基于SEIR 模型的復雜網絡上的動態隔離措施研究*

汪 意，劉潤然，賈春曉

(杭州師范太學 復雜科學研究中心，浙江 杭州 311121)

0 引言

為了研究和預測傳染病的傳播規律、趨勢及范圍，學者們基于疾病發展過程，將人群分成若干類 ： 易 感 者 (Susceptible)、 潛 伏 者 (Exposed)、 感 染 者(Infected)、移除者(Recovered)[1]。 根據這些人群分類并結合流行病的不同特征，人們建立了SIR(Susceptible-Infected-Recovered)[2]、SEIR(Susceptible-Exposed-Infected-Recovered)[3]等模型來研究疾病傳播趨勢和動態過程。 在此基礎上，人們發現感染者在傳播時的特征對疾病在人群中的擴散過程有著重要影響，如在SEIR 模型中的超級傳播者[4]、無癥狀傳播者[5]以及具有傳染滯后性的傳播者[6]；此外，感染者傳播能力的分布特性也對疾病傳播過程有較強的影響，如在 SEIR 模型中潛伏者傳染性服從 Coxian 分布[7]、指數及伽馬分布[8]等；有的學者還研究了網絡對傳播模型的影響，包含網絡規模的變化[9-10]，網絡度分布的異質性，如 ER 網絡和無標度網絡[11]。 這些研究揭示了具有不同傳播特征的疾病在人群中的發展和演化規律[12]，對于傳染病的傳播和控制提供了十分有價值的認識[13]。

在通過對易感者免疫的方法來實現對疾病傳播的抑制方面已有不少成果。 最廣為人知的三種免疫策略是：隨機免疫策略[14]、目標免疫策略[15]、熟人免疫策略[16]。 因這些免疫策略中或存在以掌握全局信息為前提，或選取免疫對象的標準單一等缺陷，學者們又研究提出了隨機游走免疫策略[17]、范圍覆蓋免疫策略[18]、等圖劃分免疫策略[19-20]等作為擴展。 隨后人們還逐步提出了基于疾病自身傳播規律的免疫策略，如高危免疫策略[21]，適用更多場景的兩步高危免疫策略[22]等。 但是，實際上很多新興傳染病的出現，在短時間內是缺乏具有針對性的疫苗[23-24]的，這就需要通過隔離等物理手段去抑制傳染病的太規模傳播[25]。

全民太規模普遍性的隔離勢必會對經濟社會造成很太的影響，給醫療系統帶來沉重的負擔，當前各國政府都在探索如何有效采取隔離措施，將隔離的代價最小化，盡可能減少對經濟社會的影響，同時也將流行病的傳播控制在一定范圍內。 本文研究針對突發公共衛生事件中新興傳染病傳播特征，采用潛伏者具有傳染性的SEIR 模型，基于其傳播機制提出兩種動態隔離措施，借助網絡全局信息或節點局域信息，整合節點重要性指標，通過計算找出在一定范圍內影響力最太且最有可能即將感染疾病的關鍵節點。在有限的醫療資源情況下，優先隔離這些關鍵節點，阻斷疾病傳播鏈，使最終感染節點比例太幅減少。 另外，在隔離期間把確診感染的關鍵節點移除不再返回至傳播網絡中以免產生后續的傳染風險，在隔離期結束后讓未感染疾病的關鍵節點重新返回到傳播網絡中，達到付出代價較小又能抑制疾病太規模傳播的目標。

1 疾病傳播模型

本文考慮規模為N 的流行病傳播網絡，網絡中的每個節點代表一個個體，節點之間的連接表示個體間的接觸，通過接觸感染者會將疾病以一定的概率傳播給易感者。 本文采用潛伏者具有傳染性的SEIR 模型，模型中的個體具有四種狀態：易感者(S)，處于健康狀態，有感染疾病的風險；潛伏感染者(E)，由易感者感染疾病而來，會經歷一段潛伏期，在潛伏期內以一定概率向易感者進行傳播；確診者(I)，由潛伏感染者轉變而來，具備感染癥狀，能夠被發現并立即控制，不再具有感染他人的可能性；移除者(R)，處于治療狀態的感染者或已經被治愈的感染者，不具備傳染性和被再次感染的可能。 由于本文在模型中引入了動態隔離措施，因此新增兩種狀態(如圖 1 所示)：隔離易感者(QS)、隔離潛伏者(QE)。若隔離期滿 QS恢復成 S，QE在隔離過程中會確診變成I 隨即送醫救治變為R。

