基于CEEMDAN的最優平滑降噪算法

張 榮 彬

(德州德工機械有限公司 山東 德州 253000)

0 引 言

經驗模態分解類算法能將非線性、非平穩信號分解成按照頻率由高到低順序排列的固有模態函數的形式，因而當信號中含有噪聲成分時利用該方法便可以有效地提取可用信息，從而達到降噪目的[1]。小波降噪在此方面已有舉足輕重的地位，但由于小波方法存在基函數與分解層數的選取問題，自適應性遠不如經驗模態分解算法。浙江大學的曹沖鋒[2]研究對比了小波方法、EMD方法、EEMD方法在機械振動信號降噪中的應用，已經證明了小波降噪雖然能抑制干擾信號。但由于算法自身的匹配性問題會造成降噪結果失真；EMD方法在處理含有噪聲及脈沖干擾時，由于自身的模態混疊現象嚴重導致降噪不理想；EEMD降噪較小波與EMD降噪效果更佳。后有學者對經驗模態分解類算法在模態混疊現象方面做了具體研究，發現EEMD仍存在一定的模態混頻現象[3-4]。基于以上研究，本文提出一種利用經驗模態分解類算法中EEMD的改進算法CEEMDAN，能夠減小模態混疊，從而提高研究的準確性。

通常利用經驗模態分解類方法進行自適應濾波時是根據固有模態函數與原始信號的波形相似度來設計濾波器的，但是該過程中缺乏對濾波器的篩選指標，這樣可能會導致降噪結果存在一定的偏差。為了解決這一問題，本文提出一種基于CEEMDAN的最優平滑降噪算法，該算法可通過參數調節方式設計性能最優的濾波器。

本文將提出的最優平滑降噪算法用于轉動機械噪聲信號的降噪處理，對于轉動機械聲學故障診斷中信號的預處理起到實質性輔助作用，并通過實驗驗證算法在實際應用中的有效性。

1 CEEMDAN算法

EEMD算法中雖然添加了均值為零的高斯白噪聲，但經過有限次添加高斯白噪聲后的求平均處理并不能完全消除噪聲，反而會在IMF分量中產生噪聲殘留，因此會導致EEMD算法完備性欠缺，使得信號的重構誤差較大；每次處理中加入不同的白噪聲，則會產生不同的IMF分量，且分解余量也是不同的[5-6]。EEMD的缺點可以通過增加算法集成次數來進行改善，但是這樣做使得計算量激增而帶來處理時間過長等新的問題。

針對EEMD算法存在以上不足，改進的CEEMDAN算法主要有以下兩個優點[7]：(1) 與EEMD算法在每次分解中直接對源信號添加白噪聲信號不同，該方法是在求IMF分量的每個階段添加相對應的具有自適應性能的高斯白噪聲信號，其自適應性表現在添加的高斯白噪聲是經過EMD分解得到的；(2) 與EEMD算法中最后匯總求平均值得到IMF分量不同，該方法是對第一階段處理后得到的IMF求平均值，并以此獲得具有唯一性的余量，依次進行重復處理直到信號分解完畢。

改進EEMD算法的具體實現步驟如下：

(1) 假設源信號為X(t)，添加的高斯白噪聲信號為n(t)，其中第i次添加的噪聲記為ni(t)。定義Ek(·)是信號經EMD分解得到的第k個IMF分量，首次對源信號添加噪聲后進行EMD分解得到首個IMF分量為E1(X(t)+ε0n1(t))，然后實驗進行I次得到I個IMF分量，對第一階段獲得的IMF分量求平均值即可提取出總體第一個IMF分量：

(1)

式中：ε0為噪聲幅值系數。

(2)

(3) 將r1(t)視為新的源信號，對r1(t)同樣要加入高斯白噪聲信號n(t)，此時的噪聲信號是經過EMD分解得到的具有自適應性的白噪聲E1(ni(t))，為了得到總體的第二個IMF分量，需要對r1(t)+E1(ni(t))實驗I次求平均值：

(3)

