基于EFAST的三軸立式加工中心幾何誤差敏感性分析

余文利 鄧小雷 王 勝 謝長雄

(1.衢州職業技術學院機電工程學院， 衢州 324000； 2.衢州學院浙江省空氣動力裝備技術重點實驗室， 衢州 324000)

0 引言

提高機床加工精度的主要方法是補償各種誤差。幾何誤差和熱誤差是影響機床加工精度的主要誤差源，占總制造誤差的 60%以上[1]。幾何誤差具有重復性好、系統性高、易測量和長時間內穩定等特點，幾何誤差補償技術是提高機床加工精度的一種經濟有效的重要手段。

通常，幾何誤差補償是通過軟件補償實現的，與硬件補償相比，軟件補償實現更容易、更經濟[2]。建立精確而系統的幾何誤差模型是幾何誤差補償的重要環節之一?，F有建模方法中最常用的是齊次變換矩陣(Homogeneous transformation matrices, HTM)和多體系統理論[3]，單個運動軸的綜合HTM由位置矩陣、位置誤差矩陣、運動矩陣、運動誤差矩陣構成[4]。國內外許多學者成功地使用HTM和多體系統理論對多軸數控機床的幾何誤差進行建模，取得了一些研究成果[5-11]。其他新型理論也被應用于機床幾何誤差建模中，比如旋量理論[12-19]。

通過誤差模型可以獲得刀具相對于工件的綜合幾何誤差，從而得到機床整個工作空間的綜合誤差分布，為誤差補償提供依據。幾何誤差呈現非線性特征，同時誤差元素之間存在耦合作用，各項幾何誤差元素對機床整體精度的影響權重各異。為提高誤差補償效率和降低補償成本，國內外學者相繼進行了幾何誤差敏感性分析研究，對機床幾何誤差進行敏感性分析，能夠獲得對機床精度影響較大的關鍵性誤差，敏感性分析結果可以作為機床精度設計的重要依據[20]。程強及其研究團隊提出了多種誤差敏感性分析和優化方法，如Sobol法[21]、Morris法[22]、可靠性理論[23]和高階矩標準化技術[24]等。WU等[25]設計了多因素正交試驗和單因素參數試驗，將正交試驗顯著性檢驗結果的F值和參數化檢驗結果的歐幾里德范數作為幾何誤差全局敏感度系數。郭世杰等[26]通過計算拉丁超立方抽樣確定的誤差元素引起的空間幾何誤差，進行相關性分析，并辨識影響機床精度的關鍵幾何誤差元素。CHANG等[27]使用金字塔測試件進行直接切割試驗，結合田口方法中的信噪比概念評估多軸機床的幾何誤差。陳東菊等[28]通過對“S”形加工樣件幾何誤差的逆向追蹤實現了誤差溯源，獲得對機床加工精度影響較大的5項誤差參數。劉奕穎等[29]從公差設計角度出發，結合多元線性回歸對機床誤差進行敏感性分析，并提出運動軸誤差的公差設計方法。胡騰等[30]在幾何誤差敏感性分析基礎上構建機床空間誤差完備模型，并提出基于實際參預度的關鍵幾何誤差項識別方法。楊赟等[31]對機床誤差數學模型求解21項幾何誤差元素的偏導數，得到與機床運動位置相關的空間幾何誤差的敏感度系數矩陣，建立了簡化的空間誤差快速補償模型。

EFAST方法由SALTELLI等[32]提出，是一種有效的全局敏感性分析方法，已成功應用于農業[33]和氣象學[34-35]領域。為了提取影響加工精度的關鍵幾何誤差元素，本文提出一種基于POE旋量理論和考慮幾何誤差之間相互關系的EFAST全局敏感性分析的新方法。首先融合POE旋量理論和串聯機構運動學原理，構建立式加工中心的幾何誤差模型，然后采用EFAST全局敏感性分析方法，識別影響機床加工精度的關鍵誤差元素和強耦合誤差元素，最后在北京精雕 Carver800T型三軸立式加工中心上進行誤差補償試驗，以驗證本文方法的準確性和有效性。