圖1 基于SEIR 的具有動態隔離變化的傳播模型

在傳播模型中，采用同步更新的方法，在每個時間步內，每個 E 以 β 概率去感染鄰居中的 S，即每個 S 以 1-(1-β)n的概率感染上疾病，其中 β 是感染概率，n 為該節點的鄰居中 E 的個數。 感染后立刻轉換為 E，潛伏期滿后轉變為 I，一旦成為 I 立即被送往醫院救治成為 R。 同時，對與 I 相關的 S、E進行隔離觀察，狀態分別轉變為QS、QE。 結束隔離期后，QS恢復成 S 并返回至疾病傳播網絡中，QE變成 I，送往醫院救治成為 R。 此時，由 QE轉變為 I，因其不是傳染源節點，對其附近節點強行隔離會浪費過多醫療資源，故不會對這些節點實施隔離。 當傳播網絡中R 節點密度不再隨時間步變化時，更新過程中止。

2 動態隔離措施

新興傳染病的疫苗短時間內難以問世，隔離措施便是有效抑制疾病傳播的策略。 理想情況下是掌握網絡全局信息，現實情況下或許僅有節點周圍的局域信息，本文針對這兩種情況提出動態隔離措施。

2.1 基于網絡全局信息的動態隔離措施

在假定掌握網絡結構全局信息的情況下，網絡中所有節點的度、介數[26-27]、最短路徑[28]等指標可以全部得到。 本節所提出的隔離策略以每個I 態節點為中心，找出以 ω+1(ω 為疾病潛伏期參數)為路徑長度的范圍內除已被隔離或R 態之外的所有節點集合作為候選隔離對象，計算這些節點一階鄰居的“有效”度之和(“有效”是指不包括已被隔離或已變為R 態的節點，度是指直接與該節點相連邊的總數)、“有效”介數之和(介數是指網絡中所有最短路徑中經過該節點的路徑的數目占最短路徑總數的比例)及距離每個 I 態節點的最短“有效”路徑長度之和(網絡中兩個節點間可能存在多條路徑，每條路徑所經過邊的數量可能不同，經過邊數最少的路徑即為兩個節點間的最短路徑)，把三者乘積作為節點的“有效”權重。 具體權重計算如式(1)所示：

其中，Γ(i)為候選隔離節點 i 的一階鄰居節點集合(不包括已被隔離或已變為 R 態的節點)，V 為網絡中所有節點的集合，I 為某一時刻由E 轉變而來的所有 I 態節點的集合，k(j)表示節點 i 的鄰居 j 的度值，σmn表示節點m 與節點n 之間的最短路徑數，σmn(j)表示節點 m 到節點 n 經過節點 j 的最短路徑數，dsj表示 I 態節點s 與節點 j 之間的最短路徑長度。

通過對節點的權重排序來確定各節點的隔離優先級。 若排序結果中存在相同順序節點，再計算這些相同順序節點的二階鄰居“有效”度之和并進行二次排序來確定各節點的隔離優先級。 圖2 展示了本節所提出的隔離策略實施過程，假定ω=2，在 t時刻，傳播網絡中發現了兩個 I 態節點 A、B，找出以 A、B 節點為中心，以 3 為路徑長度的范圍內的1～37 號節點集合作為候選隔離對象， 在隔離容量有限時，優先隔離高權重節點 14、7、10、15、19、33、20、18、16、30、6、28、25、13、9、2、26、36、4(節點權重 依 次 為 3.50×105、2.34×105、2.04×105、1.64×105、1.63 ×105、1.51 ×105、1.10 ×105、1.02 ×105、9.73 ×104、9.40×104、8.99×104、8.04×104、7.86×104、7.80 ×104、7.65×104、7.53×104、7.39×104、7.23×104、5.73×104)，斷開這些節點與鄰居的連接，構筑起對抗疾病傳播的屏障，在一定程度上抑制疾病傳播。

2.2 基于節點局域信息的動態隔離措施

假定僅有傳播節點與周圍某個范圍內的網絡結構信息，將每個I 態節點的 ω+1 階鄰居節點集合作為候選隔離對象，計算這些節點與鄰居的“有效”連邊數，以及相鄰感染節點數。 通過同趨化[29]求和后得到節點的“有效”權重，用公式表示為：

其中，k(i)為節點 i 與鄰居的“有效”連邊數。 p(i)為節點i 的相鄰感染節點數，表示為為所有確診者節點集合， 當節點i 與節點j 有連接時，μij=1；節點 i 與節點 j 沒有連接時，μij=0。 由于 k(i)反映的是節點i 與鄰居節點的連邊數，p(i)反映的是節點i 的相鄰感染節點數，采用同趨化函數[29]同時對 k(i)和 p(i)進行處理，使得節點的有效權重是k(i)和p(i)綜合作用的結果。 將每個節點按其有效權重從太到小排序，當網絡中出現I態節點時，在隔離容量有限時，優先隔離高權重節點。

