斜齒輪系統動力學行為研究

張 倫，呂小紅，高 博

（1.蘭州交通大學機電工程學院，蘭州 730070；2.甘肅省軌道交通裝備系統動力學與可靠性重點實驗室，蘭州 730070；3.蘭州長信機車配件有限公司，蘭州 730070）

0 引言

齒輪系統現如今被廣泛運用于機械、航空、船舶等行業。因為其是機器中最主要的運動及動力傳遞裝置，其動態性能的好壞會直接影響整個機器的運行狀態［1］。有些學者已經對沖擊碰撞系統的周期運動行為進行了大量研究，這類研究方法同樣適用于斜齒輪振動系統中［2-3］。蘇程等［4］研究了不同側隙值下，嚙合阻尼比對單級齒輪傳動的影響；劉大亮等［5］在考慮齒側間隙對齒輪動態特性影響的同時，還考慮了軸承間隙對整個系統的影響；田亞平等［6］采用數學理論推導與數值分析相結合的方法，對齒輪與轉子耦合系統進行了仿真研究。還有一些文獻對故障齒輪系統進行了動力學行為研究［7-9］。

本文主要建立斜齒輪模型，兼顧考慮齒側間隙和軸承間隙，繪制分岔圖與相軌跡圖來揭示其動力學行為，為此系統設計安全性和平穩性提供理論依據，并且結合工程應用實際，模擬斜齒輪系統輕微磨損狀態，進行了磨損狀態的動力學行為探究。

1 模型建立

圖1所示為一種斜齒輪傳動動力學模型。假設：（1）齒輪和軸均為剛性元件，不考慮軸和軸承的質量；（2）齒輪為對稱安裝，不存在偏心，并且將安裝的誤差計入齒輪的綜合傳動誤差；（3）整個支撐系統和嚙合副簡化為阻尼元件和剛度元件，齒輪1為左旋齒輪，齒輪2為右旋齒輪，壓力角α=20°，螺旋角β=18°，模數m=0.003，齒數比為35∶67。

圖1 斜齒輪動力學模型

振動和誤差導致斜齒輪副沿嚙合點法線方向的相對微位移為：

斜齒輪副沿法線方向的嚙合力及各個坐標軸方向的分力分別為：

式中：R1、R2分別為齒輪1和齒輪2的基圓半徑；θ1、θ2分別為齒輪1和2的旋轉角位移；e（τ）為斜齒輪副的時變綜合誤差函數；k（τ）為時變嚙合剛度；cn為嚙合阻尼；F1X、F1Y、F1Z分別為齒輪1所受的徑向力、軸向力和切向力。

齒輪副時變嚙合剛度可表示為：

式中：km為齒輪副的平均嚙合剛度；ea為無量綱剛度幅值；ω為無量綱嚙合頻率；ε為初相位。

時變綜合誤差函數可表示為：

采用集中質量法建立運動微分方程如下：

式中：Mi為齒輪i的質量；Ri為齒輪i的基圓半徑；Xi、Yi、Zi為齒輪i沿X、Y、Z坐標軸方向的微位移（其中X¨i，X·

i為齒輪i沿X軸方向微位移的二階和一階導數；Y、Z方向同理，不贅述）；θi為旋轉角位移；Cij，Kij為支撐阻尼和支撐剛度；T1，T2分別為輸入和輸出轉矩；i=1，2；j=X，Y，Z。

