一種改進的雙冪次指數趨近律的滑模變結構控制策略

林潔瓊， 楊雪梅， 閆 東， 孟繁昊

(長春工業大學 機電工程學院， 吉林 長春 130012)

0 引 言

滑模變結構控制是眾多非線性控制算法中的一種，能夠根據當前系統的狀態有目的性地改變控制器結構，使系統朝著預先設計好的面運動，最終維持在該曲面上，這也是保證滑?？刂凭哂辛己眯阅艿母疽罁Ｔ摽刂扑惴ㄐ阅苊鞔_、穩定性強、響應速度快等是變結構控制的優勢，同時對參數變化以及外界擾動等是有適應能力的，且系統可以達到控制要求。與此同時，滑模變結構控制中仍存在一些問題，其中突出的是系統抖振問題[1]。因此，抑制抖振問題目前已經成為滑模變結構控制研究中的重要課題。

針對這一問題，國內外許多學者已經展開了廣泛研究。文獻[2]設計出一種新的滑模控制器，其方法是在系統沒有干擾的前提下，使方向與位置跟蹤誤差可以在一定時間內收斂到0，但控制器輸出變量仍然存在抖振現象；文獻[3]采用模糊滑模控制調節參數，以此加快軌跡跟蹤誤差，雖然取得較好的結果，但系統中仍然存在抖振；Pandey等[4]提出一種新型自適應趨近律控制，目的是為了讓系統到達滑模面的時間最短，這種方法可以忽略抖振現象。上述提到的方法大多都是以指數趨近律與等速趨近律方法結合起來抑制抖振現象、加快收斂速度，但在傳統滑?？刂浦?，存在的符號函數問題使抖振現象并不能夠完全去除。Liu等[5]提出一種改進的指數趨近律方法(NERL)，該方法在加入冪次項同時，加速提高了系統的收斂性;20世紀80年代，高為炳[6]提出趨近律的想法,并設法構造出冪次趨近律,通過調節系統參數k和ε的大小，既可以保證滑動模態的動態品質，又可以抑制控制信號抖振頻率較高的現象，但如果ε的取值較大，就會導致抖振現象的發生;傳統的趨近律很難精確地控制到達滑模面的時間與速度,并且無法權衡趨近滑模面時間和抖振兩者之間的矛盾關系[7];文獻[8]提出一種對新型趨近律的積分模糊滑模變結構速度環控制器的研究方法,在滑模面設計中加入了誤差信號積分項,由此降低控制量對加速度信號的需求;文獻[9]在傳統指數趨近律的基礎上，加入了系統狀態量與終端吸引子的冪次函數，提出一種新型指數趨近律,基于新型趨近律設計了滑模速度控制器;文獻[10]提出一種增加衰減項的指數趨近律策略，并且與非匹配不確定系統相結合，從而達到削弱抖振并且確保系統平穩的性能要求;蒲明等[11]提出一種新的變指數趨近律方法，采用將有限時間收斂的冪次項與變指數項結合在一起的方法，進一步實現加快系統遠離滑模面時的收斂速度;Pan等[12]采用等速趨近律和雙冪次趨近律相結合的方法，從而加快實現滑模變結構控制全局的收斂性，但抖振現象仍然與等速趨近律在滑模面上間斷性的現象共存。文獻[13]以趨近滑?？刂茷槔谒O計的速度滑?？刂破骰A上搭建三相PMSM調速系統的仿真模型,從而改善了系統的動態品質。

文中根據滑模變結構特點，在對其進行深入研究的基礎上提出一種雙冪次制數趨近律控制方法，使其可以較快速地跟蹤期望軌跡，減少系統響應時間，提高系統穩定性。另外，將單冪次指數趨近律控制算法與雙冪次指數趨近律控制算法進行Matlab/Simulink仿真比較，驗證了算法的合理性。

