3-RHUR/PUS+PP混聯機器人構型與性能分析

田 昕 趙鐵石 王 唱 李二偉 盛 煜

(1.燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室， 秦皇島 066004；2.燕山大學先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室， 秦皇島 066004)

0 引言

與串聯機構相比，并聯機構具有結構緊湊、剛度高、承載能力大等優點，因此有關學者對此進行了廣泛研究[1-5]。但并聯機構工作空間相對較小，串并混聯機構可以結合串聯機構和并聯機構的優點，更易滿足機器人工作空間和高剛度的綜合性能需求。Tricept系列[6-7]和Exechon系列[8]機器人以及TriVariant混聯機械手[9-10]等，通過采用兩轉一移三自由度并聯機構串聯兩自由度擺頭的混聯形式，取得了良好效果。但由于工作空間小、雙擺頭結構復雜和制造精度要求高等原因，影響了其推廣使用。采用并聯頭串聯移動導軌形式的混聯機器人，如搭載3-PRS 機構的ECOSPEED系列混聯機器人[11-12]，其自身剛度更易保障，且易獲得導軌移動方向更大的工作空間。由于3-PRS 機構工作空間與RS鉸鏈間連桿長度成正相關，影響了其大工作空間的剛度性能。TIAN等[13]提出了四自由度并聯頭串聯移動導軌的五自由度機器人構型，但由于并聯機構的限制，其Y方向移動量很小，只適用于該方向小范圍移動的情況。

在提升機器人綜合性能方面，LIU等[14-15]提出了運動/力傳遞性能指標，并對3-PRS并聯機構進行了優化和尺寸設計。ZHANG等[16]采用遺傳算法對球形機構的全局條件數和工作空間進行了優化。ZHANG等[17]采用差分進化算法對3-UPU并聯機構的剛度和可達工作空間進行了優化。文獻[18]考慮機構的動力學性能、速度性能和剛度性能，采用改進的加權求和法進行了多目標優化。文獻[19]根據工作空間與力傳遞效率性能指標對五自由度混聯機器人R(2RPR)R/SP+RR進行了尺寸優化。文獻[20]建立了2-PUR-PSR并聯機構尺度綜合多目標優化數學模型，并驗證了MPSO算法的有效性。

為進一步提升串并混聯機器人大行程剛度等綜合性能，本文提出一種帶隨動滑筒的3-RHUR/PUS并聯頭串聯XY雙導軌的混聯五自由度機器人構型，對其位姿及運動學進行分析，研究混聯機器人的方向剛度，并采用OptLHS采樣與三次插值結合的算法對混聯機器人進行多目標優化。

1 五自由度混聯機器人

1.1 機器人構型

本文提出的3-RHUR/PUS并聯頭串聯XY雙導軌機構如圖1所示。

串聯雙導軌方向與并聯頭驅動H副軸線方向兩兩互相垂直。如圖2所示，并聯頭包含3條RHUR驅動分支和1條PUS隨動分支，其螺旋副(H副)和移動副(P副)平行固定于并聯頭基座，H副沿半徑為R的圓周均勻布置，由各分支第一轉動副(R副)驅動，P副過該圓中心。為了保證并聯頭大行程剛度，避免H副伸出桿大行程時對機器人性能的影響，該中間PUS隨動分支的P副設計為隨動滑筒結構，為3條RHUR驅動分支的H副提供大行程移動支撐，從而解決了并聯頭剛度精度降低問題。H副通過萬向鉸(U副)連接長度為L的連桿，連桿另一端與并聯頭動平臺通過第二轉動副連接。隨動分支連桿通過U副和球副(S副)分別連接隨動分支P副和并聯頭動平臺。動平臺上3個第二轉動副沿圓周均布，半徑為r，S副位于該圓圓心。并聯頭連接及尺寸關系如圖3所示。

1.2 機器人自由度

據修正的G-K公式[21]計算3-RHUR/PUS空間機構的自由度為

五自由度混聯機器人為并聯頭串聯雙移動導軌形成的3-RHUR/PUS+PP混聯機構。該3-RHUR/PUS+PP機器人具有沿X、Y、Z軸移動和繞X、Y軸轉動自由度。

2 運動學與剛度

2.1 混聯機器人位置正反解

建立包含工件坐標系{W}、混聯機器人基坐標系{B}、并聯頭基坐標系{F}以及并聯頭動平臺坐標系{M}4個坐標系的坐標系系統，如圖1所示。其中，工件坐標系{W}、基坐標系{B}與定系{F}僅存在平移而無方位改變，其相對關系可表示為