引入無量綱參數：

xi=Xi/bc，yi=Yi/bc，zi=Zi/bc，t=ωnτ，特征頻率ωn=為齒輪嚙合副的當量質量；其中mi=為齒輪i當量質量。則有無量綱運動微分方程：

f（xn）和g（x1）分別為齒側間隙函數和齒輪1在x方向上的支撐間隙函數。均可表示為：

2 動力學行為研究

斜齒輪系統是受周期激勵的系統，其激勵周期為T=2π/ω，θ=ωt，因此取Poincaré截面為：

2.1 嚙合阻尼比對系統分岔特性的影響

根據無量綱運動微分方程，取系統的基準參數如下：特征尺寸bc=30×10-6，特征頻率ωn=23 414，無量綱齒側間隙b=1，無量綱輸入載荷p1=0.048，選取無量綱嚙合頻率區域ω∈［0.2，3.0］，對系統進行數值分析，得到如圖2所示不同嚙合阻尼比下的系統運動分岔圖。通過圖2（a）可知，在嚙合阻尼比ξ=0.01條件下，當嚙合頻率ω＞2.45時，系統處于穩定的周期1運動狀態。隨著ω的遞減，當ω穿越2.45時，系統經倍化分岔進入短暫周期2運動狀態。ω繼續遞減，在ω∈［1.45，2.29］范圍內，系統呈現出大幅的混沌區域，此時系統運動極不穩定，并且在ω∈［1.94，2.15］范圍內，夾雜著短暫的周期3運動狀態。而在ω∈［1.24，1.45］的區間內，如圖2（b）所示，系統的運動狀態經歷了周期8—混沌—周期4—周期2的變化過程，大體呈現出逆倍化分岔的形式。而后系統又經歷了混沌—周期2—周期1—混沌—周期1等運動狀態，并且在跨越ω=0.536時，經跳躍分岔轉遷為穩定的周期1運動，此時系統恢復穩定。

當ξ增加至0.03時，系統分岔圖如圖2（c）所示。與ξ=0.01時相比較而言，混沌區域略微減少，周期運動區域有所增加。具體運動形式表現如下：當ω＞2.266時，隨著嚙合頻率ω的遞減，系統經由周期1—周期2—周期4倍周期序列分岔進入混沌。隨著控制參數繼續遞減，系統經歷了一片混沌區域，在跨越ω=1.981時，系統的拓撲結構發生改變，由混沌運動退化為穩定的周期24運動。接著經由一系列的逆倍化分岔過程：周期24—周期12—周期6—周期3，在ω=1.70時結束周期3運動，并且在嚙合頻率ω∈［1.53，1.70］時系統再次失去穩定性，表現為混沌運動狀態，而在此區域內還包含著極短暫的周期2運動。當ω＜1.53后，系統的運動狀態經歷了周期8—周期4—周期2—周期1—（跳躍分岔）—周期1的變化過程。

繼續增加嚙合阻尼比ξ的值，取ξ=0.05，系統分岔圖如圖2（d）所示。此時系統的運動形式變化比較簡單，不存在離散的混沌區域，運動形式與ξ=0.03時大致相似。隨著嚙合頻率ω遞減，系統同樣經歷了周期1—周期2—周期4的倍化分岔過程，在ω=2.2時，系統失去穩定性進入混沌運動。與ξ=0.03所異的是，此時的混沌運動是一片連續的區域，不存在混沌—逆倍化分岔—混沌的變化過程。ω繼續遞減至1.65時，系統結束混沌運動，回歸到穩定的周期8運動狀態，并且經歷一系列逆倍化分岔，最終變為穩定的周期1運動狀態。圖3所示為ω∈［0.2，1.65］區間時系統經歷逆倍化分岔過程的相圖與Poincaré映射圖的疊加，可以清晰地觀察到這一系列分岔過程。

圖2 不同嚙合阻尼比條件下系統分岔

圖3 逆倍化分岔過程

圖3中，xn為無量綱相對位移；為無量綱相對速度；ω為無量綱嚙合頻率。

2.2 輸入載荷對系統分岔特性的影響

保持系統基準參數不變，綜合考慮取系統嚙合阻尼比ξ=0.03。通過改變無量綱輸入載荷的值，進行數值分析，得到如圖4所示的系統分岔圖。

通過圖4（a）可以觀察到，在無量綱輸入載荷p1=0.027條件下，系統在嚙合頻率ω＞2.28時呈現出穩定的周期1運動狀態。當嚙合頻率ω遞減穿越2.28時，系統的周期1運動經倍化分岔進入周期2運動狀態，隨后在嚙合頻率遞減穿越ω=2.145時，系統再次經倍化分岔進入短暫的周期4運動狀態。隨著ω繼續遞減，系統的周期運動變得更加多樣。在ω∈［1.24，2.125］和ω∈［0.96，1.065］的區域，系統出現了被周期運動間隔開來的大面積混沌運動，其中，ω∈［1.24，2.125］區間內出現了極小范圍的周期窗口。從嚙合頻率ω=1.24開始遞減，系統依次呈現的周期運動分別是周期8—周期4—周期2—周期4—周期2—周期1運動。其中周期1運動并不是一直表現出穩定狀態，在ω遞減穿越ω=0.57后，系統發生跳躍分岔，之后系統才趨于穩定。

另一方面，在無量綱輸入載荷p1=0.048的基礎上，將p1增大至0.063，其分岔圖如圖4（b）所示。在嚙合頻率ω遞減至2.3時，系統依次發生周期一—周期二—周期四的倍周期分岔序列。ω繼續遞減，在ω∈［1.75，2.3］區間，系統呈現出大幅的混沌嚙合運動。如ω=2.0時，系統的Poincaré映射圖為一系列雜亂的密集點，相軌跡形成不封閉的曲線，如圖5所示，證明此時確實是混沌運動。在嚙合頻率穿越ω=1.75時，系統從混沌運動退化為周期8運動。并且經歷一系列逆倍化分岔，即周期8—周期4—周期2—周期1和兩次跳躍分岔，分別發生在ω=1.25和ω=0.71之后，系統最終轉遷為穩定周期1運動狀態。