1 基于POE旋量理論的多自由度串聯機構正向運動學

對于圖1所示的n自由度串聯機構，定義2個三維笛卡爾慣性系，與剛體固連的動坐標系為B，慣性坐標系為A，B系的原點OB固定在基座上，A系的原點OA固定在末端執行器上。串聯機構的關節以移動副和轉動副為主，各關節在B系下的平動和轉動用θ1、θ2、…、θn表示。

定義初始狀態下末端執行器原點OA在B系下的位置為

(1)

式中gBA(0)——初始位形時A系與B系之間的剛體位姿變換

(xa,ya,za)——在B系下點OA的位置坐標

根據旋量理論[36]，在忽略運動誤差時，串聯機構的各關節在B系下分別進行理想運動θ1、θ2、…、θn后，將各關節運動加以組合，即得到串聯機構正向運動學的指數積為

gBA(θ)=ee…egBA(0)

(2)

式中gBA(θ)——A系相對于B系的最終位姿

θn——第n個關節的轉動量

相比于傳統基于多體系統理論的HTM建模方法，基于POE旋量理論構建運動學模型時具有下列優點：①避免了HTM建模方法中對各部件建立局部坐標系，整個過程只需建立一個全局參考坐標系，解決了矩陣變換時存在的奇異性問題。②運動旋量指數可以方便地描述剛體運動，其清晰的物理意義可以更好地表達剛體運動的空間幾何特性，從而簡化了串聯機構的運動分析。

鑒于此，本文將POE旋量理論應用于三軸立式加工中心的運動學建模，并以此為基礎構建幾何誤差模型。

2 基于POE旋量理論的三軸立式加工中心幾何誤差建模和辨識

2.1 立式加工中心運動鏈分析與正向運動學

三軸立式加工中心結構如圖2所示，MCS為床身坐標系，OM為坐標原點。圖中OW表示工件切削點，OT表示刀尖點，則OW和OT在MCS下的初始位置分別為

(3)

(4)

式中 (xw,yw,zw)——MCS下點OW的位置坐標

(xt,yt,zt)——MCS下點OT的位置坐標

圖2所示的三軸立式加工中心運動鏈為XYFZ型，其運動鏈結構拓撲如圖3所示。圖3中實線為工件運動鏈(床身-Y軸-X軸-工件)，點劃線為刀具運動鏈(床身-Z軸-刀具)，虛線為整體運動鏈(工件-X軸-Y軸-床身-Z軸-刀具)。顯而易見，立式機床進行切削加工時，圖中兩條運動鏈末端的交匯點即為切削成形點。結合式(3)、(4)和式(2)串聯機構末端執行器正向運動學指數積，可得立式機床工件鏈與刀具鏈末端正向運動學指數積為

gMW=eegMW(0)

(5)

gMT=egMT(0)

(6)

式中 e——機床部件沿X軸運動的旋量指數表達式

gWM——OM在WCS下的正向運動學指數積

2.2 立式加工中心幾何誤差及旋量表示

通常三軸立式加工中心各軸作平移運動時會產生21項幾何誤差元素[37]，包含定位誤差、直線度誤差、角度誤差和垂直度誤差，如表1所示，所有幾何誤差的下標定義參照文獻[38]。其中，定位誤差、直線度和角度誤差依賴于運動空間位置，屬于位置相關(Position dependent，PD)誤差；垂直度誤差不依賴運動空間位置，屬于位置無關(Position independent, PID)誤差。

表1 三軸數控機床幾何誤差元素

機床幾何誤差可看作剛體微量運動，根據旋量理論[38-39]可將表1的PID誤差與PD誤差分別表示為

(7)

(8)

式中i——誤差方向j——運動方向

S(Sij)——垂直度誤差旋量運動指數積表達式

D(δij)——直線度誤差旋量運動指數積表達式

R(εij)——角度誤差旋量運動指數積表達式

因式(2)的推導過程中忽略了運動誤差，因此可看作串聯機構在理想狀態下的末端正向運動學指數積。在機床的任意運動鏈引入上述幾何誤差的旋量運動表示后，通過對式(2)的進一步拓展，便可以得到包括運動誤差在內的末端實際正向運動學指數積。