并聯頭動平臺坐標系稱動系{M}。坐標系固定于并聯頭動平臺，原點M位于S副圓心，初始位置時，坐標軸方向與工件坐標系{W}、基坐標系{B}、定系{F}均一致，其X軸始終過第一分支上平臺轉動鉸鏈點A1。

采用偏轉角θ和方位角φ對末端執行器進行描述，可更清晰地表達其方向，令末端點到機器人方向為其正方向，其方向向量為

n=[sinθcosφsinθsinφcosθ]T

且θ∈[0°,90°]，φ∈[0°,360°]。

由于工件坐標系{W}、基坐標系{B}與定系{F}方位完全一致，3-RHUR/PUS三自由度并聯機構的運動姿態在3個坐標系中的表達相同。且動系{M}的Z軸方向向量與刀具方向向量相同，滿足nz=n。采用ZYZ歐拉角對動系{M}姿態進行描述，其旋轉變換矩陣為

假設末端點T在工件坐標系{W}中的位姿參數為

T=(WTx，WTy，WTz，φ，θ)

其中，WT=[WTxWTyWTz]T為末端點T在工件坐標系{W}中坐標位置參數，由此易知末端點T在基坐標系{B}中的坐標為BT。令末端點T到動系{M}原點的距離為Lt，可得動系{M}原點在基坐標系{B}的坐標為BM，在定系{F}中的坐標為FM。

第i分支U副繞H副軸線轉動角，即絲母被動轉動量

若H副節距為Pd，則并聯頭轉動驅動Ri為

根據連桿長度L恒定，并由轉動副運動特性知，連桿方向始終與分支第二轉動副軸線方向垂直，建立約束方程

FMx=BMx-Px
FMy=BMy-Py

同理，該混聯機器人由驅動到末端的正解位姿亦可求得，將5個驅動參數q=[R1R2R3PxPy]T作為輸入，由6個非線性約束方程組可解得T的5個末端參數及轉角ψ。

2.2 混聯機器人速度與加速度

末端點在工件坐標系{W}的速度VT和加速度AT為包含角速度ωT=[ωTxωTyωTz]T、線速度vT=[vTxvTyvTz]T和角加速度εT=[εTxεTyεTz]T、線加速度aT=[aTxaTyaTz]T的六維速度矢量，且末端角速度ωT和角加速度εT與ZYZ歐拉角速度的關系為

式中sφ表示sinφ，cφ表示cosφ，sθ表示sinθ，cθ表示cosθ。

因此，末端在工件坐標系{W}的旋量速度WVT和旋量加速度WAT為

其中

WωT=wTWvT=vT-wT×WT

WεT=εT
WaT=aT-ωT×WT-ωT×(ωT×WT)

在整個混聯機器人系統中，末端在工件坐標系{W}和基坐標系{B}的旋量速度WVT、BVT和旋量加速度WAT、BAT滿足

(1)

(2)

(3)

(4)

其中

式中BVTF——末端點相對于并聯頭定系{F}在基坐標系{B}的旋量速度

FVTF、FATF——末端點相對于并聯頭定系{F}在定系{F}的旋量速度和旋量加速度

BVF、BAF——并聯頭相對機器人基坐標系{B}在基坐標系{B}的旋量速度和旋量加速度

在定系{F}中并聯頭各關節的運動螺旋表示為

第i(i=1,2,3)驅動分支各關節到末端的速度和加速度映射關系為

其中

其逆解為

(5)

(6)

其中

定系{F}相對于基坐標系{B}的運動只有X和Y導軌的移動，并無轉動及沿Z方向的移動，因此并聯頭相對于基坐標系{B}的旋量速度BVF和旋量加速度BAF為

(7)

其中BωF=[0 0 0]T

(8)

其中

求逆得

其中

綜上可得，串并混聯機器人正逆運動學映射關系為

其中

q=[R1R2R3PxPy]T=qH(1:3,5,6)

2.3 混聯機器人機構剛度

對該混聯機器人而言，如連桿、關節連接件等相對于傳動及伺服系統的變形可忽略，因此著重研究混聯機器人的機構剛度，即只考慮驅動關節的變形對機器人的影響。少自由度機構在無自由度方向上無變形產生，該混聯機器人不具有繞Z軸的轉動，其繞Z方向的轉動剛度為無窮大，本文利用其柔度矩陣分析該機構的方向剛度[23-25]。