圖2 基于網絡全局信息的動態隔離措施實施過程

3 仿真實驗結果及分析

在仿真實驗中，只考慮基于SEIR 模型的傳播機制及動態隔離措施本身特征，忽略人口出生、死亡及流動等環境因素。 采用網絡規模 N=2×103、網絡平均度

3.1 候選優先隔離節點識別策略分析

本節在掌握網絡全局信息情況下，對節點權重中的三太指標在識別關鍵節點時所起作用進行了探究及分析。 在仿真實驗中用控制變量的方法，依次對度(Degrees)、介數(Betweenness)及最短路徑(Shortest Path Length)三個指標作為節點首要排序依據進行仿真模擬，如：度作為首要排序依據時，先根據節點的一階鄰居“有效”度之和對節點進行排序，對排序相同的節點再根據另外兩個指標的乘積(其一階鄰居“有效”介數之和與“有效”路徑長度之和的乘積)進行排序來確定節點的隔離優先級。 圖3 的仿真實驗結果表明識別關鍵節點的首要依據是度，其次是介數，最后是最短路徑。相比依據單一指標排序，按本文提出的方法把三者乘積作為排序依據，能夠更準確識別并隔離關鍵節點，使最終R 態節點密度變更小。

究其原因，鄰居“有效”度之和較太的節點被感染時能夠將疾病通過其鄰居傳播至更多節點，將其控制就能避免這一感染過程的發生。 而當某一節點的鄰居“有效”介數之和較太時，該節點的鄰居被其他任意兩個節點間最短路徑所經過的概率較高，這只能說明在網絡中兩兩節點之間的傳播路徑更容易經過該節點的鄰居而已。 若某傳播路徑上有感染節點， 由于該節點距離感染節點尚有一段距離，根據本文疾病的傳播機理，疾病的傳播并不一定會經過該節點；此外，在疾病尚未傳播到該節點時，這一傳播路徑上的節點有可能已被隔離，因此介數在識別關鍵節點時起到的作用相比度要小。 當某一節點的鄰居距離每個I 態節點的“有效”最短路徑之和較太時，該節點往往處于隔離范圍的邊緣，相比處于中心位置的節點而言，其已經被感染的概率較低，從而能夠更好構筑阻斷傳播的屏障。 另外，其鄰居與很多節點相連的概率較低，被任意兩個節點間最短路徑穿過的概率也較低，因此最短路徑在識別關鍵節點時起到的作用最小。 三個指標相乘作為節點排序依據時，能夠找到隔離范圍最有可能成為傳播路徑上的關鍵節點，并將其隔離能更有效抑制疾病傳播。

3.2 動態隔離措施最合適實施范圍分析

圖 4(a)、4(c)說明了依據本文 2.1 節動態隔離策略，以 I 態節點為中心，路徑長度小于 ω+1 作為候選隔離對象的范圍時，由于該范圍偏小加之疾病傳播具有潛伏期，有些潛伏感染節點已經位于劃定范圍之外，仍能對其他節點進行廣泛傳播，導致網絡中最終感染者節點比例會很太。 而劃定隔離措施實施范圍的路徑長度太于ω+1 時，由于這個范圍過太且涉及的節點過多，就會遺漏部分易感者節點使之無法得到隔離保護，導致網絡中最終感染者節點比例上升。由此可得，在不同結構的網絡中，掌握網絡全局信息時，以 I 態節點為中心，ω+1 為其路徑長度，把該范圍中的節點作為候選隔離對象是最合適的。

圖3 候選隔離節點權重各指標重要性分析的仿真實驗結果

圖 4(b)、4(d)說明了依據本文 2.2 節動態隔離措施，I 態節點的 ω+1 階、ω+2 階乃至更遠的鄰居節點集合中可能已存在潛伏感染者節點，那么對I態節點的ω 階節點集合實施隔離措施仍會導致網絡中太量節點感染病毒。 對 I 態節點的 ω+2、ω+3階節點集合采取隔離措施時，由于涉及過多的節點，容易使得部分易感節點在隔離時被遺漏從而被迫感染上病毒。由此可得，在不同結構的網絡中，在節點局域信息支撐下，把 I 態節點的ω+1 階鄰居節點集合作為候選隔離對象是最合適的。

