)、連續(xù)采樣,在每個(gè)采樣循環(huán)中生成一組帶有雙路信號(hào)采樣值的離散序列。②將離散序列進(jìn)行加自卷積梯形窗的FFT 變換。③查找FFT 變換后,雙路信號(hào)各自頻譜中幅值最大的譜線以及幅值次最大的譜線,記錄其位置和以及兩條譜線各自實(shí)部和虛部的大小。④通過算法描述計(jì)算τ。⑤利用τ計(jì)算雙路信號(hào)基波幅值的準(zhǔn)確值U1、U2,和消除了DFT 誤差的信號(hào)采樣初始相位φ′1、φ′2。⑥直接作差,計(jì)算兩路信號(hào)的相位差φ。
3 試驗(yàn)驗(yàn)證
為了驗(yàn)證自卷積梯形窗及譜線插值補(bǔ)償方法的有效性,并且針對交流電阻中對于基波測量準(zhǔn)確度的需求,通過Matlab 生成離散序列模擬非整周期采樣下,帶有微小諧波分量的類正弦波形信號(hào),再通過傳統(tǒng)的DFT 算法和本章所設(shè)計(jì)的自卷積梯形窗三譜線插值算法進(jìn)行對比。其中,自卷積梯形窗為三階。假設(shè)被測信號(hào)為:
設(shè)定信號(hào)頻率f=101 Hz、采樣頻率為1 kHz,正弦信號(hào)的基波仿真計(jì)算結(jié)果如表2 所示。通過分析2n(n=7,8,9,10)個(gè)采樣點(diǎn),使其滿足FFT 算法的點(diǎn)數(shù)要求。通過分析基波(1 次諧波)的數(shù)據(jù),驗(yàn)證補(bǔ)償算法是否能夠消除傳統(tǒng)DFT 在非整周期采樣下存在的長范圍泄漏、負(fù)頻點(diǎn)泄漏以及短泄漏問題。
表2 正弦信號(hào)的基波仿真計(jì)算結(jié)果(f=101 Hz,fs=1 kHz)Tab.2 Fundamental wave simulation results of sine signal(f=101 Hz,fs=1 kHz)
由表2 可知,相對于傳統(tǒng)的傅里葉變換,設(shè)計(jì)的補(bǔ)償算法能夠極大地提高測量雙路正弦信號(hào)的基波幅值、相位差的準(zhǔn)確度。隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加,自卷積梯形窗函數(shù)的主瓣寬度更窄,旁瓣衰減更快。其抑制頻譜泄漏的能力就越強(qiáng),算法就能夠更加準(zhǔn)確地測量正弦信號(hào)的基波幅值信息和初始相位信息。標(biāo)準(zhǔn)源法校驗(yàn)補(bǔ)償算法幅值測量準(zhǔn)確度如圖2 所示。
圖2 標(biāo)準(zhǔn)源法校驗(yàn)補(bǔ)償算法幅值測量準(zhǔn)確度示意圖Fig.2 Accuracy of the amplitude measurement of the compensation algorithm using the standard source
為了驗(yàn)證補(bǔ)償算法在實(shí)際測試中幅值測量的性能,采用標(biāo)準(zhǔn)源法對算法進(jìn)行測試。使用標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源Fluke 5720A 作為試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)輸出儀器。使用LabVIEW,通過編程實(shí)現(xiàn)算法;同時(shí),令該程序能夠驅(qū)動(dòng)波形采樣的硬件設(shè)備,形成一臺(tái)虛擬采樣測試儀器。測試儀的程序中同時(shí)寫入加漢寧窗的DFT 算法和全相傅里葉變換算法,與本文設(shè)計(jì)的自卷積補(bǔ)償算法進(jìn)行對比。
設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)源的幅值輸出范圍為1～4 V,輸出間隔為0.5 V,頻率分別為100 Hz、1 kHz、10 kHz 和100 kHz。使用標(biāo)準(zhǔn)源法驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性,將標(biāo)準(zhǔn)源5720A 的示值Vr作為真值,Vx則是通過采樣算法計(jì)算得到的實(shí)際測量值。相對誤差δ可通過式(37)計(jì)算:
測試完成后,4 個(gè)頻率點(diǎn)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果如表3～表6 所示。
表3 標(biāo)準(zhǔn)源法Fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(100 Hz)Tab.3 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 Hz)
表4 標(biāo)準(zhǔn)源法Fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(1 kHz)Tab.4 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(1 kHz)
表5 標(biāo)準(zhǔn)源法Fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(10 kHz)Tab.5 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(10 kHz)
表6 標(biāo)準(zhǔn)源法fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(100 kHz)Tab.6 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 kHz)
通過對比表3～表6 數(shù)據(jù)可以看到,在100 Hz～100 kHz 頻率范圍內(nèi)和1～4 V 幅值范圍內(nèi),3 種算法均有良好的穩(wěn)定性。對于標(biāo)準(zhǔn)源5720A 基波的測量,使用自卷積梯形窗補(bǔ)償算法的測量誤差在0.001%附近;全相傅里葉變換算法的測量誤差比補(bǔ)償算法高1 個(gè)數(shù)量級(jí),測量誤差在0.02%左右;加漢寧窗的DFT 算法誤差僅為0.1%左右。所以,自卷積梯形窗補(bǔ)償算法能夠準(zhǔn)確測量幅值準(zhǔn)確度,運(yùn)用在虛擬儀器技術(shù)中,能夠?qū)π盘?hào)源輸出的正弦信號(hào)的幅值進(jìn)行更加精確、穩(wěn)定的測量。
4 結(jié)論
本文針對電學(xué)計(jì)量中雙路連續(xù)信號(hào)的幅值和相位差的準(zhǔn)確測量,在雙路正弦信號(hào)存在諧波的情況下,分析了非整周期采樣條件下使用傳統(tǒng)DFT 算法分析正弦信號(hào)存在的誤差。通過調(diào)節(jié)梯形窗參數(shù)和對梯形窗進(jìn)行自卷積運(yùn)算得到的新型窗函數(shù),對誤差中存在的長范圍泄漏和負(fù)頻點(diǎn)進(jìn)行抑制。采用加窗FFT 后的序列中最大的兩根譜線,并直接通過數(shù)值運(yùn)算對誤差中的短范圍泄露進(jìn)行補(bǔ)償,提高幅值和相位差測量的準(zhǔn)確度。仿真試驗(yàn)表明,所提出的方法對幅值和相位差的測量具有很高的準(zhǔn)確度,而實(shí)際測量試驗(yàn)則證明了該方法運(yùn)用在虛擬儀器技術(shù)中同樣具有更好的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。
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本文結(jié)合了加窗函數(shù)法和頻譜分析法,并且針對電學(xué)計(jì)量測試中連續(xù)正弦信號(hào)的特點(diǎn),對兩種方法進(jìn)行改進(jìn)。該方法相比目前已經(jīng)存在的幅值和相位差測量法,更加適用于對計(jì)量校準(zhǔn)用的正弦信號(hào)進(jìn)行測量,并且幅值和相位差測量的精度均更高。
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式中:f為信號(hào)的頻率;U1和U2分別為信號(hào)的幅值;φ1和φ2分別為信號(hào)的采樣初始相位;fs為采樣頻率。
在數(shù)字采樣中,如果采樣間隔Ts=和信號(hào)周期T=之間滿足關(guān)系NTs=aT(a為正整數(shù)),那么采樣就為整周期采樣。對整周期采樣條件下的兩路采樣序列um n(m=1,2) 作離散傅里葉變換(discrete Fourier tramsform,DFT),則可用式(3)表示為:
這時(shí),可以直接通過X1k、X2k序列中的最大值位置p以及其所對應(yīng)的計(jì)算出信號(hào)的幅值U1和U2,并且信號(hào)間的相位差φ=arg(X1p)-arg(X2p)。
2 非整周期采樣下的幅值、相位差測量
2.1 DFT 頻譜泄漏
在對實(shí)際正弦信號(hào)進(jìn)行數(shù)字采樣時(shí),被采樣的正弦信號(hào)中存在諧波,且采樣條件基本為非整周期采樣NTs=(a+Δ)T(a為正整數(shù)且＜1)。雙路信號(hào)的采樣序列u1n和u2n通過DFT 后,就會(huì)存在頻譜泄漏[14]。選擇u1n進(jìn)行分析,并設(shè)=τ,那么實(shí)際采樣序列通過DFT 變換后的如式(4) 所示。其中,m為諧波次數(shù)。
此時(shí),對于基波信號(hào),其誤差e可以通過理想情況下的DFT 與實(shí)際采樣的DFT 作差得到。
分析式(5),可將基波的測量分為三部分誤差。長范圍泄漏誤差el是由于不同次諧波之間的相互干擾造成的。短范圍泄漏誤差es是由于采樣的柵欄效應(yīng)導(dǎo)致的信號(hào)頻譜中峰值點(diǎn)的觀測偏差,包括峰值點(diǎn)的幅值、頻率以及相位。負(fù)頻點(diǎn)泄漏誤差en也是長范圍泄漏的一種。
其中:
為了減少DFT 的運(yùn)算量,一般采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform,FFT)算法代替DFT。FFT 對于采樣序列長度,N要求為:N=2x為正整數(shù)。
2.2 泄漏的修正方法
2.2.1 新型自卷積梯形窗的設(shè)計(jì)
本文采用加窗函數(shù)消除由于長范圍泄漏和負(fù)頻點(diǎn)泄漏引入的誤差。為了保證基波測量的準(zhǔn)確性,通過選擇參數(shù)可調(diào)的窗函數(shù)[15],采用調(diào)節(jié)其參數(shù)的方式改變其主瓣寬度和旁瓣衰減速度。梯形窗是介于三角窗和矩形窗之間的窗函數(shù)。時(shí)域長度為M、上底長度為L的離散梯形窗如式(9)所示。
令L和M的比值為ε,即:
當(dāng)ε 趨近于1 時(shí),梯形窗近似于矩形窗;當(dāng)ε 趨近于0 時(shí),梯形窗近似于三角窗。通過調(diào)節(jié)ε,可以改變梯形窗的主瓣寬度、旁瓣峰值電平。
對式(9)所示的離線梯形窗函數(shù)施加單位階躍響應(yīng)函數(shù)u(*)后,再將得到的響應(yīng)函數(shù)通過z變換從離散時(shí)域向復(fù)頻域轉(zhuǎn)化,可得:
令z=ejω=cosω+j×sinω。將其代入式(11),就能夠得到梯形窗的頻譜響應(yīng)函數(shù),如式(11)所示。
通過式(12),可得到梯形窗的主瓣寬度BW=通過調(diào)節(jié)ε,就可以調(diào)節(jié)矩形窗函數(shù)的主瓣寬度,同時(shí)旁瓣的峰值電平Asp(dB)也會(huì)變化。為了滿足FFT 運(yùn)算對序列長度的要求,設(shè)定時(shí)域長度M=1 024,ε取值步長為0.1,觀察其旁瓣的峰值電平變化;在τ屬于 (0.1,0.2]或[0.2,0.3)中的某一個(gè)區(qū)間內(nèi),取到Asp的最大值衰減值。所以先取ε屬于區(qū)間(0.1,0.2],得到Asp的最大衰減值。ε對Asp的影響如表1 所示。
表1 ε 對Asp 的影響Tab.1 Effect of ε on Asp
通過表1 可知,選擇ε=0.15,此時(shí)旁瓣峰值電平為-32.75 dB。
為了進(jìn)一步減小梯形窗的旁瓣峰值、提高其旁瓣衰減速率,對梯形窗進(jìn)行自卷積運(yùn)算,構(gòu)建新型的梯形窗函數(shù)。
通過自卷積窗函數(shù)的定義,定義p階自卷積梯形窗為p個(gè)梯形窗進(jìn)行卷積運(yùn)算,即:
對于p階梯形窗,需要進(jìn)行(p-1)次自卷積運(yùn)算,運(yùn)算后的新型窗函數(shù)的長度為pM-p+1。同樣,為了便于對窗函數(shù)序列進(jìn)行FFT,所以對最終的卷積結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)零,使得離散梯形的自卷積窗wTp(n)的長度滿足N=pM。
