含導(dǎo)熱塊封閉方腔自然對(duì)流格子玻爾茲曼模擬研究

鄭竟波 楊偉林 陳 磐* 韓 奎 廉正陽(yáng) 倪 虎

(南京工程學(xué)院能源與動(dòng)力工程學(xué)院,江蘇 南京211167)

封閉方腔自然對(duì)流現(xiàn)象廣泛存在于太陽(yáng)能集熱器的集熱過(guò)程、溫室型太陽(yáng)房的設(shè)計(jì)、電子元件的散熱、雙層玻璃窗的生產(chǎn)等[1-3]工業(yè)領(lǐng)域中，是傳熱與流動(dòng)學(xué)科中的一個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，具有廣闊的實(shí)際應(yīng)用背景。在方腔自然對(duì)流這一問(wèn)題中，速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)相互耦合，流動(dòng)情況比較復(fù)雜，可呈現(xiàn)不同的流動(dòng)結(jié)構(gòu)，因此，對(duì)方腔內(nèi)部的流動(dòng)及傳熱問(wèn)題的研究一直是各國(guó)學(xué)者普遍關(guān)注的研究熱點(diǎn)。

至今為止已有不少研究者致力于研究封閉腔體內(nèi)的自然對(duì)流特性，由于其影響因素繁多，機(jī)理復(fù)雜，故研究者們都力求一種更為高效的數(shù)值計(jì)算方法。基于分子動(dòng)理論的格子玻爾茲曼方法[4，5]由于其清晰的物理背景、高效的并行效率及算法簡(jiǎn)單等優(yōu)異特征，近年來(lái)受到越來(lái)越多的關(guān)注，并在自然對(duì)流流動(dòng)換熱領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用。如王立海[6]采用格子Boltzmann方法研究了方腔內(nèi)自然對(duì)流換熱問(wèn)題，并對(duì)該換熱現(xiàn)象進(jìn)行了理論分析。董長(zhǎng)青[7]以壓力分布函數(shù)和內(nèi)能密度分布函數(shù)為演化變量，構(gòu)建了新的雙分布熱格子Boltzmann模型，對(duì)封閉方腔內(nèi)自然對(duì)流進(jìn)行了數(shù)值研究。曹先齊等[8]采用格子Boltzmann方法構(gòu)建了非穩(wěn)態(tài)方腔自然對(duì)流的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行模型驗(yàn)證，重點(diǎn)討論了瑞利數(shù)R a、傾斜角度θ對(duì)方腔內(nèi)非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)特性和傳熱特性的影響。文獻(xiàn)[9]采用格子Boltzmann方法，分析研究側(cè)壁面為正弦溫度分布條件下的方腔自然對(duì)流，并研究了瑞利數(shù)以及高寬比變化時(shí)其對(duì)腔體流線分布和等溫線分布的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[10]采用格子Boltzmann方法對(duì)傾斜二維封閉方腔自然對(duì)流換熱進(jìn)行研究，重點(diǎn)討論了傾斜角對(duì)自然對(duì)流換熱的影響。文獻(xiàn)[11]用格子Boltzmann方法對(duì)方腔內(nèi)二維多孔介質(zhì)自然對(duì)流傳熱問(wèn)題進(jìn)行了研究，并詳細(xì)討論了孔隙度及孔隙度變化時(shí)其對(duì)自然對(duì)流傳熱的影響。文獻(xiàn)[12]另辟蹊徑，應(yīng)用格子Boltzmann方法（LBM）研究了三角形腔內(nèi)的水的自然流動(dòng)問(wèn)題，分析了不同瑞利數(shù)和三角形方腔傾角對(duì)流場(chǎng)和溫度場(chǎng)的影響規(guī)律。文獻(xiàn)[13]采用格子Boltzmann方法研究了多孔介質(zhì)方腔底部局部加熱的自然對(duì)流傳熱，主要分析了高溫?zé)嵩次恢眉俺叽鐚?duì)流場(chǎng)、溫度場(chǎng)的影響規(guī)律。