圖4 不同輸入載荷條件下系統分岔

圖5 ω=2.0 Poincaré映射圖和相圖

3 磨損條件下動力學行為研究

斜齒輪相比直齒輪而言，其嚙合過程是一個過渡的過程，齒面的力是由小到大，再由大到小逐漸增加的。并且其重合度較大，所以適用于高速重載的場合。正是由于重載的因素，長期運轉的斜齒輪系統便會發生磨損。如果忽視磨損等問題，就會造成意想不到的事故，故而對于磨損狀態下運轉的斜齒輪，有必要研究其動力學行為。

齒輪磨損會直接導致齒輪嚙合間隙增大，主要可以分為單齒磨損和多齒磨損（或全齒磨損）兩種狀態。這里結合實際情況，以全齒均勻磨損來進行研究。

當全齒磨損故障發生時，可以用新的齒側間隙函數f1（t）來作近似模擬［10］。

f1（t）可表示為：

式中：b為原始無量綱齒側間隙為1.0；a為磨損故障的齒側間隙，即全齒磨損的劇烈程度。

磨損狀態系統分岔圖如圖6所示。為了方便與正常運轉狀態作比較，保持系統基準參數不變，取嚙合阻尼比ξ=0.03。首先取a=0.1來模擬輕微磨損故障，得到如圖6（a）所示的全局分岔圖。對比圖6（a）與圖2（c），斜齒輪系統在輕微磨損狀態下的分岔圖變化不大。在高頻區域，依舊是經過倍化分岔進入混沌運動，但是倍化分岔的區間有所減小。而更加明顯的區別在于，兩段混沌運動之間嵌入的周期六運動幾乎消失不見，周期三窗口也略微有所減小。另一點主要區別在于，當嚙合頻率ω∈［1.0，1.3］區域時，系統不再是穩定的周期運動，如圖6（b）為ω∈［1.0，1.3］的局部分岔圖。具體表現為ω＞1.132時為混沌運動，ω＜1.132時為穩定周期運動，可通過圖7所示的相圖和Poincaré映射圖加以驗證。

圖6 磨損狀態系統分岔

圖7 輕微磨損故障相圖及Poincaré映射圖

取a=0.3來模擬齒輪系統劇烈磨損狀態，得到系統分岔圖如圖6（c）所示。當ω＞1.88時，系統處于穩定周期1運動狀態，當ω穿越1.88時，周期1運動經Hopf分岔轉遷為概周期或混沌運動，直到ω穿越0.7時，系統經跳躍分岔退化為穩定周期1運動狀態，結束一系列混沌運動。圖6（d）為ω∈［1.51，1.66］的系統局部分岔圖，可以看到，此區間并非周期運動，而是混沌運動區間。

4 結束語

本文針對斜齒輪系統，建立包含齒側間隙、軸承間隙和嚙合阻尼比等在內的齒輪系統非線性動力學模型。通過對斜齒輪系統動力學行為的研究，得出如下結論。

（1）在斜齒輪系統中，嚙合阻尼比的改變會使得系統的周期運動形式多樣化。當嚙合阻尼比較大時，系統的混沌嚙合運動區間比較集中，分岔形式比較單一。隨著嚙合阻尼比的減小，系統會出現陣發性混沌區域，并且混沌區域的無量綱相對位移幅值更大。說明此時系統的沖擊猛烈、穩定性弱。

（2）輸入載荷的改變也會對系統產生較大的影響。具體表現為輸入載荷很小時，系統處于中頻運轉時基本上全是混沌嚙合運動，此時對齒輪系統以及整個機械設備都有極大的負面影響。而伴隨著輸入載荷的增加，混沌區域會有明顯的縮小，并且在中頻運轉向低頻過渡時混沌運動被周期運動取代，穩定周期運動所占比值增加。輸入載荷越大，系統的周期運動形式越單調，越趨于穩定。

（3）在輕微磨損狀態下，系統的運行狀態變化不大，只是對低中頻區間有著微小的負面影響。而在劇烈磨損的條件下，整個系統在中頻區域皆處于混沌運動狀態，說明此時齒輪系統已經出現嚴重的隱患，有必要考慮對齒輪進行處理，例如更換潤滑油或者直接更換齒輪，以免發生事故。