2.3 理想運動與運動誤差相乘次序的確定原則

在機床加工過程中，各部件的理想運動與誤差微量運動的向量疊加構成了實際運動，結合上述兩節內容可知，用上述兩種運動旋量指數表示乘積可以描述機床的實際運動，因此，確定理想運動與運動誤差間的相乘次序是建立機床實際運動學模型的關鍵。現應用多體系統理論的HTM變換，以X軸平動為例來說明理想運動矩陣與運動誤差矩陣相乘次序的確定原則。如圖4a所示，令OM為起始坐標系，該系僅作X向理想運動后到達OWi系。當存在6項PD誤差時，OWr為OM系移動后(real.)的實際位置。則有

(9)

如果在OWi系下定義上述誤差元素，則

OWr=[EPD.]OWi

(10)

由此可得

OWr=[EPD.][idea.]OM

(11)

由式(11)可知，通過運動誤差右乘理想運動可得實際運動。同理，如果在OM系下定義上述PD誤差，如圖4b所示，則

(12)

可得

OW=[idea.][EPD.]OMi

(13)

此時通過運動誤差左乘理想運動可得實際運動。

顯然，式(11)、(13)的形式與對PD誤差定義方式有關。前者以動點的理想運動后的位置作為參照來定義誤差，而后者則以動點運動前的初始位置作為參照來定義誤差。由此可得建立實際運動學模型時理想運動與運動誤差乘積次序的確定原則為：①明確機床幾何誤差元素的定義坐標系。②分析上述坐標系是理想坐標系還是初始坐標系，如圖4所示。③根據分析結果，按式(11)、(13)構建實際機床運動學模型。

2.4 三軸立式加工中心幾何誤差模型

由于制造和裝配缺陷，機床運動軸在平移過程中的實際運動位姿與理想運動位姿存在偏差，此偏差被稱為幾何誤差[40]。因此，在圖3所示的OW處建立工件坐標系(Work-piece coordinate system, WCS)變得尤為必要，在此基礎上，求解WCS下刀尖點OT位姿正向運動學指數積。在2.1節中，均以MCS為參考基準構建各運動鏈拓撲，因此如果以WCS為參考基準，對于工件運動鏈，式(5)可寫為

gWM=(gMW)-1=(eegMW(0))-1

(14)

如果刀具運動鏈拓撲關系保持不變，則可以將工件鏈和刀具鏈耦合成如圖3虛線所示的立式加工中心整體運動鏈拓撲，該拓撲關系以WCS為參考基準。則在WCS下運動鏈末端刀尖點OT的理想正向運動學指數積gi為

gi=(gWT)i=(gWM)i(gMT)i=(eegMW(0))-1(egMT(0))

(15)

在實際加工中，由于存在21項幾何誤差元素，機床刀尖點與理想點會出現偏差。依據2.3節所提出的矩陣相乘次序確定原則可知，在進行實際刀尖點運動學建模時，運動誤差矩陣位于理想運動矩陣的右邊。因此聯立式(7)、 (8)、(15)，可得刀尖點在WCS下的實際正向運動學指數積gr為

gr=(gWT)r=(gWM)r(gMT)r=(eD(δix)R(εix)S(Six)eD(δiy)·R(εiy)gMW(0))-1·(eD(δiz)R(εiz)S(Siz)gMT(0))=(eeeeeee·eeeeeee·egMW(0))-1·(eeeeeee·eegMT(0))

(16)

則立式加工中心的幾何誤差ET為

ET=gr-gi

(17)

根據文獻[41]的描述，理論上可以將幾何誤差分為可補償和不可補償兩類，與機床切削點的自由度有關。三軸立式加工中心只有3個平動軸，對于加工工件，只需要補償3個方向的幾何誤差，因此構建幾何誤差ET時，提取出最后一列即可。則忽略二階和高階誤差項后，一階誤差模型為

