五自由度并聯驅動機構及其位置分辨能力分析

張金柱 史漢卿 王 濤 黃慶學 姜 力

1.太原理工大學機械與運載工程學院，太原，030024 2.哈爾濱工業大學機器人技術與系統國家重點實驗室，哈爾濱，150001 3.太原理工大學先進成形與智能裝備研究院，太原，030024 4.先進金屬復合材料成形技術與裝備教育部工程研究中心，太原，030024

0 引言

機構是機械裝備的骨架[1-3]，是機械裝備“形體之美”的決定因素。并聯機構作為機構家族的一個重要分支，自20世紀30年代誕生以來，由于其獨特的結構、運動及力學特性，極大地促進了裝備制造業的發展[4-6]。經過一代代機構學學者的不懈努力，在并聯機構的基礎上形成了諸多新型的機構簇，如串并混聯機構[7-8]、變胞機構[9-11]、折展機構[12-13]、折紙機構[14]等，這些機構簇不僅豐富了機構類型，也擴展了機構的應用領域[5]。

傳統并聯機構[15-17]具有剛度高、承載能力大、結構緊湊等特性，在一些特定領域[18-21]取得了很好的應用效果，但它在移動加工作業、大型結構件加工等領域應用的過程中逐漸暴露出結構局限性。為彌補傳統并聯機構的缺陷，許多學者致力于廣義并聯機構[22]的研究。有別于傳統并聯機構，這類機構不局限于“動平臺與靜平臺之間并聯連接有多條獨立運動鏈”的結構形式。ZENG等[23-24]提出一種具有空間多環運動鏈的機構型綜合方法；DING等[25]提出了具有耦合鏈的空間機構型綜合方法；XIE等[26]提出的新型空間并聯機構中的兩條支路具有閉環結構，即在平面單閉鏈的基礎上附加轉動副作為驅動支鏈，顯著提高了機構的剛度和承載能力。這些廣義并聯機構的出現不僅擴大了并聯機構的概念，而且拓展了并聯機構的應用范圍。

本文提出了一種具有三移動和二轉動的多分支耦合五自由度并聯驅動機構，并對該機構進行運動學研究，得到正逆運動學模型，繪制了可達工作空間，分析了機構位置分辨能力。

1 五自由度并聯驅動機構拓撲結構分析

1.1 機構描述

筆者提出的五自由度并聯驅動機構(5-DOF parallel driving mechanism，5-DOF PDM)如圖1所示。為準確地描述機構內部的運動鏈，結合方位特征(position and orientation characteristic，POC)集[3]對機構進行拓撲結構劃分與描述。該機構的驅動機構包括兩部分：第一部分即第一驅動分支由單開鏈SOC{-R2(⊥P2)∥R3-}、SOC{-R6(⊥P4)∥R5-}、SOC{-R1∥R4-}并行組成，幾何約束為R1∥R2∥R6，其中，“-”表示運動副軸線為任意配置，“∥”表示運動副軸線平行，“⊥”表示運動副軸線垂直，R、P分別表示轉動副和移動副；第二部分即第二驅動分支由SOC{-S3-P1-R7-}和SOC{-S4-P3-R8-}并行組成，幾何約束為R7∥R8，其中，S表示球副。執行機構的拓撲結構可表示為單回路運動鏈(single-loop-chain,SLC){-R4(-S1)∥R9∥R10-S2-}。第一驅動分支通過R3、R4和R5連接執行機構的上部，各轉動副軸線間的幾何約束為R1∥R3∥R4∥R5。第二驅動分支通過R11與執行機構下部連接，各轉動副軸線間的幾何約束為R7∥R11和R9⊥R11。將第一、二驅動分支交叉，幾何約束為◇S3R7R8S4⊥◇R2R3R5R6，將R1、R2、R6、S3和S4的軸線和中心點固定，形成靜平臺。執行機構末端與第二驅動分支末端交叉形成動平臺。選擇R3、R4、R5、R7和R8作為執行機構的運動輸入點，可完成三移動輸出和二轉動輸出。

