基于MUSIC及其改進算法的DOA估計研究*

姚昕彤，王玉文，劉 奇，金 碩

（電子科技大學，四川 成都 611731）

0 引言

根據無線電波的傳播特性，使用儀器對無線電波到達的方向進行測量和確定的過程叫做無線電測向[1]。測向方法有多種，在這些算法中，基于空間譜估計的測向算法因具有高分辨力、高準確度等優點而被廣泛應用。多重信號分類[2]（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法是一種典型的空間譜估計技術。該技術的出現使得空間譜測向技術發展進入了新的臺階。然而，該算法也存在一些不足。例如，在低信噪比、小快拍數條件下，MUSIC 算法的分辨力降低，估計性能顯著下降。在多徑環境中，由于信號之間高度相關，MUSIC 算法失效。針對以上兩個問題，本文在傳統MUSIC 算法的基礎上進行改進，提出了一種新的測向算法。新算法解決了傳統MUSIC 算法低信噪比、小快拍數條件下分辨率低的問題。通過將改進后的MUSIC 算法與空間平滑技術結合，還可以用來解決相干信號的空間譜估計問題。

1 經典MUSIC 算法

MUSIC 算法被廣泛地用于空間譜測向技術，算法步驟及原理如下。假設有K個遠場窄帶信號，從不同的方向θ1,θ2,…,θk分別射入M個陣元的均勻線陣，如圖1 所示。該均勻線陣采用半波長布陣，信號與線陣法線之間的夾角θk∈[-π/2,π/2]。在該環境中，噪聲服從均值為0、方差為σ2的高斯分布，與信號不相關。均勻線陣接收到的數據可以用式（1）描述為：

圖1 均勻線陣

式中：t=1,2,…,T為信號采樣的次數，也叫做快拍數；x(t)=[x1(t),x2(t),…,x M(t)]T是均勻線陣所接收的數據向量，每個向量中有M個元素，表示x(t)為M維向量；噪聲向量N(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T同樣為M維；空間信號向量S(t)=[s1(t),s2(t),…,sk(t)]T為K維；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]為導向矢量矩陣，是M×K維。在矩陣A(θ) 中，有K個導向矢量α(θ)。α(θ)包含角度信息，且在理想情況下，表達式為：

陣元接收到的信號的自相關矩陣為：

式中，參數δ2為噪聲的功率，參數I為單位矩陣，Rs為信號的協方差矩陣。

獲得自相關矩陣Rxx后，對其特征分解可以得到Rxx的特征值λ。若特征值λ有M個，則將M個特征值從大到小排序為：

在M個特征值λ中，有i個特征值較大的信號特征值以及M-i個λ較小的噪聲特征值。由噪聲和信號的特征值，可以計算得到噪聲特征值和信號特征值所對應的特征向量，即可得到互相正交信號子空間ES=[e1,…,ei]與噪聲子空間EN=[ei+1,…,eM]。記GN為所有噪聲的特征值所對應特征向量組成的矩陣。由信號源之間相互獨立時，ES=[e1,…,ei]與EN=[ei+1,…,eM]正 交，且α(θ)也 與EN=[ei+1,…,eM]正 交，所以可以得到導向向量α(θ)與矩陣GN之間的關 系為：

由此得到MUSIC 算法的空間譜函數：

在得到空間譜函數PMUSIC(θ)后，掃描空間譜函數的譜峰，便可以得到波達方向的估計值。但是，在實際中，均勻線陣所接收的數據有限，可以使用相關矩陣的估計代替R進行特征分解。在實際情況中，由于噪聲的干擾使得導向向量α(θi)與噪聲子空間并不嚴格的正交，所以式（5）并不嚴格等于0，而是一個極小值，故MUSIC 算法中空間譜函數的公式可以變為：

總結以上過程，可以得到MUSIC 算法進行波達方向估計的步驟：

步驟1：由式（3）得到陣元接收到的信號的自相關矩陣Rxx；

步驟2：將Rxx進行特征分解，得到相應的特征值λ，并將特征值從大到小排序；

步驟3：根據式（5）和式（6）得到空間譜函數，掃描空間譜函數的譜峰，得到波達方向的估計值。

2 改進MUSIC 算法

在傳統的MUSIC 算法中，需要利用多個天線來接收數據陣列，使用大量數據來估計信號的協方差矩陣。在大快拍數、高信噪比、天線陣元個數充足的條件下，MUSIC 算法能夠充分發揮作用，獲得較高的分辨率。但是，在實際的DOA 估計場景中，往往達不到上述快拍數大、信噪比高、天線陣元個數充足的理想情況，使得MUSIC 算法對陣列協方差矩陣的估計有較大的偏差，且會導致特征分解自相關矩陣得到的噪聲和信號特征值之間的差異減弱，從而使得算法的性能顯著下降。如果兩信號以較小的角度間隔入射均勻線陣，MUSIC 算法的分辨性能會明顯降低。針對以上問題，在傳統MUSIC算法基礎上提出了一種新的空間譜函數估計算法。根據實際的DOA 估計場景，修正噪聲子空間的加權系數，得出新的噪聲子空間，再結合經典MUSIC算法的空間譜函數步驟，得到改進的偽譜函數。改進噪聲特征值具體的計算方法如下：

