簡述多元函數(shù)條件極值的求法

辛小青

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 包頭014030)

在實(shí)際生活中,我們會(huì)遇到附加條件的多元函數(shù)的最值問題,即函數(shù)的自變量除了要滿足在定義域內(nèi)的條件還需滿足相應(yīng)的某一條件,例如:容積一定的長方體箱子材料最省的問題,設(shè)長方體的長、寬、高分別為x,y,h,容積V=abh一定,確定長方體的長、寬、高,使得在體積V=abh一定的情況下表面積S=2xy+2xh+2yh材料最省,這種另加條件的極值就叫做條件極值。

下面給出條件極值的兩種基本求法:

方法(一):是利用在數(shù)學(xué)分析中學(xué)到的知識(shí)想辦法將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值進(jìn)行求解,即先由條件φ(x,y)=0求出y=ψ(x),然后將其帶入到z=f(x,y)中得到z=f[x,ψ(x)],再去求無條件極值。

方法(二):是利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的問題,即把條件極值問題,歸結(jié)為對于拉格朗日函數(shù)L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)求無條件極值的問題(拉格朗日乘數(shù)法求極值在下文中會(huì)進(jìn)行詳細(xì)論述)。

特別注意:由于拉格朗日乘數(shù)法是條件極值存在的必要條件,因此我們求到的點(diǎn)是可能存在極值的點(diǎn),然后我們要繼續(xù)依據(jù)定義或?qū)嶋H意義來判斷所求得的點(diǎn)是不是條件極值點(diǎn)。

1 代入消元法

我們可以用一個(gè)量替換另一個(gè)量來達(dá)到降元的效果,這種替換變量的方法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)稱之為代入消元法,例如上面提出的問題就可以用消元法來解答。代入消元法能夠?qū)崿F(xiàn)降元的目的,而且我們能夠把條件極值變成求解無條件極值,這樣相對來說就能夠讓解題更為順暢和簡便。不過這種辦法也是有局限性的,我們應(yīng)該看到這種方法更合適那些簡單的約束函數(shù),而且要求能夠進(jìn)行替代,但很多時(shí)候是不能夠替代的。

例1求函數(shù)f(x,y,z)=xyz在x-y+z=0條件下的一切駐點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值,如果有極值,然后繼續(xù)判斷是哪種極值。

解:由x-y+z=0解得,z=2-x+y,

將上式代入函數(shù)f(x,y,z)得g(x,y)=xy(2-x+y),

所以g'x=2y-2xy+y2,g'y=2x-2xy-x2,

2 拉格朗日乘數(shù)法

用全微分進(jìn)行判斷與求解:

設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z),在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)處df(x0,y0,z0)=0,

如果d2f(x0,y0,z0)<0,則函數(shù)在P0處取得最大值；

如果d2f(x0,y0,z0)>0,則函數(shù)在P0處取得最小值；

如果既不大于0也不小于0,則不能判定有沒有極值。

如果求函數(shù)f(x,y,z)在g(x,y,z)=0條件下的極值,可先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z),其中λ為參數(shù)。求F(x,y,z)對x,y和z的一階偏導(dǎo)數(shù),令它們等于零,并與附加條件聯(lián)立,即

由上述方程組解出x,y,z,λ,如此求得的(x,y,z),就是函數(shù)u=f(x,y,z)在附加條件g(x,y,z)=0下的可能極值點(diǎn)。

在求解方程組之后得出駐點(diǎn),我們就可以利用F(x,y,z)二階微分d2F符號(hào)(在駐點(diǎn)處),然后繼續(xù)判定在求得的駐點(diǎn)處函數(shù)f(x,y,z)是不是能取到極值。

拉格朗日乘數(shù)法是求多元函數(shù)條件極值的一種常用方法,特別是在約束條件比較多的情況下使用拉格朗日乘數(shù)法更方便適用。

拉格朗日乘數(shù)法的推廣:

F(x1,x2,…xn)在φk(x1,x2,…xn)=0,(k=1,2,…,m,m≤n)下的極值,如果說f(x1,x2,…xn)和φk(x1,x2,…xn)都存在偏導(dǎo),而且都連續(xù),且

以m為秩,那么我們就能夠采取拉格朗日乘數(shù)法。

首先,構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

這樣我們就能夠得到駐點(diǎn)Pi(x10,x20,…xn0)(i=1,2,…,k),從而可以進(jìn)行下面的判斷,看駐點(diǎn)到底是不是我們要找的極值點(diǎn)。

命題:設(shè)點(diǎn)x0=(x10,x20,…xn0)及m個(gè)常數(shù)λ1,λ2,…,λm

3 梯度法

設(shè)函數(shù)f是Rn中的一個(gè)實(shí)函數(shù),P0=(x10,x20,…xn0)是它定義域內(nèi)的一點(diǎn),若存在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域U(P0,δ)內(nèi)連續(xù),在U(P0,δ)內(nèi)可微,且對U(P0,δ)內(nèi)的任意一點(diǎn)P(x1,x2,…,xn),記△(P0,P)=(x1-x10,x2-x20,…,xn-x0n)·▽f(P)如果在U(P0,δ)內(nèi):

(1)△(P0,P)恒正時(shí),f(P0)是一個(gè)極小值；

(2)△(P0,P)恒負(fù)時(shí),f(P0)是一個(gè)極大值；

(3)△(P0,P)有正有負(fù)時(shí),則P0不是f的極值點(diǎn)。

例3求函數(shù)f(x,y,z)=2x2+3y2+z2+8x-12y-2z在點(diǎn)P0(-2,2,1)的極值

=(x+ 2)(4x+8) +(y- 2)(6y-1 2) +(z- 1)(2z-2)

顯然,對于任意的δ>0,當(dāng)P?U(P0,δ)時(shí),恒有△(P0,P)>0,所以函數(shù)在點(diǎn)P0處取得極小值f(-2,2,1)=-21。

4 不等式法

4.1 利用均值不等

≥ 9(3 +2 +2 + 2) =81

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=9時(shí),等號(hào)成立。

4.2 利用柯西不等式

柯西不等式:a1,a2,…,an與b1,b2,…bn,一定能夠滿足(a1b1+a2b2+…+anbn2)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)ai?R,bi?R,能夠取等的時(shí)候只有a1,a2,…,an和b1,b2,…bn成比例。我們在使用的時(shí)候需要變形函數(shù),使其能夠滿足形式,這樣我們才能夠運(yùn)用這個(gè)公式。

例5已知(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2=9,求f(x,y,z)=2x-2y+z的最值。

解 首先將f(x,y,z)=2x-2y+z變形為f(x,y,z)=2(x-2)-2(y+1)+(z-4)+10；再設(shè)g(x,y,z)=2(x-2)-2(y+1)+(z-4),于是,根據(jù)柯西不等式及已知條件,有

條件極值基本的解題思路有:(1)將條件極值化為無條件極值,然后利用代入消元法進(jìn)行；(2)利用已有變量將其構(gòu)造成拉格朗日函數(shù),再進(jìn)一步進(jìn)行求解。