根據(jù)式(11)和式(13),可以得到p階自卷積梯形窗的離散頻譜:
所以,p階自卷積梯形窗的主瓣寬度為B=1～4 階且ε=0.15 的自卷積梯形窗的旁瓣峰值電平Asp(dB)與卷積階數(shù)p滿足如式(16)所示關(guān)系。
2.2.2 譜線插值算法
通過構(gòu)建新的自卷積梯形窗,利用窗函數(shù)的旁瓣衰減特性,能夠?qū)Ψ钦芷诓蓸酉碌腄FT(FFT)算法中存在的長范圍泄漏和負(fù)頻點(diǎn)泄漏進(jìn)行抑制。而對于非整周期采樣下條件DFT 存在的短范圍泄漏誤差,則提出譜線插值算法進(jìn)行修正。
對于非整周期采樣條件下的雙路信號(hào)序列u1n和u2n中的任意一路信號(hào),其基波的幅頻信息的譜線應(yīng)該介于其離散頻譜特性中幅值最大和次最大的兩根譜線之間。只考慮短范圍泄漏,并假設(shè)兩根譜線分別為第p根譜線和第(p+1)根譜線,基于式(4)進(jìn)行推導(dǎo),就可以得出第p根譜線和第(p+1)根譜線的值,如式(17)、式(18)所示:
Xp的實(shí)部Rp和虛部Ip分別為:
同理,對于第(p+1)根譜線對應(yīng)的Xp+1,其虛部為:
2.4 血糖（Glu）和皮質(zhì)醇（Cor） 兩組病人組間比較，T3、T4時(shí)間點(diǎn)B組Glu和Cor均高于A組，且差異有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異（P＜0.01）。A組Glu于T4時(shí)明顯高于T1（P＜0.05）；A 組 Cor于 T3、T4時(shí)較 T1顯著升高（P＜0.01）。 B 組 Glu 于 T2～T4時(shí)明顯高于 T1（P＜0.01）；B組 Cor于 T3、T4時(shí)明顯高于 T1(P＜0.01)。 見表 4。
式中:p和(p+1)為基波的幅頻特性曲線中幅值最大譜線以及次最大值譜線所對應(yīng)的位置;N為采樣點(diǎn)數(shù);λ為兩條譜線所對應(yīng)的值的虛部之比。其均為已知量,僅τ為未知量。
在求出τ之后,就可以求出α、β。再通過式(20)和式(21),可得:
同樣地,在求出α、β后,由于Rp和Ip已知,可以反解出a和b的值。
可以計(jì)算出該路信號(hào)的基波幅值為:
初始相位為:
2.2.3 幅值和相位差的精確測量方法
對雙路連續(xù)正弦信號(hào)的基波幅值和相位差,通過采樣以及采樣算法進(jìn)行精確測量。所得到的實(shí)際雙路信號(hào)采樣圖如圖1 所示。對于每一次采樣,都可以通過加自卷積梯形窗的補(bǔ)償算法準(zhǔn)確測量每一路正弦信號(hào)的幅值信息。但是在實(shí)際采樣中,無法保證采樣的起始點(diǎn)能夠剛好與信號(hào)源發(fā)生的起始點(diǎn)重合,而且在第二次采樣過程中,前一次采樣的數(shù)據(jù)處理也會(huì)使得采樣不連續(xù)。所以對于單路信號(hào),計(jì)算得到的初始相位值均對應(yīng)采樣器進(jìn)行單次采樣的初始相位,初始相位值會(huì)持續(xù)變化。
圖1 實(shí)際雙路信號(hào)采樣圖Fig.1 Actual dual signal sampling diagram
雖然采樣測量的初始相位會(huì)隨機(jī)變化,但是對于第一次采樣,其主要造成的偏差在于采樣器進(jìn)行采樣的時(shí)間起點(diǎn)延時(shí)于信號(hào)源發(fā)生的起點(diǎn)而產(chǎn)生的相移φs,以及非整周期采樣條件下進(jìn)行DFT 而引入的初始相位測量誤差φn。所以,當(dāng)雙路正弦信號(hào)同時(shí)發(fā)生,且通過采樣器雙路信號(hào)同時(shí)采樣時(shí),其初始相位的實(shí)際值φ1、φ2和通過采樣得到初始相位測量值φa、φb的關(guān)系可以表示為:
通過本文所描述的補(bǔ)償算法,可以消除非整周期采樣下進(jìn)行DFT 所引入的初始相位測量誤差。基于同時(shí)采樣的條件,所以兩路信號(hào)由于信號(hào)源發(fā)生與采樣器采樣不同步引起的相移φs相同。兩路信號(hào)的相位差為:
式中:φ′1、φ′2為通過插值補(bǔ)償算法求出采樣信號(hào)序列的初始相位,其中已經(jīng)不包含非整周期采樣下進(jìn)行DFT所引入的初始相位測量誤差。
從第二次采樣開始,除了φs與φn,單通道初始相位測量中還存在由于計(jì)算上次采樣數(shù)據(jù)而造成的時(shí)移產(chǎn)生的相移Δφ。所以對于同頻且同時(shí)發(fā)生的雙路信號(hào),對其進(jìn)行同時(shí)采樣計(jì)算,有:
2 路信號(hào)的相位差為:
通過加自卷積梯形窗的補(bǔ)償算法與采樣器的同時(shí)采樣相結(jié)合的方法,可以精確測量兩路信號(hào)之間的相位差。完整的基于新型自卷積窗和插值補(bǔ)償?shù)牟蓸臃椒ㄈ缦隆?/p>
①由設(shè)定好采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)的數(shù)據(jù)采集系統(tǒng),對雙路正弦連續(xù)信號(hào)進(jìn)行同時(shí)、連續(xù)采樣,在每個(gè)采樣循環(huán)中生成一組帶有雙路信號(hào)采樣值的離散序列。②將離散序列進(jìn)行加自卷積梯形窗的FFT 變換。③查找FFT 變換后,雙路信號(hào)各自頻譜中幅值最大的譜線以及幅值次最大的譜線,記錄其位置和以及兩條譜線各自實(shí)部和虛部的大小。④通過算法描述計(jì)算τ。⑤利用τ計(jì)算雙路信號(hào)基波幅值的準(zhǔn)確值U1、U2,和消除了DFT 誤差的信號(hào)采樣初始相位φ′1、φ′2。⑥直接作差,計(jì)算兩路信號(hào)的相位差φ。
3 試驗(yàn)驗(yàn)證
為了驗(yàn)證自卷積梯形窗及譜線插值補(bǔ)償方法的有效性,并且針對交流電阻中對于基波測量準(zhǔn)確度的需求,通過Matlab 生成離散序列模擬非整周期采樣下,帶有微小諧波分量的類正弦波形信號(hào),再通過傳統(tǒng)的DFT 算法和本章所設(shè)計(jì)的自卷積梯形窗三譜線插值算法進(jìn)行對比。其中,自卷積梯形窗為三階。假設(shè)被測信號(hào)為:
設(shè)定信號(hào)頻率f=101 Hz、采樣頻率為1 kHz,正弦信號(hào)的基波仿真計(jì)算結(jié)果如表2 所示。通過分析2n(n=7,8,9,10)個(gè)采樣點(diǎn),使其滿足FFT 算法的點(diǎn)數(shù)要求。通過分析基波(1 次諧波)的數(shù)據(jù),驗(yàn)證補(bǔ)償算法是否能夠消除傳統(tǒng)DFT 在非整周期采樣下存在的長范圍泄漏、負(fù)頻點(diǎn)泄漏以及短泄漏問題。
表2 正弦信號(hào)的基波仿真計(jì)算結(jié)果(f=101 Hz,fs=1 kHz)Tab.2 Fundamental wave simulation results of sine signal(f=101 Hz,fs=1 kHz)
由表2 可知,相對于傳統(tǒng)的傅里葉變換,設(shè)計(jì)的補(bǔ)償算法能夠極大地提高測量雙路正弦信號(hào)的基波幅值、相位差的準(zhǔn)確度。隨著采樣點(diǎn)數(shù)的增加,自卷積梯形窗函數(shù)的主瓣寬度更窄,旁瓣衰減更快。其抑制頻譜泄漏的能力就越強(qiáng),算法就能夠更加準(zhǔn)確地測量正弦信號(hào)的基波幅值信息和初始相位信息。標(biāo)準(zhǔn)源法校驗(yàn)補(bǔ)償算法幅值測量準(zhǔn)確度如圖2 所示。
圖2 標(biāo)準(zhǔn)源法校驗(yàn)補(bǔ)償算法幅值測量準(zhǔn)確度示意圖Fig.2 Accuracy of the amplitude measurement of the compensation algorithm using the standard source
為了驗(yàn)證補(bǔ)償算法在實(shí)際測試中幅值測量的性能,采用標(biāo)準(zhǔn)源法對算法進(jìn)行測試。使用標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)源Fluke 5720A 作為試驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)輸出儀器。使用LabVIEW,通過編程實(shí)現(xiàn)算法;同時(shí),令該程序能夠驅(qū)動(dòng)波形采樣的硬件設(shè)備,形成一臺(tái)虛擬采樣測試儀器。測試儀的程序中同時(shí)寫入加漢寧窗的DFT 算法和全相傅里葉變換算法,與本文設(shè)計(jì)的自卷積補(bǔ)償算法進(jìn)行對比。