式中，λi為初始噪聲的特征值，為新的噪聲特征值，α為校正值。

噪聲子空間中，每個特征值所對應的特征向量對空間譜函數的貢獻度有所不同[4]。在小快拍數、低信噪比的條件下，可以通過調節校正值α來影響發散信號的發散程度，且α不會影響信號方向矢量，從而可以確保有穩定的信源數估計。校正值α的取值也會影響算法的性能。如果校正值α過大，會導致特征分解自相關矩陣得到的噪聲特征值與信號特征值之間差距過小，分辨率不明顯，從而引起欠估計的問題。校正值α太小，會造成抑制噪聲作用減弱。若α=0，則新算法與傳統的MUSIC 算法相同。所以，需要尋找合適的校正值α。

根據信息論準則，在可以估計出信源數的條件下，從大量的實驗中總結出噪聲特征值的最大值與最小值之比應小于2[5]，即：

改進后的特征值求解步驟具體如下。

（1）將自相關矩陣Rxx進行特征分解，得到相應的噪聲特征值，并對噪聲特征值按照從大到小順序排列。

（3）令α=0.1×p，得到最終校正值α。

（4）得出新的噪聲子空間形式：

3 相干信源空間譜估計

提出的基于MUSIC 算法的改進型DOA 估計算法，解決了傳統MUSIC 算法在低信噪比、小快拍數條件下分辨力低的問題，能應用于更廣泛的測向場景。但是，算法假設信號源之間都是相互獨立的，而如果入射到線陣列的信號是相干信號時，改進的測向算法也將同其他DOA 估計算法一樣，將由于無法分辨出相干信號而失效。因此，在改進型MUSIC 算法基礎上，結合空間平滑技術，提出了相干信號的DOA 估計方法。相干信號的DOA 估計方法如下：假設K個來自θ1,θ2,…,θk方向的信號為相干信號，先使用空間平滑技術對均勻線陣接收的信號進行去相干的處理，后使用提出的改進型MUSIC算法對預處理后的數據進行分析和估計，最終得到相干信號來波方向的估計值。

空間平滑（Spatial Smoothing，SS）[6]技術可以用于處理相干信號，先將均勻的線陣列劃分為多個疊合子陣列，每個疊合子陣列具有相同陣列流型。再計算各個子陣列的協方差矩陣，最后將各子陣列的協方差矩陣進行平均處理，達到去相干的效果。

假設K個相干的信號Sk(t)以不同的方向角θi進入到M元的均勻線陣上，陣元之間間距為d，聲速為c，波長為λ。根據空間平滑算法處理相干信號的步驟，先將均勻線陣分為L個疊合的子陣，其中每個子陣包含N個陣元。L和N滿足以下關系：

前向空間平滑和前向空間平滑原理，分別如 圖2 和圖3 所示。

圖2 前向空間平滑原理

圖3 后向空間平滑原理

如圖2 所示，前向空間平滑（Forward Spatial Smoothing，FOSS）是從陣列的第一陣元開始劃分。第l個子陣的接收數據矢量可以表示為：

式中：AM為N×K維方向矩陣；AM列為N維的導向矢量aM(θi),i=1,2,…,k；第l個前向子陣的噪聲矢量定義為nl(t)，其陣列的協方差矩陣為：

使用前向空間平滑技術處理后的協方差矩陣為：

后向空間平滑是從直線陣列最后一個陣元向第一個陣元平滑，得到后向空間平滑的協方差矩 陣Rb：

由于各個平滑子陣的陣元是相同的均勻矩陣，因此矩陣Rb是矩陣Rf的共軛倒序陣，可以用表示前后向平滑協方差矩陣，則之間的關系式為：

前后向空間平滑技術利用了前向平滑和后向共軛倒序不變的性質[7]，通過將各個子陣列協方差矩陣的總和求平均來替代原MUSIC 算法中的Rs。該算法可以檢測到2M/3 個相干信號，可以有效處理相干信源協方差矩陣的秩虧缺問題，使得信號源個數同協方差矩陣的秩相等[7]。

將前后向空間平滑技術與改進型MUSIC 算法相結合，得到相干信號的DOA 估計新方法。

新方法步驟如下。

步驟1：建立陣列數據的接收模型，將M陣元的天線陣分為L個相互重疊的子陣。每個子陣的陣列流形保持一致，根據式（17）求出子陣列協方差矩陣。

步驟2：使用式（18）計算得到矩陣Rf；根據式（19），可以得到矩陣Rb；在獲得矩陣Rf和矩陣Rb后，可以由式（20）求出前后向平滑協方差矩陣。

4 仿真結果及分析

4.1 實驗1：MUSIC 算法的譜函數圖像

假設信號源為兩個不相干且波長為λ的窄帶信號，分別以2°和6°的方向入射到陣元數為10、陣元間距為λ/2 的均勻線陣上。信號與噪聲之間保持相互獨立，其中噪聲為高斯分布，信噪比為0 dB。快拍數為60。圖4 為MUSIC 算法的譜函數圖像。