(4) 根據前兩步可以求取其他的IMF分量，即k=2,3,…,K時，第k個剩余信號與總體的第k+1個IMF分量計算如下：

(4)

(5) 按照步驟(4)依次提取IMF分量，直到最后一個剩余量不能再被分解為止，該分解終止條件符合EMD算法終止條件，則最后得到的唯一的殘余量信號為:

(5)

所以，源信號可以表示為:

(6)

由此可見，改進EEMD算法將源信號分解成一系列IMF分量和唯一的余量之和，計算過程中，在求出第一階IMF分量時，用源信號減去這一IMF分量得到剩余量，之后以此類推求取剩余量，這樣就保證了每次添加的噪聲信號不被帶到下一次分解中，使得整個分解過程中不會有噪聲的殘留，這也是該算法比EEMD算法完備性好、重構誤差小的原因。在每一階IMF分量的求取過程中，添加的自適應性白噪聲幅值可通過系數εk進行調整，系數εk=β0std(rk(t)),k=1,2,…,K，其中：ε0=β0std(X(t))/std(E1(ni(t)))，β0一般取0.2；std表示計算標準差。

圖1給出了CEEMDAN算法的流程。

圖1 CEEMDAN算法流程

2 最優平滑降噪算法基本理論

2.1 構造濾波器

利用CEEMDAN算法可將含噪信號表示成IMF分量加余量的形式，選擇不同頻段的IMF分量可以構造低通、高通和帶通濾波器。

構造低通濾波器，表達式為:

(7)

構造高通濾波器，表達式為:

(8)

構造帶通濾波器，表達式為:

(9)

式中：j為濾波器上截止參數;i為濾波器下截止參數;k為IMF分量個數(不含余量)。

2.2 濾波器篩選指標

首先需要對降噪前后信號建立算法評價指標。將均方根誤差作為第一個指標，以衡量降噪信號與原始信號之間的偏差大小，計算式表示為:

(10)

均方根誤差表征了降噪信號在原始信號曲線上下方向的波動程度。均方根誤差越小，則表明降噪結果偏離原始信號程度越小。

考慮到降噪信號在原始信號曲線左右方向的延遲情況，定義相關誤差指標作為算法的第二個指標，計算式表示為:

(11)

式中：Cov為計算協方差；D為計算方差。

根據統計學理論，ρ*的值越接近于零，則表明降噪后信號與原始信號線性相關度越好，兩者波形越接近。

對于降噪后的信號，還需要其具有良好的平滑性，根據曲率與二階導數公式可以定義曲線f(x)上x0點的平滑度指標如下[8-9]：

SI=f(x0+2h)-f(x0-2h)-

2[f(x0+h)-f(x0-h)]

(12)

式中：h為采樣步長，曲線在某點的平滑度值越接近零時表明曲線在該點的彎折越小，越平緩。曲線f(x)上所有點的平滑度SI就構成了f(x)整體的平滑度，求每一個濾波器構成的曲線的平滑度，所有濾波器的平滑度組合為整個降噪算法的平滑度，記為SMSE。

以上三個降噪評價指標均是其值越接近于零時表明降噪效果越好，因此，建立最優平滑降噪算法的目標函數如下：

min{f}=min{αRMSE+βρ*+(1-α-β)SMSE}

(13)

式中：α為均方根誤差指標權重系數;β為相關誤差指標權重系數;1-α-β為平滑度指標權重系數。

計算目標函數時，為了使三個降噪評價指標地位相當，需要先對其進行歸一化處理。在降噪過程中可以通過調節這三個參數篩選最優算法。

3 實驗與結果分析

3.1 模擬信號仿真

根據轉動電機啟動時聲音信號的特點，構造調頻調幅信號x(t)如下：

x(t)=(1+0.5sin(5πt))sin(30πt2+10πt)

(14)