設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)源的幅值輸出范圍為1～4 V,輸出間隔為0.5 V,頻率分別為100 Hz、1 kHz、10 kHz 和100 kHz。使用標(biāo)準(zhǔn)源法驗(yàn)證算法的準(zhǔn)確性,將標(biāo)準(zhǔn)源5720A 的示值Vr作為真值,Vx則是通過采樣算法計(jì)算得到的實(shí)際測量值。相對誤差δ可通過式(37)計(jì)算:
測試完成后,4 個(gè)頻率點(diǎn)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果如表3～表6 所示。
表3 標(biāo)準(zhǔn)源法Fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(100 Hz)Tab.3 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 Hz)
表4 標(biāo)準(zhǔn)源法Fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(1 kHz)Tab.4 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(1 kHz)
表5 標(biāo)準(zhǔn)源法Fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(10 kHz)Tab.5 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(10 kHz)
表6 標(biāo)準(zhǔn)源法fluke-5720A 校準(zhǔn)算法幅值測試準(zhǔn)確度(100 kHz)Tab.6 Fluke-5720A calibration algorithm based on standard source method(100 kHz)
通過對比表3～表6 數(shù)據(jù)可以看到,在100 Hz～100 kHz 頻率范圍內(nèi)和1～4 V 幅值范圍內(nèi),3 種算法均有良好的穩(wěn)定性。對于標(biāo)準(zhǔn)源5720A 基波的測量,使用自卷積梯形窗補(bǔ)償算法的測量誤差在0.001%附近;全相傅里葉變換算法的測量誤差比補(bǔ)償算法高1 個(gè)數(shù)量級(jí),測量誤差在0.02%左右;加漢寧窗的DFT 算法誤差僅為0.1%左右。所以,自卷積梯形窗補(bǔ)償算法能夠準(zhǔn)確測量幅值準(zhǔn)確度,運(yùn)用在虛擬儀器技術(shù)中,能夠?qū)π盘?hào)源輸出的正弦信號(hào)的幅值進(jìn)行更加精確、穩(wěn)定的測量。
4 結(jié)論
本文針對電學(xué)計(jì)量中雙路連續(xù)信號(hào)的幅值和相位差的準(zhǔn)確測量,在雙路正弦信號(hào)存在諧波的情況下,分析了非整周期采樣條件下使用傳統(tǒng)DFT 算法分析正弦信號(hào)存在的誤差。通過調(diào)節(jié)梯形窗參數(shù)和對梯形窗進(jìn)行自卷積運(yùn)算得到的新型窗函數(shù),對誤差中存在的長范圍泄漏和負(fù)頻點(diǎn)進(jìn)行抑制。采用加窗FFT 后的序列中最大的兩根譜線,并直接通過數(shù)值運(yùn)算對誤差中的短范圍泄露進(jìn)行補(bǔ)償,提高幅值和相位差測量的準(zhǔn)確度。仿真試驗(yàn)表明,所提出的方法對幅值和相位差的測量具有很高的準(zhǔn)確度,而實(shí)際測量試驗(yàn)則證明了該方法運(yùn)用在虛擬儀器技術(shù)中同樣具有更好的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。
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