(18)

式中Ex——幾何誤差ET在X方向上的分量

Ey——幾何誤差ET在Y方向上的分量

Ez——幾何誤差ET在Z方向上的分量

(x,y,z)——刀尖點在WCS下的位置坐標

在POE旋量理論的基礎上建立了幾何誤差綜合模型，模型中包含立式加工中心21項幾何誤差元素中的18項，體現了模型的完備性。該模型包括實際位置與工件坐標中切削點理想位置的偏差，可用于全局敏感性分析并計算補償值。

2.5 幾何誤差測量和辨識

在北京精雕Carver800T型三軸立式加工中心上測量幾何誤差來進行全局敏感性分析。Carver800T型三軸立式加工中心為XYFZ型機床，機床結構如圖2所示，測量工作區的空間尺寸為600 mm×800 mm×300 mm，通過激光干涉儀(LDDM型)使用9線法來測量2.4節幾何誤差模型所包含的18項幾何誤差元素，測試點分布如圖5a所示。圖5b為激光干涉儀測量現場圖。

通過機床單軸運動和雙軸同時運動來實現9線法測量，在機床測量空間中沿9條線在每個測量點測量一次位移誤差，根據ISO 230-1[40]數控機床幾何誤差測量的相關標準，進行3次連續測量以減輕幾何誤差項隨機特性的影響。通過求解線性方程確定18項幾何誤差元素，測量結果表明測量精度滿足全局敏感性分析的要求。

3 基于EFAST方法的幾何誤差全局敏感性分析

3.1 EFAST方法分析過程

EFAST方法的基本思想來自于貝葉斯定理，即認為參數或輸入參數之間的相互作用會導致模型輸出的變化，它可以反映模型輸出對輸入參數的敏感度[34]。因此，可以通過分解模型方差來獲得參數與總方差之間的耦合關系，模型方差即是參數的敏感性指標。圖6為基于EFAST方法的立式加工中心幾何誤差全局敏感性分析框架圖。輸入參數為X(x1,x2,…,xn)，每個誤差元素都有一定范圍的變化和分布形式，并且所有誤差元素都構成一個多維參數空間。

3.2 全局敏感性分析建模

根據POE旋量理論建立了立式加工中心的幾何誤差模型，X軸、Y軸和Z軸誤差模型分別為

Ex=f(Sxz,δxx,δxy,δxz,εyx,εyy,εzy,εzx)

(19)

Ey=g(Sxy,Syz,δyx,δyy,δyz,εxx,εxy,εzx)

(20)

Ez=φ(δzx,δzy,δzz,εxx,εxy,εyx)

(21)

從式(19)～(21)可知，影響立式機床加工精度的主要幾何誤差元素共22個，其中X軸8個，Y軸8個，Z軸6個，有4個重復項。

以X軸誤差模型為例，基于EFAST方法的幾何誤差全局敏感性分析步驟如下：

(1)通過合適的Saltelli轉換函數[32]將y=f(x1,x2, …,x8)轉換為y=f(s)。轉換函數為

(22)

式中ωi——誤差元素xi振蕩頻率

s——標量，s∈[-π，π]

φi——誤差元素的隨機相位，φi∈[0,2π]

通過傅里葉變換得到y=f(s)的表達式形式為

(23)

其中

(24)

A-p=Ap

(25)

B-p=Bp

(26)

式中p——傅里葉變換參數，p∈Z

Ap、Bp——傅里葉振幅

A-p、B-p——不包括p個參數的傅里葉振幅

傅里葉級數的頻譜定義為

(27)

其中

Λ-p=Λp

(28)

式中Λ-p——不包括p個參數的傅里葉級數頻譜

(2)通過步驟(1)獲得頻譜Λp后，誤差元素xi變化引起的輸出方差Vi為

(29)

誤差模型總方差為

(30)

在[-π, π]范圍內對標量s進行等間隔采樣，傅里葉振幅Ap和Bp的近似計算式為

(31)

