淺談二次函數在高中數學中的重要作用

黃 亮

（江蘇省南京市聾人學校 江蘇南京 210007）

一、深入了解二次函數的概念與基礎

在初中數學教育中對函數有了介紹與理解，而踏入高中數學以后會在此基礎上再次鞏固，加深對函數概念、基礎知識的理解，并基于映射觀點來研究函數的基本概念與原理，讓學生對函數概念有一個更全面的理解。

二次函數的概念為：二次函數是從一個集合A(定義域)到集合B(值域)上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)與集合A的元素x對應，記為y=ax+bx+c(a≠0)。

這里ax2+bx+c表示對應法則，又表示定義域中的元素x在值域中的象，借助集合與映射讓學生對函數概念有更細致的理解，等到學生掌握基礎函數概念與理論，就可以進一步展開下面問題的指導教學。

典型案例1：已知y=5x+2x+7，求 f(x+1)在解答該類型題目時，應當把 f(x+1)理解為自變量做x+1的函數值，而非x=x+1時的函數值。

典型案例2： f(x+1)=3x2+x+5，求 f(x)這種類型題目的本質是求對應法則，即要求在已知的對應法則 f 下，當定義域中元素x+1的象為3x2+x+5時，求定義域中元素x的象。該類型題目有兩種求解方法：

方法1：采用適應性比較強的變量代換方式

令t=x+1，則x=t-1，因為 f (t+1)=3(t-1)2+(t-1)+5=3t2-5t+7，從而得出 f(x)=3x2-5x+7。

方法2：把題目所給的表達式表示成x+1的多項式

f(x+1)=3x2+x+5=3(x+1)2-5(x+1)+7，

再用x代x+1得出 f(x)=3x2-5x+7。

二次函數類知識涵蓋比較廣，除了以上內容，還考察二次函數單調性知識，比如讓學生熟練掌握二次函數y=ax2+bx+c在區間(-∞，-b/2a) 及[-b/2a，+∞]上的單調性相關結論，并做系統證明，而單調性學習也需要結合圖形共同理解，加深學生對函數知識的掌握。

典型案例3：畫出下列函數的圖像，并通過圖像來研究其單調性。

(1)y=x2+4|x+1|+6

(2)y=3|x2+2|

(3)y=x2-2|x|+2

對于這類比較典型的題型，學生應該關注二次函數與這些函數直接的聯系與差異，學會將含有絕對值記號的函數用分段函數去表示，并在此基礎上畫出圖像。

經典案例4： f(x)=2x2-4x-2，其在區間[t，t+1]上的最小值為a( t )。求：a( t )，并畫出y=a( t )的圖像。對于這類題型的在解答時，學生首先應該認真審題，理解問題求解內容，然后思路清晰分析問題。一個二次函數在實數集合R上要么只有最大值要么只有最小值，但是當定義域產生變化的時候，取最小值或者最大值的情況也會隨之發生變化。解答思路如下：

解： f (x)=2x2-4x-2=2(x-1)2-4，在x=1時，取最小值-4

當1∈[t，t+1]，即0≤t≤1，a( t )=-4

當t＞1時，a(t)= f ( t )=2t2-4t-2

當t＜0時，a(t)= f ( t+1)=2t2-4

二、二次函數在高中數學中的重要作用

二次函數為初中函數的進一步學習內容，也為基本的冪函數，函數內涵豐富，且拓展考查知識點多。通過二次函數學習，學生需要掌握函數概念、圖像、奇偶性單調性，尤其是函數知識需要建立起不等式、方程、以及函數之間的緊密聯系，因此這也是二次函數比較困難的點，需要學生深入學習。所以對二次函數的理解應該從數學思想、知識、方法以及應用上入手，進而充分鍛煉學生數學思維，以更好地適應二次函數的演變題型，靈活思考。

進一步研究二次函數發展，這個章節知識是常考對象，甚至與各個章節知識有著緊密聯系，如解析幾何以及導數等高中主體知識與二次函數的有機結合，3個二次的等價運用等，考察的重點則分布在不等式的范圍、函數的零點、方程根的分布、等價轉化相關函數最值、二次函數的圖像與性質等內容上。下面結合常見的高考二次函數相關題型，再做相關重要性介紹：

經典數形結合題型研究

如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過點(1，0)和(0，-2)，且頂點在第三象限，設P=a-b+c，則P的取值范圍是( ）

A.-4

B.-4

C.-2

D.-1

將兩個點坐標代入函數解析式，從而得到a+b+c=0和c=-2這兩個結論，更進一步的結果是a+b=2，然后就由頂點在第三象限想到頂點坐標均為負數，想到列兩個不等式，然后……就沒有然后了，全開始卡殼。本題是一道選擇題，所以解析法用在它身上無疑是會花費大量時間的，因此我們得認真觀察圖形，結合我們所學的二次函數的圖象特征來分析它：

第一個要關心的是它的開口方向，由圖中可知，此時開口向上，頂點在第三象限，想像一下函數開口變大，那么a值應該變小，最小可以變成多少呢？當a值小到接近0時，二次函數圖象會接近一條直線（經過上述那兩個已知點），頂點若在這條直線下方，那么開口方向就不再向上了，而變成向下，此時頂點就不在第三象限了；繼續剛才的想像，開口變小，那么a值應該變大，最大能變成多少呢？當a值變大時，其對稱軸會接近y軸，頂點也接近y軸，由于第三象限的限制，故此它的頂點最多只能接近(0，-2）。

基于以上兩個數形結合的動態想像(此時不宜演示給學生看動畫），開始我們的解析：將函數解析式化為y=ax2+(2-a)x-2，考慮它變化的兩個極限情況，當二次函數成為一條直線(一次函數）時，a=0，解析式為y=2x-2；當頂點在(0，-2）時，2-a=0，a=2，解析式為y=2x2-2；

最后再來看P=a-b+c，這個式子是點(-1，a-b+c）的縱坐標，理解為當橫坐標為-1時二次函數的函數值。將x=-1分別代入上面的兩個函數解析式，分別計算出P=-4和P=0，所以范圍是-4

結語：綜上所述，高中二次函數靈活多變，考察點眾多，已經成為高考考察的重點，因此學生應該予以重視，并從函數概念，基礎典型題，以及拓展知識入手，強化對知識的吸收與理解，加快學生發展。