1 滑模控制的基本原理

1.1 滑動模態定義

圖1 切換超曲面上的三類特征點

1.2 滑模變結構控制系統的抖動問題

器件的特性不理想是引起“抖振”的主要原因。延遲引起的抖振示意圖如圖2所示。

圖2 延遲導致抖振示意圖

運動點在靠近滑模面一定范圍上下穿越產生鋸齒運動，稱為抖振。

理想滑動模態軌跡與實際滑動模態軌跡如圖3所示。

圖3 理想滑動模態軌跡與實際滑動模態軌跡

控制系統中期望軌跡是圖3中的滑動模態軌跡。

在實際控制系統中，因為存在慣性，期望的繼電器特性就會變成帶有滯環特點的繼電器特性，如圖4所示。

圖4 滯環型繼電器特性

抖振對控制系統造成的不利影響：

1)削弱系統控制精度；

2)加大系統能量的消耗；

3)激發甚至誘發系統的高頻未建模動態，容易導致系統振蕩并且失穩；

4)磨損控制器各部件。

抖振的存在是目前滑模控制大量應用及進一步發展的嚴重障礙。因此，如何高效地抑制滑模控制系統的抖振已經成為滑模控制的研究課題。

2 滑模控制器設計

滑模變結構控制器設計包含以下兩個步驟：

1)設計切換函數，使其可以確保系統的滑動模態逐漸趨于穩定，考慮單輸入、單輸出線性系統：

(1)

(2)

(3)

或者寫成

(4)

式中:F1=〈cj,ai〉xi;

F2=〈cj,bk〉uk;

ai----矩陣A的列矢量,i=1,2，…,n;

bk----矩陣B的列矢量,k=1,2，…,m;

〈…,…〉----矢量的內積。

由式(1)分析可得

ueq=-(CB)-1CAx,

滑模方程為

(5)

如果選擇C為三角陣

(6)

則方程(6)很容易聯立求解，此時在第j個滑模面sj=0，對應于控制矢量u中的第(m-j+1) 個元um-j+1，依次組成在n,n-1,…,n-m維的超平面上。根據式(6)，把s=Cx=0代入

可得

其中，Am是一個m×m矩陣，且其元可由n×n矩陣A的元遞推關系算出。假設滑動模態s1=0由第m個控制成分um控制，有：

(7)

(8)

式中:F3=〈aj,c1〉-c1j〈an,c1〉;

aj,bj----分別為矩陣A及B的列矢量;

〈…,…〉----矢量的內積，且不等于零。

將式(7)、式(8)代入式(1)，得到在滑動模態s1=0上的系統運動為

(9)

式中:x1,U1----分別為n-1及m-1維列矢量,x1=[x1,…,xn-1]T,U1=[u1,…,um-1]T;

A1,B1----分別為(n-1)×(n-1)及(n-1)×(m-1)維矩陣,其元各為

(10)

式中：F4=〈ai,c1〉-c1j〈an,c1〉。

再設同時在滑動模態s1=0及s2=0上系統的運動描述為(n-2)維方程

(11)

以此類推，同時在滑動模態s1,s2，…,sk上系統的運動由(n-k)維方程來描述

(12)

2)滑?？刂坡傻脑O計，使其滿足系統到達條件，確?；Ｃ嫔峡梢孕纬苫瑒幽B區。

3 滑模變結構控制律設計

3.1 雙冪次指數趨近律的提出

20世紀80年代，高為炳[14]提出趨近律的想法，并設法構造出冪次趨近律

(13)

當系統狀態臨近滑模面時，趨近速度會隨著距離減小而減慢，這樣有利于抑制抖振，但當系統狀態離滑模面越來越遠時，趨近速度小，趨近時間長的問題就會出現。為改善這一缺陷，更進一步抑制抖振現象，文中將提出一種改進的滑?？刂品椒?，即雙冪次指數趨近律的滑模變結構控制。

(14)

