基于傅里葉分解-小波包分析的爆破信號(hào)去噪方法*

王海龍，柏皓博，趙 巖，王 彬，王海軍

(1.河北省土木工程診斷、改造與抗災(zāi)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 河北省寒冷地區(qū)交通基礎(chǔ)設(shè)施工程技術(shù)創(chuàng)新中心， 張家口 075000；2.中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京) 力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083；3.北旺建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司，承德 067000)

目前，大多對(duì)于爆破的研究都是基于對(duì)爆破振動(dòng)信號(hào)的研究展開(kāi)的，但在進(jìn)行信號(hào)采集時(shí)，受施工現(xiàn)場(chǎng)復(fù)雜環(huán)境影響，如鉆孔作業(yè)、裝載機(jī)與運(yùn)輸機(jī)等重型機(jī)運(yùn)作。同時(shí)還受到信號(hào)采集儀器松動(dòng)或由于溫度變化產(chǎn)生零點(diǎn)漂移的影響，采樣信號(hào)可能會(huì)出現(xiàn)形狀不規(guī)則和基線偏移情況。故采集到的爆破振動(dòng)信號(hào)可能帶有無(wú)用干擾信號(hào)，即噪聲。而噪聲會(huì)對(duì)信號(hào)中有用信息的提取造成干擾，對(duì)信號(hào)處理帶來(lái)困難，為進(jìn)行后續(xù)爆破振動(dòng)信號(hào)分析，原始信號(hào)的降噪處理就成為了不可或缺的前期工作。

由于隧道爆破的突發(fā)性，破壞性強(qiáng)，隧道爆破信號(hào)表現(xiàn)為典型的非平穩(wěn)信號(hào)，處理這類(lèi)非平穩(wěn)信號(hào)去噪問(wèn)題，較常見(jiàn)的方法為EMD(empirical mode decomposition)方法[1]、EEMD(ensemble empirical mode decomposition)方法[2]、CEEMDAN(Complete Ensemble Empirical Mode Decomposition with Adaptive Noise)方法[3]、小波閾值方法[4]、小波包閾值方法[5]。同時(shí)，EMD-小波閾值方法聯(lián)合去噪[6]、EEMD-小波閾值方法聯(lián)合去噪[7]、CEEMDAN-小波包聯(lián)合去噪在進(jìn)行信號(hào)去噪中表現(xiàn)良好[8]。

馬宏偉等利用EMD分解方法對(duì)煤礦機(jī)械振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理[9]，利用相關(guān)系數(shù)，實(shí)現(xiàn)了非平穩(wěn)信號(hào)的濾波。葉紅宇等針對(duì)EMD方法模態(tài)混疊問(wèn)題[10]，使用EEMD-小波包閾值方法對(duì)隧道爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪，在消除隨機(jī)噪聲的同時(shí)，該方法可保留更多的信號(hào)細(xì)節(jié)特征。劉霞等使用CEEMDAN方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解[11]，利用能量熵劃分噪聲主區(qū)間，對(duì)其進(jìn)行閾值去噪，此方法在很大程度上緩解了模態(tài)混疊問(wèn)題。李紅延等在小波閾值去噪算法基礎(chǔ)上[12]，改進(jìn)閾值函數(shù)，提高了噪聲與信號(hào)的可分離性。史賢俊等針對(duì)含噪信號(hào)的不同頻段[13]，采用不同小波包閾值算法，用量化后的系數(shù)重構(gòu)得純凈信號(hào)。

EMD方法、EEMD方法、CEEMDAN方法均未從根本上解決噪聲殘留與模態(tài)混疊問(wèn)題。小波閾值方法未對(duì)信號(hào)高頻部分進(jìn)行分析，存在局限性，而小波包閾值方法雖對(duì)高頻部分進(jìn)行分解，但二者均受制于小波基函數(shù)與分解層數(shù)的選取。

隧道爆破過(guò)程中，由于施工現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境復(fù)雜，噪聲對(duì)信號(hào)采集影響較大，針對(duì)此噪聲干擾問(wèn)題，提出一種基于傅里葉分解(FDM)和小波包閾值方法的聯(lián)合去噪方法[14-17]。傅里葉分解基于傅里葉變換，進(jìn)行時(shí)頻分析，可以將原始信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)分解，得到一系列正交的傅里葉固有頻帶函數(shù)(FIBFs)和一個(gè)殘余分量，可以將有用信息與噪聲進(jìn)行有效分離，避免了模態(tài)混疊問(wèn)題的出現(xiàn)，可以直接將噪聲分量進(jìn)行剔除，保留含少量噪聲與有用信息的分量，進(jìn)行初步信號(hào)去噪，并且由于在分解過(guò)程中未加入高斯白噪聲，也就不會(huì)存在噪聲殘留問(wèn)題。而小波包閾值方法，優(yōu)化了對(duì)信號(hào)高頻部分的分析，提高了信號(hào)的分析能力。