圖4 MUSIC 算法的譜函數圖像

4.2 實驗2：改進MUSIC 算法的譜函數圖像

與實驗1 相同，同樣假設信號源為兩個不相干且波長為λ的窄帶信號，入射到陣元數為10、陣元間距為λ/2 的均勻線陣上。其中，噪聲為高斯分布，信噪比設置為0 dB，快拍數設置為60。圖5 為改進MUSIC 算法的譜函數圖像。

從圖4 可以看出，在低信噪比、小快拍數的背景下，經典MUSIC 算法無法分辨出兩個相鄰入射角，MUSIC 算法在該場景下失效。而在圖5 中，改進型MUSIC 算法能夠明顯看出兩個相鄰入射方向信號的譜函數峰值，便可以估計兩個入射信號的波達方向，估計結果也較為準確。

圖5 改進型MUSIC 算法的譜函數圖像

實驗結果表明，提出的改進型MUSIC 算法在小信噪比和小快拍數的條件下，性能明顯優于傳統的MUSIC 算法。新算法具有更廣泛的應用場景。

4.3 實驗3：兩種算法隨信噪比和快拍數變化的分辨率對比

本實驗假設采用陣元數為10、陣元間距為入射信號波長的一半的均勻線陣，噪聲為高斯分布。隨著每次仿真實驗環境變化，計算出的校正值α也有差別。大量仿真結果表明，α值基本在1.0 處上下浮動。

圖6 為在相同快拍數下，兩種算法隨信噪比變化而分辨力發生變化的分辨概率折線圖。該實驗中，設置固定快拍數為80，信噪比間隔為2 dB，從-6～6 dB均勻變化。對兩種算法進行200次蒙特卡羅仿真試驗。

圖6 兩種算法在不同信噪比下的分辨率

圖7 為相同信噪比、不同快拍數條件下，傳統MUSIC 算法與改進型MUSIC 算法的成功分辨概率折線圖。信噪比為8 dB。快拍數間隔為16，從16～112均勻變化，同樣進行200次蒙特卡羅仿真試驗。

圖7 兩種算法在不同快拍數下的分辨率

從圖6 能夠看出，隨著信噪比逐漸增加，傳統MUSIC 算法和改進的MUSIC 算法成功分辨率也逐漸升高，但改進的MUSIC 算法成功分辨率明顯高于傳統的MUSIC 算法。從圖7 中可以看出，隨著快拍數的增加，兩種算法分辨率逐漸升高，改進的MUSIC 算法同樣明顯優于傳統的MUSIC 算法，進一步說明改進的MUSIC 算法有更好的分辨性能。

4.4 實驗4：信號相干時傳統MUSIC 算法與改進的空間平滑MUSIC 算法對比

本實驗分別使用經典MUSIC 算法和改進的空間平滑MUSIC 算法進行實驗仿真。假設信號源使用3 個波長為λ的相干窄帶信號，分別從20°、40°和60°的方向入射到陣元數為10、陣元間距為λ/2 的均勻線陣上。信噪比為20 dB，快拍數為200，仿真結果如圖8 所示。

圖8 傳統MUSIC 算法的DOA 估計譜

在圖8 中，傳統MUSIC 算法無法對相干信號進行有效的DOA 估計。從圖9 中可以看出，將前向后向平滑技術與改進MUSIC 算法相結合的新技術能夠得到正確的譜峰，估計出的波達方向也十分準確。所以，新技術可以用于相干信號的波達方向估計。

圖9 改進算法的DOA 估計譜

5 結語

本文首先介紹了一種經典的DOA 估計技術，即MUSIC 算法。針對傳統MUSIC 算法在低信噪比、小快拍數下分辨力低的缺陷，提出了一種基于噪聲子空間投影的新型MUSIC 算法，然后進行仿真實驗。在不同信噪比、不同快拍數條件下，測試傳統MUSIC 算法和改進型MUSIC 算法的測向性能，并將兩種算法的性能進行對比。實驗結果表明，改進后的算法在低信噪比、小快拍數下依舊具有較高的分辨力以及較好的測向效果。新算法比傳統MUSIC算法具有更廣泛的應用場景。最后，針對傳統MUSIC 算法對相干信號波達方向估計失效的缺陷，研究了經典的空間平滑算法原理，提出在使用改進MUSIC 算法進行波達方向估計前，先利用空間平滑算法處理相干信號，再對處理后的數據進行測向估計。論文同樣對相干信號測向估計新技術進行了仿真實驗，通過對比傳統MUSIC 算法與新技術在處理相干信號時的算法性能，說明了將空間平滑技術與改進MUSIC 算法相結合的新技術能夠很好地估計相干信號的波達方向。