(a)5-DOF PDM 模型

1.2 機構動平臺的POC集

1.2.1執行機構拓撲結構分析

本文采用POC集法對機構拓撲結構進行分析，為便于讀者理解，選擇與機器人機構拓撲結構設計[3]一樣的標注方式。執行機構由支路SOC1{-R4(-S1) ∥R9-}和SOC2{-R4(-S2)∥R10-}組成，選擇動平臺上一點作為基點O′，則支路SOC1和SOC2的POC集分別為

Mbz1=

Mbz2=

式中，ρ為S1、S2副中心點到基點的徑矢。

機構的POC集的獨立元素數不能大于機構自由度[3]，SOC1和SOC2支路的自由度均為5，因此Mbz1和Mbz2中只能有5個獨立元素，另一個為非獨立元素。執行機構的獨立位移方程數為

ξLSLC=dim.{Mbz1∪Mbz2}=5

故執行機構的自由度為

式中，m為運動副個數;fi為第i個運動副的自由度。

則新執行機構的自由度為

新老執行機構的自由度相等，根據消極運動副判定準則[3]可知，S1的3個轉動中不包括R(S1-R9)。類似地，可判定S2的3個轉動中也不包括R(S2-R10)。因此，執行機構的POC集為

式中，O1為S1的轉動中心；O2為S2的轉動中心。

1.2.2第一驅動分支拓撲結構分析

第一驅動分支可視為SOC3{-R2(⊥P2)∥R3-}、SOC4{-R6(⊥P4)∥R5-}和SOC5{-R1∥R4-}的并聯，仍以O′為基點，則各支路SOC3、SOC4和SOC5的POC集分別為

確定由SOC3和SOC5組成的第一個獨立回路的獨立位移方程數為

ξL1=dim.{Mbq3∪Mbq5}=3

則由SOC3和SOC5組成的子并聯機構的自由度

子并聯機構末端的POC集為

第一驅動分支剩余獨立回路的獨立位移方程數為

ξL2=dim.{MPa(3-5)∪Mbq4}=

則第一驅動分支的自由度

對應的POC集為

MPa1=MPa(3-5)∩Mbq4=

基于驅動副判定準則[3]，容易判定R1、P2和P4可同時作為驅動副，因此，第一驅動分支可為執行機構提供二移動和一轉動的運動輸入。

1.2.3第二驅動分支拓撲結構分析

第二驅動分支可視為SOC6{-S3-P1-R7-}和SOC7{-S4-P3-R8-}的并聯，選擇動平臺上一點O″作為基點，則支路SOC6和SOC7的POC集分別為

Mbq6=Mbq7=

其中，ρ1為S3、S4副中心點到基點的徑矢，SOC6和SOC7支路的自由度均為5，故Mbq6和Mbq7有5個獨立元素，第二驅動分支獨立回路的獨立位移方程數為

ξL3=dim.{Mbq6∪Mbq7}=5

則第二驅動分支的自由度為

設S3轉動中心為O3，S4轉動中心為O4，容易判斷S3的3個轉動中不包括R(S3-R7)。類似地，S4的3個轉動中也不包括R(S4-R8)。則第二驅動分支末端的POC集為

仍以O″為基點，則5-DOF PDM的POC方程為

在不影響5-DOF PDM末端運動特征的基礎上，于第二驅動分支與執行機構末端交叉點設置同軸轉動副R11，幾何約束為R7∥R11，可使得機構具有部分解耦的特性。選擇P1和P3為驅動副，則第二驅動分支可為執行機構提供一移動和一轉動的運動輸入。