其中，0<α<1,β>1,k1>0,k2>0。

文中提出的滑?？刂品椒ㄒ詜s|=1為分界點，將系統到達滑模面的過程分為2個階段：

第一階段：系統接近滑模面時動態品質，即|s|<1，此時由式(15)可知，ε1越大，趨近速度變快，但抖振也隨之變大;α越小，抖振變小，但趨近速度卻變慢。

第二階段：系統離開滑模面時動態品質，即|s|>1，此時同樣由式(15)可知，ε2越大，趨近速度變快的同時抖振也增大;β越小，抖振變小,但趨近速度卻逐漸變慢。

由于當|s|>1時，-ε1|s|αsgn(s)所起作用越小，可忽略其對系統的影響；當|s|<1時，-ε2|s|αsgn(s)所起作用越小，可忽略其對系統的影響。這等同于將系統采用分階段控制方法，這種方法會影響系統在分界點的平滑過渡，降低系統的動態品質。為改進這一缺點，文中加入了自適應項-k|s|λ，可以自適應地改變雙冪次指數趨近速度，為了讓被控對象可以及時地跟蹤期望軌跡和靠近滑模面時可以具有較好的動態品質，文中又在雙冪次指數趨近律的基礎上增加了|s|λ項，因此定義|s|<1。根據項-k|s|λ可知，當λ變大時，被控對象趨近速度加快，系統響應速度也隨之變快;當增大k時，被控對象接近滑模面的動態品質也逐漸提高。

3.2 滑模變結構控制的性質

3.2.1 滑動模態可達性

若運動點與遠離切換面之間的距離較遠時，應該使得運動點能夠向靠近切換面的方向運動，就是啟動條件是滿足能達條件。因為

-ε1|s|α+1-ε2|s|β+1-k|s|λ,

(15)

所以式(15)滿足條件。

3.2.2 系統到達滑模面時間有限性

假定初始狀態s(0)>1，把系統到達滑模面的過程分為2個階段：

第一階段:當|s|<1時，項-ε1|s|αsgns起主要作用，忽略-ε2|s|βsgns，式(15)則可以寫為

(16)

即系統從初始狀態到達s(t)=1的過程，當s=1時有

(17)

式(17)兩邊同乘s-α，則有

(18)

令z=sλ+1-α,則

(19)

兩邊同乘1-α，得到

(20)

(21)

第二階段：當|s|>1時，項-ε2|s|βsgns起主要作用，忽略-ε1|s|αsgns，式(13)可變為

(22)

因此，系統從s(t)=1到達滑模面平衡點的時間

(23)

結合式(21)、式(23)總的到達時間為

(24)

由式(23)和式(24)可以看出，系統到達滑模面時間同時還與k和λ有關。因此，改進的雙冪次指數趨近律的滑?？刂破骺梢栽谟邢迺r間內到達平衡點。

4 仿真實驗分析

通過Matlab/Simulink進行仿真實驗，滑?？刂破鱏imulink仿真結構如圖5所示。

圖5 改進趨近律滑?？刂扑惴ǖ腟imulink仿真結構

基于改進趨近律的抖振跟蹤曲線如圖6所示。

由圖6可知，采用單冪次數趨近律，剛到達滑模面時，抖振較大，且呈高頻抖振，而采用雙冪次指數趨近抖振頻率明顯優于單冪次指數。

基于改進趨近律的角度跟蹤曲線如圖7所示。

圖7 基于改進趨近律的角度跟蹤曲線

基于改進趨近律的角速度跟蹤曲線如圖8所示。

圖8 基于改進趨近律的角速度跟蹤曲線

由圖7和圖8可知,雙冪次指數趨近滑模面的速度較快，在剛到達滑模面時的頻率偏低，系統抖振比較弱，隨后抖振又迅速減弱，最后逐漸趨于穩定。這表明雙冪次指數趨近律方法明顯降低了系統剛到達滑模面時的抖振頻率,并且較好的抑制了抖振。

基于改進趨近律的角度跟蹤誤差曲線如圖9所示。

圖9 基于改進趨近律的角度跟蹤誤差曲線

圖9中角度跟蹤誤差進一步驗證了此結論。

5 結 語

針對單指數趨近律控制算法系統狀態到達滑模面時抖振頻率大與時間長的問題，對傳統滑模變結構進行了改進，提出一種雙冪次指數趨近律的控制策略，并進行分析驗證。

根據改進趨近律完成了控制器的設計，最后將單指數趨近律與雙冪次趨近律進行對比仿真，結果表明，改進后的滑模變結構控制算法有較好的系統動態品質，可以降低系統狀態到達滑模面時的抖振頻率，且最大限度地削弱系統抖振，快速跟蹤給定的期望軌跡，提升了算法的動態品質。