利用FDM和小波包閾值方法聯(lián)合去噪主要流程為：將原始信號(hào)分解為若干正交的傅里葉固有頻帶函數(shù)，通過(guò)分析相關(guān)系數(shù)，找出噪聲分量，剔除噪聲分量后，將剩余包含原始信號(hào)信息和少量噪聲的FIBFs進(jìn)行重構(gòu)；利用小波包閾值方法對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)一步降噪，得到降噪處理后的爆破振動(dòng)信號(hào)。

1 原理闡述

1.1 FDM算法

Pushpendra Singh等學(xué)者在傅里葉變換的基礎(chǔ)上[18]，提出一種新的時(shí)頻分析方法，其可用于分析非線性、非平穩(wěn)信號(hào)，即FDM(Fourier Decomposition Method)，此方法通過(guò)在傅里葉域內(nèi)自適應(yīng)搜尋解析傅里葉固有頻帶函數(shù)(AFIBFs)，從而獲得一系列傅里葉固有頻帶函數(shù)和一個(gè)殘余分量，獲得多分量信號(hào)作為常數(shù)和單分量信號(hào)的唯一表示，該數(shù)學(xué)模型可用下式表示。

(1)

式中：n(t)為殘余分量；yi(t)∈C∞[a,b]為傅里葉固有頻帶函數(shù)(FIBFs)。FIBFs具有如下性質(zhì)：函數(shù)均為零均值函數(shù)；且不同分量函數(shù)之間兩兩正交；FIBFs提供的解析函數(shù)的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值均不小于0。用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為

(2)

(3)

(4)

由以上性質(zhì)可得，F(xiàn)DM方法具有完備性、正交性、局部性、自適應(yīng)性，對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉分解后，基本可以將信號(hào)中的有用信息與噪聲分離開(kāi)來(lái)，且不會(huì)發(fā)生模態(tài)混疊現(xiàn)象。

在搜尋AFIBFs時(shí)，可以由高頻向低頻搜尋(HTL-FS算法)，也可以從低頻向高頻搜尋(LTH-FS算法)，具體步驟為[19]

LTH-FS算法:

(1)對(duì)原始信號(hào)x(t)進(jìn)行傅里葉變換，即X[k]=FFT{x[n]}；

(4)對(duì)AFIBFs可求瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，AFIBFs的實(shí)部即為FIBFs。

HTL-FS算法:

(1)對(duì)原始信號(hào)x(t)進(jìn)行傅里葉變換，即X[k]=FFT{x[n]}；

(4)對(duì)AFIBFs可求瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，AFIBFs的實(shí)部即為FIBFs。

1.2 小波包算法

小波分解通過(guò)一組低通與高通濾波器將原始信號(hào)分解為高頻和低頻兩個(gè)部分，而后將低頻部分進(jìn)行分解。小波包分解將小波分解中未涉及的高頻部分進(jìn)行進(jìn)一步分解，而后再選擇最優(yōu)小波基函數(shù)，時(shí)頻分析效果優(yōu)于小波函數(shù)。其具體步驟為[20]：

(1)定義正交尺度函數(shù)φ(x)以及其對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)ψ(x),設(shè)h(k)為低通濾波器系數(shù)，g(k)為高通濾波器系數(shù)，并且有h(k)和g(k)為共軛濾波器系數(shù)。

(5)

令μ0=φ(x),μ1=ψ(x)，則

(6)

(7)

可得小波包分解算法為

(8)

(3)將小波包分解進(jìn)行逆運(yùn)算，得到小波包重構(gòu)表達(dá)式為

(9)

1.3 FDM-小波包聯(lián)合降噪

基于FDM算法和小波包算法，提出基于傅里葉分解和小波包閾值方法相結(jié)合的爆破振動(dòng)信號(hào)去噪方法，其具體步驟為：

(1)對(duì)原始爆破信號(hào)進(jìn)行傅里葉分解，將信號(hào)分解為若干傅里葉固有頻帶函數(shù)和一個(gè)殘余分量；

(2)根據(jù)相關(guān)系數(shù)法篩選出噪聲模態(tài)分量，將剔除噪聲模態(tài)分量后的信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)；

(3)利用小波包閾值方法對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，得到純凈信號(hào)。

2 仿真分析

2.1 爆破振動(dòng)模擬信號(hào)建立

利用正余弦函數(shù)疊加函數(shù)模擬隧道爆破振動(dòng)信號(hào)[21]，仿真信號(hào)表達(dá)式為

(10)