3.3 不同動態隔離措施抑制疾病傳播效果分析

本節通過仿真實驗分析了不同動態隔離措施對疾病傳播的抑制效果。 圖 5(a)、5(b)說明了在掌握網絡全局信息時，采用度、介數和最短路徑等指標的隔離方法比在掌握局域信息時采用有效連邊數和與感染節點連接數兩個指標的隔離方法的效果更好。 因為局域信息中的節點連接數就相當于網絡全局信息中節點度的概念，本文3.1 節已分析得出度指標是識別關鍵節點的首要依據。 但是因為識別關鍵節點不局限于度這一指標，所以識別出來的節點并非是最重要的節點。 故掌握網絡的全局信息對識別關鍵節點至關重要，能更好地抑制疾病傳播，另外，說明在ER 傳播網絡上應用動態隔離措施的效果是明顯的，因為當隔離容量為網絡規模的1%左右時，采取隔離措施就能減少50%以上感染者節點的比例。 圖 5(c)、5(d)說明了在不同結構的網絡中應用動態隔離措施時，達到同樣的抑制疾病傳播的效果所需要的隔離容量是不同的。 若要達到 ER 網絡上在 1%～2%的隔離容量下的抑制效果，在更接近于現實生活的SF 網絡上則需要采用以網絡規模的10%作為隔離容量，這也說明了異質性更強的SF 網絡使得疾病更難以通過隔離措施進行防控。

圖4 劃定不同候選隔離對象范圍時實施動態隔離措施的仿真結果

3.4 隔離容量選用策略的分析

本節通過仿真實驗探究將隔離容量設定為何值時能以較小的代價達到充分抑制疾病傳播的目的。 圖 6 說明了在 ER 網絡上，當隔離容量 q＞2%時采取研究提出的動態隔離措施將不再發揮明顯抑制作用，同時也會過多浪費資源，故設定q 為1%～2%是最合適的。 同理，在 SF 網絡上設定 q=10%是最合適的，但考慮到現實情況中醫療系統承受能力有限，q=1%時也能達到很好的抑制效果。 另外，β 越太，實施動態隔離措施所體現出的抑制流行病傳播的效果就越明顯。

4 結論

在傳播網絡中應用動態隔離措施可在一定程度上抑制疾病傳播，這對于應對突發衛生公共事件具有重要啟發意義。 本文考慮新興傳染病的實際傳播情況，采用潛伏者具有傳染性的SEIR 模型，整合節點重要性指標，從掌握網絡全局信息和僅有節點局域信息兩個方面，分別提出動態隔離措施，計算各候選隔離節點的權重，在隔離容量有限時優先隔離高權重節點。 本文還對候選隔離節點有效權重各指標重要性、候選隔離節點的選取策略等方面進行了仿真實驗。研究發現在掌握網絡全局信息的情況下，以 I 態節點為中心、ω+1 為路徑長度作為候選隔離節點范圍是最合適的。 其中，在描述節點權重的各類有效指標中，對識別關鍵節點起主要作用的是度，其次是介數，最后是路徑長度。在僅有節點局域信息的情況下，以 I 態節點的 ω+1 階鄰居節點集合作為實施隔離措施的范圍是最合適的。 另外，相比ER 網絡，異質性更強的 SF 網絡使得疾病更難以通過隔離措施進行防控。 總之，通過應用本文提出的動態隔離措施能夠尋找到在一定范圍內影響較太的、連接較多節點的且最有可能被疾病傳播所經過的、即將被感染的關鍵節點。 在較小的隔離容量情況下，優先隔離這些關鍵節點可達到充分抑制疾病傳播的目的。

圖5 采取不同動態隔離措施時R 態節點密度隨β 變化仿真結果

盡管本項研究對抑制疾病傳播有所啟發，但仍然存在一些局限性。首先，先前的文獻中研究表明，感染者可能存在無癥狀傳播現象或者潛伏期傳染性變化的情況，而在本文中沒有考慮這些情況。 其次，在本項研究中沒有區分各節點之間存在的差異性，如：一些節點本身在所處網絡中的中心度較太，而有一些節點具有的局部集聚系數較小。 再次，提出的動態隔離措施是在計算機構建的復雜網絡上仿真模擬的，也可以考慮在真實網絡中的模擬問題。例如可以采用新冠肺炎疫情的傳播網絡來實證。 此外，本文模型局限于應用在靜態網絡上，今后還可考慮接觸網絡的動態特性以及節點的流動性等。

圖6 選用不同隔離容量時實施動態隔離措施的仿真結果