2 運動學分析

2.1 運動學逆解

設該機構主要的幾何參數為R1R2=R1R6=a1，S3R1=S4R1=a2，R9R11=R10R11=b1，R7R11=R8R11=b2，R1R4=l1，R3R4=l2，R4R5=l3，R5S2=l4，R3S1=l5，S1R9=l6，S2R10=l7，S3R7=LP1，R2R3=LP2，S4R8=LP3，R6R5=LP4。如圖2所示，以R2R6的中點為原點建立固定坐標系{J}:O0X0Y0Z0，以S1S2的中點為原點建立參考坐標系{C}:OcXcYcZc、動參考坐標系{DC}:OdcXdcYdcZdc，以R9R10的中點為原點建立工具坐標系{W}:OwXwYwZw，其中,X0∥R2R6，Y0∥S3S4，Xc∥S1S2，Zc⊥S1S2，Xdc∥S1S2，Zdc∥OcOw，Xw∥R9R10，Yw∥R7R8，Z0、Yc、Ydc和Zw通過右手螺旋定則確定。設θ1為S1R4與X0負方向的夾角，θ2為S2R4與X0正方向的夾角，θ3和θ4為R7S3和R8S4與S3S4的夾角，θ5和θ6為R3R2和R5R6與R2R6的夾角，θ7為S1S2與S1R9的夾角。θ8為{DC}繞Xc的旋轉角，β1為R1R4繞Y0的旋轉角，并規定旋轉角逆時針旋轉時為正值，順時針旋轉時為負值。

圖2 5-DOF PDM機構位姿描述

(1)

式中，T、R分別為4×4的平移變換矩陣和旋轉變換矩陣。

(2)

β2=β1-θ1/2+θ2/2

g3=-(l2+l5)sin((θ1+θ2)/2)

其中，Xdt、Ydt、Zdt分別為從{J}到{C}變換過程中的中間過渡坐標系的X軸、Y軸和Z軸。

(3)

α0=arcsin(yg5)g5=‖OcOw‖

(4)

根據式(1)可得

(5)

式中，WR7、WR8分別為R7和R8在{W}中的位置向量；JS3、JS4分別為S3和S4在{J}的位置向量。

聯立式(1)～式(4)，結合式(5)，可建立位姿方程組Eq：

(6)

σ1=l1sinβ1σ2=l1cosβ1σ3=b2cosα

σ4=b2sinαsinβσ5=b2sinαcosβ

τ1=2β-θ2τ2=2β1-β

2.2 機構的速度分析

2.2.1第一驅動分支速度分析

對第一驅動分支進行分析，建立復數方程：

l1exp(i(3π/2+β1))+l2exp(i(2π-θ2))+LP4exp(iθ6)=a1

(7)

l1exp(i(3π/2+β1))+l2exp(i(π+θ1))+LP2exp(i(π-θ5))=-a1

(8)

對式(7)、式(8)求導并用歐拉公式展開，令實部相等，可得

(9)

(10)

基于式(9)、式(10)，通過構造矩陣可得

qpo=JC1qpi

(11)

在固定坐標系中，點S2和Oc可表示為

(12)

(13)

對式(12)、式(13)求導，并建立點S2和Oc與第一驅動分支的速度映射關系：

vs2p=JSqpo

(14)

voc=JCqpo

(15)

JC=

2.2.2第二驅動分支速度分析

第二驅動分支的運動學回路方程可寫為

(16)

對式(16)求導并化簡可得

(17)

式中，Jvow為動平臺中心點在{J}下的線速度；Jωow為動平臺中心點在{J}下的角速度。

則第二驅動分支的雅可比矩陣為

(18)

2.2.3執行機構速度分析

對執行機構進行分析，根據Oc、S2和Ow在各個坐標系中的幾何關系可得：

(19)

(20)

(21)

(22)

在{DC}中，Ow0和S20坐標分量與θ7之間的關系為

zow0=-l6sinθ7

(23)

xs20=b1+l6cosθ7

(24)

對式(19)～式(22)求導可得

(25)

(26)

(27)

(28)

式中，vs2c、vs20分別為點S2在{C}和{DC}的速度矢量；vowc、vow0分別為點Ow在{C}和{DC}的速度矢量。

對式(23)、式(24)求導，并構造矩陣可得vowc和vs2c的映射關系：

vs2c=J4J3vowc

(29)