令Kq=diag(kq1,kq2,kq3,kq4,kq5)，kqi為各驅動關節的剛度系數，則關節處變形與受力的關系為

τ=Kqdq

混聯機器人末端位移與受力之間的關系為

D=CFT

令機器人末端所受外力為δF=δFf，且f為方向向量，則在f方向上，混聯機器人剛度為

當f=[0t]T時，可得混聯機器人移動的方向剛度，當f=[r0]T時，可得混聯機器人轉動的方向剛度。

3 尺寸優化

3.1 優化指標

(1)轉動能力指標θm

該3-RHUR/PUS+PP混聯機器人工作空間約束條件主要包含各驅動器的行程及并聯頭各關節的運動限制。關節限制如圖5所示，上平臺與連桿夾角即向量PBiAi與向量PMAi的夾角α滿足α∈[20°,160°]，連桿與并聯頭Z方向即向量FPBiAi與[0 0 1]T夾角β滿足β>100°，上平臺轉動副R2與并聯頭Z方向夾角，即向量FR2i與[0 0 1]T夾角γ滿足γ∈[40°,140°]。

由于混聯機器人驅動均沿坐標系方向，易知該機器人工作空間為長寬高為X、Y導軌與H副移動量的長方體空間與3-RHUR/PUS并聯頭產生伴隨移動的并集。除了H副處于極限位置及其附近時，并聯頭運動產生的轉動和伴隨運動都一致。考慮機器人的實際應用需求，極限位置處產生的伴隨移動并不能滿足需求，其實際工作空間為長寬高為X、Y導軌與H副驅動移動量的長方體空間。

由于該構型混聯機器人的轉動自由度全部由并聯頭決定，為實現機器人的五自由度工作，其轉動能力是優化中需要重點考慮的因素。規定刀具方向(即動系{M}Z軸)與基坐標系{B}Z軸方向的夾角為并聯頭偏轉角，以可以實現的最大偏轉角θ來衡量機器人的轉動能力。

θm為可實現繞Z軸360°轉動的最大偏轉角。

(2)力傳遞性能指標Γ

為保證機器人在其工作范圍內穩定的力傳遞，建立并聯頭的全局力傳遞性能指標，采用并聯機構分支傳動角對全局力傳遞性能指標進行分析。

并聯頭驅動三分支沿圓周均勻布置，其傳動角可表示為∠MAiBi(i=1,2,3)或其補角，如圖6所示。

為保證機器人在其工作范圍內穩定的力傳遞，建立機構的全局力傳遞性能指標為

χi=sinμi為局部力傳遞性能指標，μi為3-HRUR/PUS并聯機構單分支傳動角。且Γ∈(0，1)，取值越大，機器人的力傳遞性能越好。

(3)速度性能指標κ

選取速度雅可比矩陣的條件數在工作空間的全局值κ作為全局速度性能指標計算式為

式中kmax、kmin——混聯機器人速度雅可比矩陣奇異值的最大值和最小值

κ∈[1，∞)，越接近于1，機器人的速度各向同性越好。

(4)剛度性能指標σ

3.2 目標函數

通過上述分析，利用線性加權組合法，對全局轉動能力指標θm、全局力傳遞性能指標Γ、全局速度性能指標κ和全局剛度性能指標σ進行綜合考慮，實現混聯機器人的多目標優化。

將上述優化指標的目標函數分別表示為

式中 Min()、Max()——不同指標在參數變化范圍內的最小值和最大值

綜合考慮4個指標的影響，建立混聯機器人多目標綜合優化函數

式中τj——優化指標權重系數

3.3 優化步驟

3-HRUR/PUS+PP混聯機器人，從自由度考慮，繞X、Y軸的轉動自由度由3-HRUR/PUS并聯頭產生，完全受并聯頭各關節相對位置的影響；X、Y、Z軸3個方向的移動，由于驅動方向均沿X、Y、Z軸方向，因此可直接根據需求選擇滿足要求的驅動。綜上所述，該混聯機器人尺寸優化確定為并聯頭各關節位置的優化，即R、r、L的尺寸優化問題。由于R、r、L3個尺寸參數比例關系一定時，機構性質相同。利用初始傳動角μ和長徑比δ建立R、r、L尺寸參數的關系，初始傳動角μ為并聯頭在3個H副驅動值相同時的分支傳動角，長徑比δ為連桿長度與驅動所在圓半徑的比值，即

由于全局優化算法收斂速度較慢，局部優化算法對初值選擇的敏感性較高，只能收斂到局部極值。為了提高運算速度并獲得全局最優結果，采用試驗加插值的方法進行混聯機器人尺寸優化。通過試驗對優化尺寸參數進行抽樣，對目標優化函數結果進行插值，得到全尺寸區間的多目標綜合優化函數值，流程如圖7所示。

(1)給定尺寸優化范圍及各優化指標權重系數

根據實際應用中整體尺寸輕巧性的需求，給定優化尺寸參數范圍為μ∈[10°,80°]，δ∈[0.1,0.8]。優先考慮機器人并聯頭擺動范圍和速度性能指標，給定τ1=0.5，τ2=0.05，τ3=0.4，τ4=0.05。