對調幅調頻信號x(t)加上信噪比為15 dB的高斯白噪聲信號與幅值為3.5、-2.5和2的脈沖信號(如圖2所示)，經計算混合信號的信噪比為11.609 1 dB，對混合信號采用最優平滑降噪算法進行降噪處理。混合信號經CEEMDAN算法分解得到9個IMF分量與1個余量Rs，根據得到的固有模態函數構造低通濾波器EIMF1-EIMF9，其中EIMF1表示除去第一個IMF外構造的低通濾波器，其余降噪算法也如此表示。算法權重系數α、β和1-α-β的取值，目標函數的最小值及對應的最優平滑降噪算法如表1所示。

圖2 波形圖及時頻譜圖

表1 權重系數、目標函數f最小值及最優平滑降噪算法

根據表1中的數據可知，當算法權重系數α、β和1-α-β三個值在較大范圍內變化時，構造的低通濾波器算法EIMF1-EIMF9中，算法EIMF4是最優的。其中α、β綜合表征降噪信號與原始信號的相似性程度，與平滑度表征值1-α-β是相互矛盾的關系，在實際應用該最優降噪算法時，考慮三個權重系數的意義，可以折中取值。根據分析，取三個權重系數分別為(0.3，0.3，0.4)，對應的相關分析結果如圖3和表2所示。

圖3 算法均方根誤差、相關誤差、平滑度及目標函數值分布曲線

表2 算法均方根誤差、相關誤差、平滑度和目標函數數據

根據以上分析，EIMF4是最優的平滑降噪算法，其次是算法EIMF5和EIMF3。對EIMF3-EIMF5算法及函數值為排名第四低的EIMF6算法降噪效果進行對比，如圖4所示。

圖4 降噪效果對比圖

圖4中細的曲線是含噪原始信號的波形，粗的曲線是對應降噪后的信號波形。可以看出，EIMF4算法降噪后的波形在相似度和平滑度方面均較其他降噪算法效果好；EIMF3算法雖然曲線的相似度很高，但是在處理脈沖信號時不理想；EIMF5算法平滑性很好，但是在信號高頻處相似度保持得不好，降噪過度了；EIMF6算法很明顯降噪過度，效果最差。

將最優平滑降噪算法EIMF4處理前后信號的波形與時頻譜進行對比，結果如圖5所示。

圖5 EIMF4算法降噪前后波形圖及時頻譜圖

三種降噪算法的性能指標如表3所示。

表3 不同濾波器算法降噪效果指標對比

可以看出，濾波器算法降噪效果指標中，信噪比、相關系數越大越好，含噪信號與降噪誤差比、均方根誤差越小越好。因此，通過對三個降噪濾波器進行定量分析，也可得出篩選出的濾波器EIMF4的降噪性能最優。

3.2 實際信號處理

上述實驗仿真案例驗證了本文算法處理含噪模擬信號時，在篩選最優濾波器方面具有一定的優越性，并且能達到很好的降噪目的。下面對實際采集的轉動電機聲信號進行降噪處理，驗證本文方法處理實際問題的可行性。

實驗中電動機的額定轉速為1 400 r/min，運行頻率為50 Hz，電動機輻射聲采樣頻率為44.1 kHz，采樣時間為1 s。對實測信號經CEEMDAN算法分解得到11個IMF分量與一個余量Rs，根據得到的固有模態函數構造帶通濾波器EIMF1-EIMF11。按照前述方法調整權重系數得到最優平滑降噪EIMF6算法，實測電機聲音信號降噪前后效果如圖6所示。

圖6 EIMF6算法降噪前后波形圖及時頻譜圖

可以看出，降噪后的信號波形圖及時頻譜圖均較原始信號有了明顯改善，降噪效果較好。經計算，降噪后信號與原始信號相關度為0.967 7，均方根誤差為0.001 3，這說明本文方法針對實際轉動機械聲音信號降噪處理效果良好。

4 結 語

本文提出一種基于CEEMDAN算法的最優平滑降噪算法，給出算法的具體實現過程，并通過模擬信號與實際信號對本文算法進行實驗驗證。實驗結果表明本文算法的有效性，解決了利用模態分解類算法進行自適應濾波時濾波器缺乏篩選指標的問題，從而進一步降低了該類算法的降噪偏差。同時以轉動機械聲音信號為研究對象，為轉動機械聲學故障診斷提供幫助。