式中Ns——采樣總數

p′——變化參數，p′∈{-(Ns-1)/2,…,-1,0,1,…,(Ns-1)/2}

sk——標量s的第k個采樣值

(3)對模型總方差進行分解可得

(32)

式中Vi——誤差元素xi自身變化引起的模型方差

Vi,j——誤差元素xi通過誤差元素xj貢獻的方差

V1,2,…,m——誤差元素x1通過其余m-1個誤差元素耦合作用貢獻的方差

(4)通過歸一化處理后，誤差元素xi的一階敏感度系數Si成為誤差模型輸出方差的直接貢獻，即

(33)

全局敏感度系數為

(34)

式中V-i——不包括誤差元素xi的所有誤差元素方差之和

(5)根據EFAST方法獲得的輸入誤差元素的一階敏感度系數和全局敏感度系數，判斷單個誤差元素對機床精度的影響以及耦合作用對機床精度的影響。

3.3 敏感性分析結果

EFAST方法應用于幾何誤差的全局敏感性分析時，需要預先知道幾何誤差的概率分布。在立式加工中心的工作區中采用9線法測量幾何誤差，如圖5a所示，EFAST方法要求采樣數須大于幾何誤差元素數的65倍，分析結果才有意義，因此根據拉丁超立方抽樣技術[26]，在每個測點中針對每個幾何誤差元素采集1 200個數據，作為幾何誤差全局敏感性分析模型的輸入參數。18項幾何誤差元素通過圖5b所示的激光干涉儀測得。表2給出了立式加工中心幾何誤差元素的概率特征，所有誤差元素均滿足正態分布。

表2 幾何誤差元素的概率特征

幾何誤差全局敏感性分析模型基于幾何誤差模型和全局敏感性分析方法建立，計算得到的幾何誤差的一階敏感度系數和全局敏感度系數以及分析結果如圖7、8所示。

以立式加工中心的誤差分量Ex的敏感性分析為例，根據圖7比較一階敏感度，識別出關鍵幾何誤差元素為：δxx、δxz、δxy、εyx、Sxz，敏感度系數分別為：0.3、0.23、0.14、0.04、0.03。根據圖8比較全局敏感度，識別出的強耦合幾何誤差元素為：δxx、εzx、δxz、δxy，敏感度系數分別為：0.17、0.09、0.08、0.06。因此，為減小X軸的幾何誤差Ex，應著重補償修正上述幾何誤差元素，并合理強化X軸和Y軸的精度。同理，根據圖7和圖8，其余兩個軸的誤差分量和總幾何誤差對應的關鍵誤差元素、強耦合誤差元素均可識別，結果見表3。

表3 各軸幾何誤差與總幾何誤差的關鍵誤差元素識別結果

從敏感性分析結果可知，3項定位誤差、6項直線度誤差和1項垂直度誤差對立式加工中心的空間定位精度影響較大，而角度誤差的影響較小，可以看作是非關鍵誤差，另外，垂直度誤差是系統誤差，因此對其他誤差影響較小。這些誤差應通過在機床設計中合理分配公差或補償誤差來嚴格控制。同時，敏感度系數可用于在加工和誤差補償過程中控制相關運動軸的關鍵誤差元素來提高機床的加工精度。

4 試驗驗證

4.1 補償策略

誤差補償對于驗證幾何誤差模型和提高機床精度非常重要，為了在機床上實現誤差補償，基于EFAST的全局敏感性分析方法，綜合考慮幾何誤差的隨機性和耦合效應，通過反向添加補償值重構理想加工代碼，修正運動軸的實際位置，來實現幾何誤差補償。

(35)

通過式(35)建立了公差、標準差和敏感度系數之間的關系。一階敏感度是幾何誤差的主要敏感度，敏感度系數表示對幾何誤差總方差的直接貢獻，因此，選擇式(35)所示的幾何誤差元素的一階敏感度系數作為輸入參數。根據設計精度要求，高精度三軸機床的幾何誤差小于25 μm。 根據一階敏感度和機床的設計精度，可以獲得各幾何誤差元素補償值的標準差。