式中:z1(t)為原始信號(hào);z5(t)為高斯白噪聲。模擬信號(hào)建立如圖1所示。

圖 1 仿真信號(hào)波形圖Fig. 1 Waveform of simulation signal

2.2 仿真信號(hào)的傅里葉分解及FIBFs相關(guān)性分析

對(duì)上述仿真信號(hào)進(jìn)行FDM分解，采用HTL-FS算法，分解得到37個(gè)傅里葉固有頻帶函數(shù)和一個(gè)殘余分量r，由于篇幅限制，選擇其中10個(gè)模態(tài)分量進(jìn)行展示如圖2所示，其中y1～y3與原始信號(hào)波形相似，可初步認(rèn)為其含有原始信號(hào)中有用信息，而其余分量與原始信號(hào)波形差異較大，初步認(rèn)定其為噪聲分量。

圖 2 FDM分解結(jié)果Fig. 2 Decomposition result of FDM

對(duì)傅里葉固有頻帶函數(shù)與仿真信號(hào)進(jìn)行相關(guān)性分析，求得傅里葉固有頻帶函數(shù)與原信號(hào)z(t)互相關(guān)系數(shù)，部分互相關(guān)系數(shù)如表1所示。

表1 部分FIBFs與原信號(hào)z(t)互相關(guān)系數(shù)Table 1 Correlation coefficient of part of the FIBFs and Original signal z(t)

通過(guò)互相關(guān)系數(shù)，并結(jié)合波形圖可知，y4～y37相關(guān)性較小，可認(rèn)為是噪聲分量，將其剔除，y1、y2、y3分量與原始信號(hào)互相關(guān)系數(shù)較大，且包含原始信號(hào)細(xì)節(jié)特征，將其保留并重構(gòu)，利用小波包閾值方法進(jìn)一步進(jìn)行降噪。

2.3 小波包閾值方法降噪

將y1、y2、y3進(jìn)行重構(gòu)，采用小波包閾值方法對(duì)其進(jìn)行去噪處理，降噪后純凈信號(hào)如圖3所示。

圖 3 純凈信號(hào)波形圖Fig. 3 Pure signal after de-noising

2.4 仿真結(jié)果評(píng)價(jià)

通過(guò)對(duì)比波形圖可以發(fā)現(xiàn)，降噪后的純凈信號(hào)基本保留了初始信號(hào)z1(t)的特征信息，且剔除了其中的噪聲信息，利用MATLAB中互相關(guān)系數(shù)函數(shù)計(jì)算純凈信號(hào)與初始信號(hào)z1(t)的相關(guān)系數(shù)為0.9575，表現(xiàn)出良好的相關(guān)性，可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合去噪方法可以準(zhǔn)確地去除信號(hào)中的噪聲，在隧道爆破振動(dòng)信號(hào)去噪中表現(xiàn)良好，可以得到精確的振動(dòng)信號(hào)。

再通過(guò)信噪比(SNR)和均方根差(RMSE)來(lái)評(píng)價(jià)爆破信號(hào)去噪效果[22]，信噪比越高，均方根差越小，說(shuō)明去噪效果越好，表達(dá)式為

(11)

(12)

式中：Zi(t)為原始信號(hào)；Z′i(t)為去噪后信號(hào)；n為信號(hào)長(zhǎng)度。

為驗(yàn)證此方法的降噪效果，對(duì)仿真信號(hào)分別采用小波包閾值方法、EMD-小波包聯(lián)合降噪方法、CEEMDAN-小波包聯(lián)合降噪方法進(jìn)行分析，所得波形圖如圖4所示。

圖 4 降噪效果對(duì)比圖Fig. 4 Noise reduction effect of several methods for comparison

分別計(jì)算上述方法信噪比和均方根差，所得結(jié)果如表2所示。

表2 降噪效果對(duì)比Table 2 Noise reduction effect comparison

通過(guò)對(duì)比可得，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合去噪方法信噪比(10.3940)最大，均方根差(0.0889)最小，去噪效果最好，同時(shí)觀察波形圖可知，經(jīng)FDM-小波包聯(lián)合去噪后，波形圖的光滑程度得到顯著提高，在保留原始信號(hào)細(xì)節(jié)特征的同時(shí)，有效剔除了噪聲分量，證明了FDM-小波包聯(lián)合去噪方法在隧道爆破振動(dòng)信號(hào)去噪中的有效性。