然相比于封閉方腔自然對(duì)流問(wèn)題，實(shí)際工程應(yīng)用中的方腔結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜，方腔中含有導(dǎo)熱塊更是非常普遍的情況，因此，本文以內(nèi)含導(dǎo)熱體的方腔自然對(duì)流為研究對(duì)象，采用格子玻爾茲曼方法，以探討瑞利數(shù)、導(dǎo)熱塊大小及位置等因素對(duì)方腔自然對(duì)流流動(dòng)規(guī)律的影響，分析自然對(duì)流過(guò)程中的流場(chǎng)特性和溫度分布規(guī)律，以期獲得對(duì)帶有導(dǎo)熱塊的方腔自然對(duì)流研究及相似領(lǐng)域研究提供有益參考。

1 問(wèn)題描述及控制方程

方腔內(nèi)含導(dǎo)熱塊自然對(duì)流的物理模型如圖1所示。腔體的水平寬度為L(zhǎng)，垂直高度為H，腔體高寬比K=H/L=1.0 。腔體左側(cè)壁面為高溫壁面，溫度為Th，右側(cè)壁面為低溫壁面，溫度為Tc，上下壁面絕熱邊界。在腔體內(nèi)部正中心處有一正方形導(dǎo)熱固體塊，其寬度為W。模擬時(shí)假設(shè)導(dǎo)熱塊的熱擴(kuò)散系數(shù)與腔內(nèi)介質(zhì)熱擴(kuò)散系數(shù)相同。

圖1 自然對(duì)流示意圖

宏觀控制方程如下：

方程（1-4）中u、T、ρ、p、v、λ、cp、β、Tref、t分別為宏觀速度、溫度、密度、壓力、運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)、導(dǎo)熱系數(shù)、比熱、熱膨脹系數(shù)、參考溫度、時(shí)間。

控制輸運(yùn)過(guò)程的無(wú)量綱準(zhǔn)則數(shù)是普朗特?cái)?shù)Pr和瑞利數(shù)Ra，分別為：

式中a、ΔT為熱擴(kuò)散系數(shù)、特征溫度差。

2 格子Boltzma nn方程模型

采用基于Boussinesq假設(shè)的耦合雙分布函數(shù)模型來(lái)模擬封閉方腔自然對(duì)流[14]，速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)的耦合通過(guò)速度分布函數(shù)演化方程中增加一外力項(xiàng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。其速度場(chǎng)和溫度場(chǎng)分布函數(shù)分別為：

式（6-7）中r為空間矢量位置，t為時(shí)間，ei為格子離散速度，Δt為時(shí)間步長(zhǎng)，т、тT為無(wú)量綱松弛時(shí)間，fieq、gieq、Fi為平衡態(tài)速度分布函數(shù)、平衡態(tài)溫度分布函數(shù)和外力項(xiàng)，其表達(dá)式分別為：

式中wi為權(quán)系數(shù)，ρ密度，格子速度c=Δx/Δt，Δx為格子步長(zhǎng)。

宏觀密度和速度可計(jì)算如下：

松弛時(shí)間系數(shù)т、тT

采用非平衡外推方法[15]進(jìn)行固體壁面速度邊界的處理，其整體精度為2階，具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性。

式中rw代表邊界上的點(diǎn)，rn位離邊界點(diǎn)最近一個(gè)內(nèi)部點(diǎn)。

3 模擬結(jié)果討論

3.1 模型驗(yàn)證

圖2為方腔內(nèi)不含導(dǎo)熱塊的流線圖和等溫線圖。從圖2（a）可以看出，瑞利數(shù)Ra為103時(shí)，流動(dòng)的特點(diǎn)是方腔中央出現(xiàn)一個(gè)近似圓形的渦，而在圖2（b）等溫線圖中，瑞利數(shù)Ra為103時(shí)其等溫線近似垂直。這與文獻(xiàn)[6,7,15]的計(jì)算結(jié)果基本一致。為了進(jìn)一步驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，還將本文獲得的方腔中央渦的位置與文獻(xiàn)[6，7，15]中的渦位置進(jìn)行比較，其渦位置也基本一致，見表1所示。說(shuō)明本文構(gòu)建的格子Boltzmann模擬程序是可靠的。

