淺談時間序列分析
——以ARIMA為例

白桐 趙鈺 程博宇

1. 格樂大學工商管理學院 泰國 10220

2. 澳門城市大學數據科學學院 澳門 999078

3. 澳門城市大學 商學院 澳門 999078

1 時間序列分析的國內外研究現狀

時間序列的相關方法最開始被應用于20世紀20年代，數學家尤勒最先以自回歸模型分析市場規律的變化趨勢。接下來，20世紀30年代初，另一位數學家瓦爾格從前人發明的自回歸模型中得到靈感，從而發明了滑動平均模型和自回歸滑動平均混合模型，并獲得廣泛的應用。越來越多的學者開始使用時間序列分析方法來研究在日常實際情況中出現的帶有時間屬性變量的相關問題，而且做出了大量值得肯定的成績。潘歡弘[1]等選取了江西省2008-2015年手足病逐月發病數量的時間序列，建立Arima模型對2017年手足口手足口病的發病率進行預測，分析預測的結果發現2017年的手足口病發病率與往年發病趨勢相似，沒有太大的出入。張艷選取了2016.1.4-2016.6.24的人民幣對美元日匯率的時間序列，建立Arima對2016.5.12-2016.6.24的匯率進行預測，將預測結果與實際值對比發現，模型預測精度較高，可以用此方法對匯率進行預測。徐蘭芹以2016年濟南市日空氣質量指數的時間序列為基礎，結合ARIMA模型和條件異方差模型進行分析，發現此方法用于預測相似時間序列具有可行性。趙小盼利用了2018.1到2015.12的CPI月度數據，建立模型對通貨膨脹指數進行預測，與實際值進行對比發現，對于此類有復雜影響因素的時間序列，組合預測模型相對ARIMA的預測精度更高。并指出當前幾家權威調查機構調查結果的可信性。紀偉偉采用2005.1-2015.12的腫瘤?？漆t院月門診量的時間序列進行分析，運用ARIMA模型對2016及2017的月門診數量進行預測，根據結果發現門診數量依然會增加，其增長率逐漸穩定，各個科室的門診數量具有季節性趨勢，肯定了ARIMA在實際情況中處理問題的能力，并對醫院相關部門提出建設性意見。何永敢等利用ARMA模型對安徽省城鄉居民消費水平差距做時間序列分析，經過預測后發現未來幾年安徽省城鄉居民消費差距仍無法得到根本性縮小，需要政府以宏觀手段，加大對農村居民的福利政策，從消費思想，消費環境，消費潛力多方面切入，提高農村居民的消費水平。謝雨婷用ARMA模型對江蘇省城鄉居民收入差異做了預測，發現江蘇省城鄉居民收入差異有擴大的趨勢，并指出當前的城鄉居民收入差距情況是多方面因素共同造成的，不同地區之間具有差異性，對待不同地區應該實行不同的政策。

2 ARIMA模型及時間序列分析的基本理論

2.1 ARIMA模型介紹

ARIMA模型是由兩種模型組成的，一個是AR（自回歸模型）模型，另一個是MA（移動平均模型，這兩個模型也可以看作ARIMA模型的特殊形式，ARIMA模型是以時間序列本身具有的趨勢特征為依據，來尋找變量當期值與其滯后期值及誤差項之間的關系，最后對數據下一步變動進行預測。 ARMA模型是以兩個模型為基礎組合而成，具有兩個模型的兩種特點，因此它的階是二維的，ARIMA模型表達式如下：

其中p代表自回歸成分的階數，q代表移動平均成分的階數，記做 ARIMA(p,q)，即時間序列ty是由它的前 p 期值及當前和前q期的隨機誤差項的線性函數，φ1，φ2,......φp是自回歸系數，描述了 yt-j( j = 1,2,…,p) 對yt的影響程度，θ1,θ2,θ3....θp是移動平均系數，εt 是隨機干擾誤差項。

運用模型有其特定的前提條件，是必須通過由一個平穩隨機過程產生一個依賴于時間的序列。即其過程的隨機性質應具有不變的時點，在圖表上呈現為所有的樣本點在水平線上下隨機地波動[2]。

2.2 平穩性檢驗

在實際情況中我們處理時間序列的時候，時常會有隨機性的和非平穩性的存在。特別是在普遍的經濟時間序列都會顯示出一定程度的趨勢性，就是指時間序列數值隨時間的變化表現出增大或縮小的趨勢，還有季節性和方差的不穩定性。時間序列的非平穩特性廣泛存在，它從客觀角度表達出經濟活動實際情況的同時，也使我們使用數學模型估量存在于時間序列中的規律遇到困難。所以，對時間序列進行平穩性判斷，觀察一個序列是否存在某種趨勢，以及各時間間隔內折線是否存在是非常有必要的。平穩性檢驗在本文運用的方法是通過觀察 ACF 圖和 PACF 圖的各項特征值后做出判斷的檢驗方法[3]。

2.3 AIC準則、BIC準則

AIC是為了衡量統計模型擬合是否良好，而被創造出的判斷準則，它的存在意義是為了提供一種判斷模型混亂程度以及數據擬合情況是否良好的標準。

通常情況下，AIC定義為：

在上述公式中，k代表了模型的參數數量，L代表了似然函數。在實際情況中需要從一組模型選擇最佳模型的時候，一般選擇其中AIC值最小的模型。

BIC貝葉斯信息準則與AIC準則相似，可以看作AIC準則的改進版，BIC的懲罰權重比AIC的大，從樣本數量出發，當出現樣本數量過多的情況時，可以有效避免由于模型精度過高而造成的模型復雜度過高的情況。

其中，k為模型參數個數，n為樣本數量，L為似然函數。判斷標準和AIC準則相同。

2.4 適應性檢驗

適應性檢驗，即模型顯著性檢驗，看模型是否充分提取序列值信息，好的模型應包含觀察值序列中所有的樣本相關信息，如果擬合殘差序列不存在任何相關的信息，則其為白噪聲序列。評判一個模型的優劣，取決于其殘差序列是否為白噪聲序列。如果不是白噪聲序列，則說明仍有信息沒有被提取，需要選擇其他模型來重新擬合，若果是白噪聲序列，則認為其通過適應性檢驗。所以說適應性檢驗就是檢查殘差序列是否為白噪聲序列[4]。

3 ARIMA模型建模步驟

第一步，建立ARIMA( p，d，q) 模型的針對的是平穩的時間序列，在此前提之下，需要對原數據序列進行平穩性檢驗，檢測結果是是非平穩的時間序列，那么就通過差分變換過程，對其進行平穩化處理。

第二步，接下來對模型進行定階識別，通過計算各種相關統計量，對p和q進行確認，從而選擇模型的形式建立模型。

第三步，模型建立后估計模型的參數，比較常用的有矩估計，極大似然估計，和最小二乘估計。

第四步，模型估計后需對模型的適應性進行檢驗，分為兩部分，模型的顯著性檢驗和模型參數的顯著性檢驗。

第五步，利用通過適應性檢驗的模型進行預測。