補償值可以通過本文建立的幾何誤差模型、幾何誤差辨識值和加工代碼計算得到，補償值的均值為幾何誤差重復測量辨識值的平均值，補償值的標準差取決于EFAST全局敏感性分析結果，如表4所示。通過選擇合理范圍內的補償值，可以有效地控制幾何誤差的隨機特征和耦合特征。

表4 幾何誤差元素補償值的標準差

4.2 補償與驗證

為驗證幾何誤差敏感性分析方法的有效性，本研究在具有開放式數控系統Carver800T型三軸立式加工中心上進行幾何誤差補償試驗。Carver800T型機床的X軸、Y軸和Z軸的行程分別為600、800、300 mm，絲桿螺距為16 mm，3個軸的定位精度和重復定位精度分別為0.008 mm和0.005 mm。幾何誤差補償基于伺服控制系統中的位置控制進行，插補指令在總線接口的前端進行修改，通過反饋中斷補償方法實現，補償原理如圖9所示。

幾何誤差補償試驗系統如圖10所示，主要包括Carver800T型三軸立式加工中心、伺服電機、直線光柵尺、放大器和dSPACE開放式數控系統。補償試驗系統由dSPACE開放式數控系統控制，每個運動軸由與伺服電機及其放大器耦合的滾珠絲杠驅動。dSPACE開放式數控系統由主機和從機組成，主機通過基于dSPACE的特殊軟件進行人機交互代碼的生成和數據保存，從機負責實時控制和信號采集。從機上的數字PID運動控制器生成控制信號，該信號發送到相應的放大器。安裝在機床床身的直線光柵尺生成位置反饋信號，速度和扭矩反饋信號可以通過直接耦合到伺服電機的編碼器獲得，最后，位置信號、速度信號和扭矩信號通過數據總線發送到主機，主機根據采集的數據計算幾何誤差補償值，生成補償加工代碼實現幾何誤差補償。

誤差補償后再次進行測量，將測量結果代入式(18)中可獲得相應的空間誤差分量，圖11為沿X、Y和Z3個運動軸方向的幾何誤差補償與未補償結果比較。

由圖11可以看出，對關鍵幾何誤差元素進行補償后，Ex、Ey和Ez幾何誤差范圍分別為：-6.4～5.5 μm、-4.2～4.6 μm和-2.1～1.6 μm，而補償前，3個誤差分量的幾何誤差范圍分別為：-13.6～14.8 μm、-12.8～11.2 μm和-6.7～0 μm。從比較結果可知，經過補償后，Ex、Ey和Ez的幾何誤差遠小于未補償前的幾何誤差，其補償率分別達到60%、66%和74%。

幾何誤差補償前后的結果表明，采用開放式數控系統可以對三軸立式加工中心的幾何誤差進行有效補償，而基于EFAST方法的幾何誤差全局敏感性分析的補償方法對提高加工精度是有效的。

5 結論

(1)基于POE旋量理論和串聯機構運動學理論，綜合考慮機床部件的幾何誤差，建立了三軸立式加工中心幾何誤差預測模型。

(2)根據幾何誤差模型，提出了三軸立式加工中心幾何誤差敏感性分析方法，采用EFAST全局敏感性分析法進行三軸機床的敏感性分析建模，并推導出立式加工中心的敏感性分析模型。

(3)以誤差檢測試驗為例對立式加工中心進行誤差敏感性分析，得到了影響Ex、Ey和Ez3個誤差分量的關鍵誤差和強耦合誤差元素，最終識別出影響機床加工精度的關鍵性誤差，實現了誤差溯源，為精密數控機床設計提供了重要的理論依據。

(4)使用立式機床和開放式數控系統構建了誤差補償系統，進行了誤差補償試驗，試驗表明，對識別出的關鍵誤差元素進行補償后，Ex、Ey和Ez3個誤差分量的幾何誤差遠小于未補償前的幾何誤差，其補償率分別達到60%、66%和74%，從而驗證了本文方法的可行性、準確性和有效性。