圖2 瑞利數(shù)Ra=103時(shí),方腔內(nèi)不含導(dǎo)熱塊時(shí)流線圖和等溫線圖

表1 自然對(duì)流渦的位置(Ra=103)

3.2 瑞利數(shù)Ra數(shù)的影響

圖3-4展示了方腔內(nèi)含導(dǎo)熱塊自然對(duì)流在不同Ra數(shù)下流動(dòng)穩(wěn)定后的流線、等溫線變化趨勢(shì)圖，其中固體塊寬度W=H/3。對(duì)于流線圖，由圖可以看出，隨著瑞利數(shù)Ra的變化，其流線變化顯著。當(dāng)Ra數(shù)較小（Ra=103）時(shí)，其流線表現(xiàn)為繞著中心導(dǎo)熱塊的多層同心圓。當(dāng)瑞利數(shù)增加至105時(shí)，在導(dǎo)熱塊左右附近出現(xiàn)了兩個(gè)渦。當(dāng)Ra=106時(shí)，浮升力增加，豎壁邊界層的作用也大大增加，因而渦的卷起作用增強(qiáng)，在導(dǎo)熱塊左右附近產(chǎn)生的兩個(gè)渦偏離方腔中心的導(dǎo)熱塊，分別向左上壁面和右下壁面移動(dòng)，且兩個(gè)渦都分別出現(xiàn)了兩個(gè)次級(jí)渦。

圖3 不同瑞利數(shù)下流線分布情況

對(duì)于等溫線圖，在Ra數(shù)較小（Ra=103）時(shí)，觀察圖4（a）等溫線圖，可知其等溫線幾乎是垂直的，表明在瑞利數(shù)偏低時(shí)冷熱壁之間的傳熱主要由熱傳導(dǎo)引起的，即熱傳導(dǎo)占主要地位；觀察圖4（b）-（c）等溫線圖，隨著瑞利數(shù)Ra不斷增加，等溫線在方腔中央近似呈水平分布，而熱壁面和冷壁面的等溫線保持垂直，且越來(lái)越密集，形成一層薄邊界層，說(shuō)明腔體內(nèi)對(duì)流加劇，熱傳導(dǎo)逐漸減弱，對(duì)流占據(jù)主導(dǎo)地位。其中，由于固體塊位于方腔中央，且模擬時(shí)假設(shè)固體塊的熱擴(kuò)散系數(shù)和腔體內(nèi)介質(zhì)一致，因此腔體內(nèi)加入導(dǎo)熱塊和無(wú)導(dǎo)熱塊時(shí)其等溫線區(qū)別不大。

圖4 不同瑞利數(shù)下等溫線分布情況

3.3 導(dǎo)熱塊寬度W的影響

圖5-6展示了不同導(dǎo)熱塊寬度下的流線、等溫線變化趨勢(shì)圖，其中Ra數(shù)固定為106。對(duì)于流線圖的變化，對(duì)比圖3（c）和圖5（a）-（c）,可以看出，導(dǎo)熱塊寬度W比較大（W=0.6 H）時(shí)，在左右兩側(cè)高低溫壁面條件作用下，形成了一個(gè)繞導(dǎo)體塊的大渦流，且從圖5（a）還可發(fā)現(xiàn)在導(dǎo)體塊左右附近的兩個(gè)次級(jí)渦。當(dāng)W減小至H/3時(shí)，固體塊附近的兩個(gè)次級(jí)渦向左上和右下移動(dòng)，且分別又產(chǎn)生了兩個(gè)三級(jí)渦，見圖3（c）。隨著W的繼續(xù)減小，流線變得不規(guī)則，左右兩側(cè)的兩個(gè)三級(jí)渦其中一個(gè)逐漸消失。當(dāng)W減小至H/15時(shí)，在固體塊左右分裂出兩個(gè)小渦。