(2)確定試驗方法

采用拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling，LHS)對機器人優化尺寸參數進行試驗設計：在n維空間中，將每一維坐標區間等分為m個區間，保證每個因子的每個水平只研究一次，完成n維空間m個樣本數的拉丁超立方抽樣。此方法可以有效地對空間進行填充，減少研究點數。為了避免樣本點的隨機和不均衡性，對拉丁超立方抽樣方法進行優化(記為OptLHS)，使所有點盡量均勻地分布在設計空間中，即實現兩點距離最小值的最大化[26]。

本文將分別采用LHS和OptLHS對尺寸參數進行試驗。此外，建立優化尺寸參數μ和δ的全因子尺寸參數矩陣，以便對抽樣優化方法的準確性進行驗證。

(3)試驗結果及比較

設定m=29，分別采用LHS和OptLHS試驗設計方法對優化尺寸參數進行抽樣，建立2×29的尺寸參數。對優化尺寸參數μ和δ按照15×15進行均勻離散，建立全因子的尺寸參數矩陣，圖8為LHS、OptLHS與全因子尺寸參數對比。

(4)對多目標加權綜合優化函數進行計算

對包含各評價指標的混聯機器人多目標綜合優化函數進行計算，得到各抽樣尺寸的加權綜合優化函數值。

(5)對優化目標結果進行插值

采用三次插值法對LHS和OptLHS加權綜合優化目標值F(x)進行插值，得到與全因子尺寸參數一致的15×15的綜合優化指標F(x)矩陣。

(6)結果及準確性驗證

在同樣配置的環境中進行計算，全因子、LHS和OptLHS的最優參數值、目標函數值和所有時間結果對比如表1所示。

由表1可以看出，采用LHS加插值運算的優化方法的最優參數值與全因子計算的結果不一致，其誤差由其采樣隨機性引起。采用均勻布置采樣點的OptLHS加插值運算的優化方法保證了整體優化數據空間的完整性，比LHS加插值運算的優化方法更可靠，保證了優化準確率。采用OptLHS采樣與插值運算結合的優化方法，所用時間僅為全因子優化的8%，極大地提高了優化效率。

表1 全因子、LHS和OptLHS結果對比

3.4 性能圖譜

通過3.3節計算，得到全尺寸設計空間的混聯機器人轉動能力θm、力傳遞性能Γ、速度性能κ和剛度性能σ指標的性能圖譜，如圖9所示。

4 優選尺寸及性能

根據具體應用條件，混聯機器人X、Y導軌行程為800 mm，H副行程為600 mm，驅動分支H副所在圓半徑R=86 mm。根據表1所示優化結果，設計參數取長徑比δ=0.5，初始傳動角μ=50°，圓整尺寸后可得并聯頭R2副所在圓半徑r=113 mm，分支連桿長度L=43 mm。

對該優選尺寸下混聯機器人的性能進行研究，其轉角關系如圖10所示。

可見，該尺寸下3-RHUR/PUS+PP五自由度混聯機器人可實現全方位35°的擺動，在φ=60°、180°、300°附近時，可以達到55°擺動。

給定混聯機器人X、Y導軌和并聯頭驅動同步輸入的單位輸入速度球體，得到混聯機器人末端移動速度球體如圖11所示。由圖11可知，該五自由度混聯機器人沿X、Y、Z方向移動輸出速度滿足各向同性，各方向速度傳遞性能相同。

給定并聯頭H副驅動單位輸入速度球體，得到并聯頭末端轉動和移動速度橢球體如圖12所示。由圖12可以看出，并聯頭沿X、Y方向轉動速度和移動速度輸出相同，且無Z方向轉動速度輸出。

混聯機器人在初始位置和并聯頭擺角30°時的方向剛度如圖13所示。由圖13可以看出，混聯機器人方向剛度與并聯頭末端方位有關，并沿方位軸線垂面對稱。

5 結論

(1)提出一種帶隨動滑筒的并聯頭串聯雙導軌的混聯五自由度機器人構型3-RHUR/PUS+PP，通過優化確定了混聯機器人尺寸，并對其性能進行了分析。

(2)基于螺旋理論建立了串并混聯的正逆運動學映射關系，為混聯機器人整體性能研究奠定了基礎。

(3)綜合考慮混聯機器人的轉動能力、力傳遞性能、速度性能和剛度性能，建立了多目標加權綜合優化函數，提出OptLHS采樣與三次插值相結合的優化算法，以此對混聯機器人進行多目標優化。該優化方法所需優化時間僅為同量級全因子優化的8%，證明了優化方法的有效性。