聯立式(25)～式(29)可得

(30)

將式(14)、式(15)代入式(30)可得

(31)

JS2C=

θA=(θ2-θ1)/2

由執行機構的特點可知，動平臺中心點Ow在{J}中的角速度Jωow可表示為

(32)

結合式(31)可得

(33)

進一步化簡可得

Jωow=J10qpi

(34)

則該機構的全雅可比矩陣J可寫為

(35)

2.3 運動學正解

由于位姿變量和驅動關節變量存在如下關系：

(36)

式中，Δχ為動平臺的位姿變量；Δq為各個驅動關節的變量；t為時間。

故根據極限與無窮小的關系可知：

Δχ=χ(q0+Δq)-χ(q0)≈J-1Δq

(37)

令q=q0+Δq，即Δq=q-q0，式(37)可寫為

χ(q)≈χ(q0)+J-1(q-q0)

(38)

根據式(6)可得機構驅動關節變量為q0時的位姿(q0，χ(q0))，結合式(38)可以得到機構驅動關節變量為q時的一個近似位姿：

(q,χ(q))≈χ(q0)+J-1(q-q0)

(39)

(40)

(41)

由此可得五自由度并聯驅動機構運動學正解的牛頓迭代法。為驗證運動學正解的結果，進行了仿真驗證，對于給定的參考軌跡，由式(6)可以得到運動學逆解，如圖3所示，各驅動器的解唯一確定。將逆解的部分結果作為式(41)的輸入，并將式(41)的計算結果與參考軌跡進行比較，圖4所示為運動學正解與期望運動的差別，結果表明，運動學正解與期望軌跡幾乎完全一致，仿真結果驗證了運動學正解公式的正確性。

圖3 5-DOF PDM給定軌跡的運動學逆解

(a)位置正解與期望位置之差

3 工作空間分析

利用CAD變分幾何法[27-28]研究機構的可達工作空間，如圖5所示，在CAD軟件中建立5-DOF PDM的仿真模型，給定驅動副Pi(i=1，2，3，4)的桿長上限LPimax和下限LPimin，給定驅動副R1的轉角上限β1max和下限β1min，并給定各個驅動副的增量ΔLP和Δβ，機構的可達工作空間可由多個曲面族包絡而成，其構造過程如下：

圖5 5-DOF PDM模擬機構及其可達工作空間

(1)設置固定尺寸，令a1=645 mm，a2=455 mm，b1=165 mm，b2=85 mm，l1=370 mm，l2=l3=300 mm，l4=l5=110 mm，l6=l7=525 mm。

(2)設置各驅動副的極限值，令β1min=-18°；β1max=18°；ΔLP=5 mm；Δβ=1°；LP1min=LP3min=900 mm；LP1max=LP3max=1340 mm；LP2min=LP4min=596 mm；LP2max=LP4max=775 mm；β1=β1min+j1Δβ，j1=0,1，…，n1；LP1=LP1min+j2ΔLP，j2=0,1，…，n2；LP3=LP3min+j3ΔLP，j3=0,1，…，n2；LP2=LP2min；n1=(β1max-β1min)/

Δβ；n2=(LPimax-LPimin)/ΔLP。

(3)設置j1=j2=j3=0，以ΔLP為LP4的增量，逐次修改LP4，并記錄動平臺中心的位姿，提取其中的位置參數，運用CAD軟件的擬合曲線功能可獲得一條曲線。

(4)當j1從1取到n1時，重復步驟(3)的操作可獲得一個曲線組，利用CAD軟件可將其擬合為一個曲面。

(5)令j1=j2=0，當j3從1取到n2時，重復步驟(3)、(4)可獲得曲面族。

(6)令j1=0，當j2從1取到n2時，重復步驟(3)～(5)可獲得曲面族。

(7)完成以上步驟即可獲得由多個曲面族包絡而成的修磨機械臂可達工作空間。

研究發現，由于機構具有部分解耦的特性，P1和P3可驅動機構動平臺在局部位置進行靈活的姿態調整，使得機構在局部具有較大位置工作空間和姿態工作空間。

在圖5中可達工作空間求解結果的基礎上，進一步考慮構件間的干涉和局部約束條件(即θmin≤θ≤θmax，θ為P1與R7R8的夾角)，對α角的最大轉角進行測量，圖6為α角的示意圖。最終測量得α轉角值最大可達102°。