圖5 不同導(dǎo)熱塊寬度時(shí)流線分布情況

對(duì)于等溫線圖，對(duì)比圖4（c）和圖6,可以看出，隨著W的減小，其等溫線沒(méi)有顯著區(qū)別。只有在W特別大時(shí)，其水平分布的區(qū)域比較大一些，也更平直一些，見圖6（a）所示。

圖6 不同導(dǎo)熱塊寬度時(shí)等溫線分布情況

3.4 導(dǎo)熱塊在方腔內(nèi)位置的影響

圖6-7展示了導(dǎo)熱塊在方腔不同位置下的流線、等溫線變化趨勢(shì)圖，其中Ra數(shù)固定為106。對(duì)于流線圖的變化，對(duì)比圖3（c）和圖7,可以發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)熱塊在方腔不同位置，其流線變化顯著不同。當(dāng)導(dǎo)熱塊位于方腔上部時(shí)，方腔右下部靠近低溫壁面處出現(xiàn)一個(gè)渦心，包含兩個(gè)小渦。當(dāng)導(dǎo)熱塊位于方腔下部時(shí)，渦心則在方腔左上部靠近高溫壁面出現(xiàn)。另外，導(dǎo)熱塊偏上或者偏下，由于導(dǎo)熱塊的存在，流線在導(dǎo)熱塊附近都發(fā)生了扭曲。

圖7 導(dǎo)熱塊在方腔位置不同時(shí)流線分布情況

對(duì)于等溫線圖，對(duì)比圖4（c）和圖8，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)導(dǎo)熱塊位置偏上或者偏下時(shí)，方腔中部等溫線水平分布區(qū)域減小，導(dǎo)熱塊區(qū)域等溫線傾斜分布，熱壁面和冷壁面等溫線保持垂直，形成的薄邊界層仍相同，沒(méi)有發(fā)生變化。

圖8 導(dǎo)熱塊在方腔位置不同時(shí)等溫線分布情況

4 結(jié)論

本文建立了內(nèi)含導(dǎo)熱塊的方腔自然對(duì)流格子Boltzmann方程模型并進(jìn)行了數(shù)值模擬，重點(diǎn)分析了不同瑞利數(shù)Ra和導(dǎo)熱塊寬度及位置對(duì)腔體流線分布和溫度分布的影響，具體結(jié)論如下：

4.1 隨著瑞利數(shù)的增加，在導(dǎo)熱塊左右位置處出現(xiàn)兩個(gè)次級(jí)渦，隨著瑞利數(shù)的繼續(xù)增加，導(dǎo)熱塊附近的兩個(gè)渦分別向左上、右下移動(dòng)，且兩個(gè)次級(jí)渦都又分裂出兩個(gè)三級(jí)渦。

4.2 不同的導(dǎo)熱塊大小對(duì)腔體內(nèi)流體流型影響較大。當(dāng)腔內(nèi)導(dǎo)熱塊比較大時(shí)，形成了繞導(dǎo)體塊的大渦流，以及導(dǎo)體塊左右附近的兩個(gè)次級(jí)渦，流線比較規(guī)則。隨著導(dǎo)熱塊寬度減小，流線變得不規(guī)則，腔內(nèi)漩渦的數(shù)量增加。

4.3 改變?nèi)鹄麛?shù)及導(dǎo)熱塊大小其溫度場(chǎng)與不含導(dǎo)熱塊方腔自然對(duì)流的溫度場(chǎng)相比，區(qū)別不大。

4.4 導(dǎo)熱塊位置對(duì)腔內(nèi)流型及溫度場(chǎng)影響都比較大。當(dāng)導(dǎo)熱塊位于方腔上部時(shí)，方腔右下部靠近低溫壁面處出現(xiàn)一個(gè)渦心。當(dāng)導(dǎo)熱塊位于方腔下部時(shí)，渦心則在方腔左上部靠近高溫壁面出現(xiàn)。當(dāng)導(dǎo)熱塊位置偏上或者偏下時(shí)，等溫線在導(dǎo)熱塊區(qū)域是傾斜分布的。