3 工程實(shí)例分析

3.1 爆破信號(hào)采集

實(shí)測(cè)爆破振動(dòng)信號(hào)來(lái)自于新建京張高鐵草帽山隧道爆破施工[23,24],爆破振動(dòng)信號(hào)采集儀器為中科測(cè)控公司研發(fā)的TC-4850爆破測(cè)振儀，最小工作采樣頻率為5Hz，原始爆破振動(dòng)信號(hào)如圖5所示。

由圖5可知，受復(fù)雜施工環(huán)境影響，此信號(hào)爆破振速時(shí)程曲線不平滑，包含大量毛刺噪聲。

3.2 FDM-小波包聯(lián)合降噪

先對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行FDM分解，采用HTL-FS算法，得到48個(gè)傅里葉固有頻帶函數(shù)和1個(gè)殘余分量r。部分傅里葉固有頻帶函數(shù)如圖6所示,其中，y1～y5分量特征清晰，無(wú)模態(tài)混疊現(xiàn)象，且與原始振動(dòng)信號(hào)波形相似，初步認(rèn)為其包含大部分原始信號(hào)中有用信息，進(jìn)行相關(guān)性分析進(jìn)行驗(yàn)證。

圖 5 爆破振動(dòng)信號(hào)Fig. 5 Original signal of blasting vibration speed

圖 6 FDM分解結(jié)果Fig. 6 Decomposition result of FDM

對(duì)FIBFs進(jìn)行相關(guān)性分析，部分互相關(guān)系數(shù)如表3所示。

表3 部分FIBFs與原始信號(hào)互相關(guān)系數(shù)Table 3 Correlation coefficient of part of the FIBFs and Original signal

y1～y5相關(guān)系數(shù)較大，認(rèn)為其含有原始信號(hào)有用信息，其余分量相關(guān)系數(shù)較小，認(rèn)為其為噪聲分量，將y1～y5進(jìn)行重構(gòu)，進(jìn)行小波包閾值方法降噪，依據(jù)采樣定理[25]，信號(hào)采集頻率為5000 Hz，Nyquist頻率為2500 Hz，故小波基函數(shù)采取“db8”函數(shù)，進(jìn)行8層分解，采用軟閾值進(jìn)行去噪。所得純凈信號(hào)如圖7所示。

3.3 去噪結(jié)果評(píng)價(jià)與分析

為評(píng)價(jià)FDM-小波包聯(lián)合去噪方法，再分別采用小波包閾值方法、EMD-小波包聯(lián)合降噪方法、CEEMDAN-小波包聯(lián)合降噪方法對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行去噪，所得結(jié)果如圖8所示。

由圖8對(duì)比可知，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合降噪方法所得爆破振動(dòng)時(shí)程曲線相比較而言最平滑，且保留了原始信號(hào)中的細(xì)節(jié)特征，基本消除了原始信號(hào)中的毛刺噪聲，去噪效果最好。而其余三種方法在進(jìn)行降噪后，所得時(shí)程曲線含有毛刺噪聲，降噪效果不理想。故采用FDM-小波包聯(lián)合降噪方法，有助于得到更為精確的爆破振動(dòng)信號(hào)，為進(jìn)一步的爆破振動(dòng)分析提供了更科學(xué)的基礎(chǔ)。

圖 7 純凈信號(hào)波形圖Fig. 7 pure signal after de-noising

圖 8 不同方法去噪結(jié)果對(duì)比Fig. 8 Noise reduction effect of several methods for comparison

對(duì)比不同方法的去噪過(guò)程，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合去噪方法相對(duì)更簡(jiǎn)便，由于其可以有效將原始信號(hào)中有用信息和噪聲進(jìn)行分離，故只需選擇相關(guān)系數(shù)較大的分量進(jìn)行重構(gòu)，之后利用小波包閾值方法進(jìn)一步降噪，可以在最大程度上保留有用信息，消除噪聲。

4 結(jié)論

依托新建京張高鐵草帽山隧道爆破施工，提出了一種傅里葉分解-小波包聯(lián)合降噪方法，分別對(duì)仿真信號(hào)及工程爆破振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

(1)FDM分解從根本上解決了模態(tài)混疊與噪聲殘留問(wèn)題，提高了信號(hào)分解精度。

(2)與小波包閾值方法、EMD-小波包聯(lián)合降噪方法、CEEMDAN-小波包聯(lián)合降噪方法相比，F(xiàn)DM-小波包聯(lián)合降噪方法所得到信噪比(10.3940)最大，均方根差(0.0889)最小，降噪效果最好。

(3)FDM-小波包聯(lián)合降噪所得純凈信號(hào)可有效保留原始信號(hào)中細(xì)節(jié)特征，可為后續(xù)信號(hào)精確分析奠定基礎(chǔ)。