圖6 α角示意圖

4 機構位置分辨能力分析

驅動系統作為機器人的動力源，其各項參數直接關系到機器人的性能，其中，機器人定位性能與驅動系統分辨率密切相關。驅動系統分辨率(resolution of drive system，RDS)指各驅動器的單位位移或轉角，是機器人基礎配置的固有屬性。機構構型確定時，為獲得更好的定位性能及精度，通常使用高成本、高分辨率的電機，在一定程度上導致成本增加及資源浪費。因此，研究機構位置分辨能力對機構應用領域甄選與驅動系統參數優化配置具有明顯價值。實際應用中， RDS改變了機構動平臺位姿的連續性，機構關節空間向操作空間映射的結果往往偏離預定軌跡，故在精密機械加工過程中，需要對軌跡規劃提出更嚴格的要求。對于具有多分支耦合的并聯驅動機構而言，由于閉合運動鏈的耦合特性，機構理論軌跡的精確實現將更復雜且具有挑戰性。

對于五自由度并聯驅動機構驅動副中的移動副，本文通過滾珠絲杠的結構形式來實現。本文考慮的驅動系統參數包括滾珠絲杠的導程Ph(mm)和伺服電機編碼器的測量步距角r(°)，暫不考慮電子齒輪比和電機減速比。因此對于規劃軌跡的各點，驅動關節變量Δq=(Δβ1,ΔLP2,ΔLP4,ΔLP1,ΔLP3)有如下關系：

(42)

其中，Δq*(i)為考慮驅動系統參數后第i個驅動器的實際變化量；Δq(i)為任意兩個規劃軌跡點間第i個驅動器的理想變化量；[·]為向無窮大取整函數。

對于預定軌跡上的一點，設χI為機構理想的位姿，χ*為考慮驅動系統參數后的實際位姿，則定義全域位置敏感度系數指標κ為

(43)

式中，?為位置工作空間。

當機構以一定的姿態沿不同方向進給運動時，根據式(41)～式(43)可得不同工況下的位置敏感度系數指標圖譜，如圖7所示，可見RDS對機構位置有一定程度的影響。驅動系統參數一定的情況下，當機構的作業軌跡平行于Y軸時，RDS對機構的影響最小；當機構的作業軌跡平行于Z軸時次之。記K=μX+νZ(μ、ν≠0)；當機構的作業軌跡平行于K軸時，機構的位置分辨能力對初始姿態較為敏感。

(a)平行于Z軸軌跡位置敏感度系數

具體來說，當機構動平臺沿Z軸運動時，初始姿態α和β需要盡可能規避α=-25°、α=25°、β=-18°和β=18°；當機構動平臺沿Y軸運動時，初始姿態α和β需要盡可能規避α=0°、β∈(-18°，-12°)∪(-2°，2°)∪(12°，18°)，當機構動平臺沿K軸運動時，初始姿態α和β需要盡可能規避α=-25°～25°、β∈(-18°，-12°)∪(12°，18°)。

5 結論

(1)提出了一種具有三移動和二轉動的五自由度并聯驅動機構，分析了機構自由度及機構末端的運動特征，明確了機構末端的轉動特性和解耦特性。

(2)建立了機構的位置逆解模型、全雅可比矩陣和正運動學求解方法，并對理論模型進行了仿真驗證，理論與仿真的結果誤差非常小。

(3)定義了該機構的全域位置敏感度系數，闡明了特定工況下驅動系統分辨率對機構位置分辨能力的影響規律。