基于PID算法的單旋翼垂直起降系統的建模與仿真

譚 奧 陳再輝 劉沛堯 夏金康 陳 臣 陳凱文

(河南科技大學,河南 洛陽471003)

目前,無人機已廣泛應用于軍事偵察、高空攝影、農林植保、電力巡檢等諸多領域,其中,四旋翼無人機憑借結構簡單、機身輕巧、飛行靈活等優勢備受關注。而單旋翼垂直起降系統是四旋翼無人機的基礎控制系統。所以本文將通過Matlab建模仿真,探索單旋翼垂直起降控制系統的最優控制方案。

1 數學建模

電機螺旋槳懸臂構成了一組具有一定質量的機械系統,能夠在拉力的作用下繞中心上下轉動,為了簡化分析,忽略懸臂質量和摩擦力。設l為懸臂長度,m為電機質量,θ為懸臂角度,f為螺旋槳拉力,u為電機電壓,如圖1所示。

圖1 受力分析圖

已知電機電壓和轉速的簡化數學模型為一階線性微分方程,而工作點附近螺旋槳拉力和電機轉速成正比。則在切線方向上的運動方程由牛頓第二定律可以得到:

由(1)式可得到角度和電壓的關系:

在matlab Simulink搭建電機螺旋槳懸臂模型,選取參數后進行仿真。探究電機螺旋槳懸臂自身固有變量參數對模型的性能影響分析,進而對電機、懸臂的選用提供理論基礎。

2 參數辨識

2.1 螺旋槳懸臂系統傳遞函數的建立

由所建模型可得螺旋槳升力與電機電壓的傳遞函數:

方程(1)中存在難以分析的非線性項,則可以使用微小偏差法對其在某個特定的工作點附近進行線性化處理,得到其最后的傳遞函數為:

懸臂系統為三階系統,有3個極點p1、p2、p3,如果電機的反應速度非常快,遠快于懸臂的反應速度,也就是說對應的極點遠離虛軸,其它兩個極點是主導極點。綜合公式(3)和(4)則可以簡化為二階系統為:

2.2 階躍響應辨識模型參數

搭建一簡易電機螺旋槳懸臂,以51單片機為控制器,進行單位階躍響應實驗。在工作電壓2V上施加一個 ΔU=0.2 V電壓增量,記錄角度 θ隨時間的變化情況,然后利用Matlab的系統辨識工具辨識懸臂系統模型的傳遞函數參數,擬合曲線如圖2所示。

圖2 電機螺旋槳懸臂模型擬合曲線

圖中黃色代表三階系統,擬合度為92.6%;

圖中紅色為二階系統,擬合度為86.7%;

3 控制系統的設計仿真

3.1 PID的基本控制方法

通過持續不斷的調節,系統最終能夠自動找到某個合適的控制指令,此時螺旋槳以某個速度旋轉,產生的拉力恰好與重力平衡,使懸臂停留在設定位置上,流程圖如圖3所示。

圖3 閉環負反饋控制器流程圖

PID控制算法作為工業控制實踐中最常見的控制算法。控制器是由比例單元、積分單元及微分單元組成,包括Kp、Ki和Kd三個需要設定的系數。即:

而一個控制系統的基本要求是穩定、準確、快速。PD控制中的比例項能夠減小偏差,微分項能夠減小偏差的變化速度、抑制振蕩。PI調節器主要用于改善系統的穩態性能。通過仿真可以得到Kp、Ki和Kd對控制器性能參數的影響。

3.2 綜合校正

電機懸臂控制系統中,Gmp(s)作為被控對象的傳遞函數,控制器Gc(s)被稱為校正環節。輸入是期望角度,輸出是實際角度。則可以得到經過校正后的閉環系統傳遞函數為:

設計控制器使閉環系統單位階躍響應滿足下列性能指標:

(1)上升時間小于0.5 s;

(2)穩態誤差小于5%;

(3)幅值裕量大于20dB;

(4)相位裕量大于40°。

第一條代表了快速性,第二條代表快速性,第三、四條代表穩定性。利用Matlab中的“Contral System Design”對控制系統進行校正,使控制器滿足給定的性能要求,校正結果如圖4所示。

圖4 校正設計結果

最終設計出的控制器由一個積分環節、兩個超前校正環節構成。即:

閉環系統性能完全滿足給定要求:

(1)上升時間0.12 s;

(2)穩態誤差0%;

(3)幅值裕量31.8 dB;

(4)相位裕量69.8°。

4 結論

4.1 電機螺旋槳懸臂是一個三階系統,若電機反應速度很快,即電壓能迅速控制螺旋槳拉力,系統就可以進一步簡化為二階系統,通過階躍響應實驗可以得到其傳遞函數模型。

4.2 從時間的角度考慮,比例作用主要是針對當前系統誤差進行控制,積分作用則針對系統誤差進行記憶,提高系統的無差度,而微分作用則反映了系統誤差的變化趨勢,這三者的組合PID則是“過去、現在、未來”的完美結合。

4.3 對控制系統進行綜合校正,可以達到設定的性能要求。