主應(yīng)力場(chǎng)驅(qū)動(dòng)的復(fù)雜薄壁件剛度增強(qiáng)方法

張偉南 戴 寧 郭 策 余 逸 龔 賽

南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京，210016

0 引言

飛機(jī)機(jī)艙和導(dǎo)彈艙段等大尺度薄壁件在保留較高的結(jié)構(gòu)完整性之外，還為機(jī)身和艙段內(nèi)放置的其他物體預(yù)留大量的空間，承載效率很高[1]，但薄壁件的大跨度和小厚度導(dǎo)致剛度減小。復(fù)雜工況下，井字形加強(qiáng)筋在復(fù)雜薄壁件中的加強(qiáng)效果還有進(jìn)一步優(yōu)化的空間，所以需要一種新的方法來(lái)增大艙段這種復(fù)雜薄壁件的剛度。

目前實(shí)現(xiàn)復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)剛度增強(qiáng)的方法主要有兩種：①使用高比剛度的材料，如鈦合金和一些復(fù)合增強(qiáng)材料；②通過(guò)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理分配材料，如拓?fù)鋬?yōu)化和近表面加筋法[2-3]，其中，拓?fù)鋬?yōu)化又包括變厚度法[4-5]、變密度法[6]及微結(jié)構(gòu)等效的均勻化方法[7]。

拓?fù)鋬?yōu)化作為一種使用廣泛的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，將剛度最大的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料的最優(yōu)分布問(wèn)題，但該方法在處理復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)的剛度增強(qiáng)問(wèn)題時(shí)依舊存在局限性，難以用于薄板和桿的組合傳力結(jié)構(gòu)等其他組合傳力結(jié)構(gòu)。

近表面加筋法是工程中輕質(zhì)高剛設(shè)計(jì)的一種方法，加強(qiáng)筋的布置主要依據(jù)工程師的經(jīng)驗(yàn)[3]，比較常見(jiàn)的有“井字形”和“米字形”，但缺乏相關(guān)理論依據(jù)。自然環(huán)境中的生物體經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的進(jìn)化過(guò)程，具有適應(yīng)惡劣環(huán)境的生物最優(yōu)結(jié)構(gòu)。通過(guò)前期調(diào)研，針對(duì)薄壁件剛度增強(qiáng)問(wèn)題，筆者選擇王蓮作為研究對(duì)象，借鑒王蓮葉片脈絡(luò)的分布規(guī)律，對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

ZHANG等[8]、LI等[9]利用生物分支現(xiàn)象對(duì)機(jī)座結(jié)構(gòu)壁板加強(qiáng)筋進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，提出一種提高比剛度的設(shè)計(jì)方法，但壁板很薄時(shí)，該方法對(duì)曲面形狀加筋的優(yōu)化效果不夠明顯。LI等[10]、KWOK等[11]提出基于主應(yīng)力線的拓?fù)湓鲩L(zhǎng)方法來(lái)解決材料最優(yōu)分布問(wèn)題，這種方法需要在初始結(jié)構(gòu)生成時(shí)輸入點(diǎn)載荷和約束的位置，對(duì)均布載荷的處理效果較差。WU等[12]受骨小梁?jiǎn)l(fā)，將基于主應(yīng)力線方法生成的骨狀多孔結(jié)構(gòu)作為輕質(zhì)填充料，通過(guò)增材制造的方法達(dá)到輕質(zhì)高剛的目的，但缺點(diǎn)是內(nèi)部空間被占用。LI等[2]提出一個(gè)基于主應(yīng)力線的計(jì)算框架來(lái)設(shè)計(jì)和優(yōu)化任意殼體上的肋板布局，提高了整體結(jié)構(gòu)剛度和力學(xué)性能，該方法主要從計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的角度出發(fā)，結(jié)構(gòu)剛度還有進(jìn)一步增強(qiáng)的空間。文獻(xiàn)[13-15]提出了沿主應(yīng)力線進(jìn)行增材制造的剛度增強(qiáng)方法，該方法涉及根據(jù)制造約束等因素對(duì)主應(yīng)力線進(jìn)行等效抽取的問(wèn)題。

本文從仿生角度出發(fā)，借鑒王蓮葉脈分布規(guī)律，提出等效主應(yīng)力線計(jì)算模型并求解出體現(xiàn)整體密度的主應(yīng)力線，沿等效主應(yīng)力線對(duì)復(fù)雜薄壁件近表面進(jìn)行加強(qiáng)筋的布局和優(yōu)化，從而減小結(jié)構(gòu)質(zhì)量、提高結(jié)構(gòu)剛度，有限元分析和物理試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 基于主應(yīng)力場(chǎng)的薄壁結(jié)構(gòu)剛度增強(qiáng)

1.1 技術(shù)路線

基于主應(yīng)力場(chǎng)的復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)剛度增強(qiáng)方法主要包含兩個(gè)過(guò)程：①近表面有效主應(yīng)力線生成；②加強(qiáng)筋優(yōu)化設(shè)計(jì)。如圖1所示，首先給定復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)，通過(guò)施加相應(yīng)的邊界條件生成主應(yīng)力場(chǎng)(圖1a)；之后，從應(yīng)力場(chǎng)中提取相應(yīng)的主應(yīng)力線族，對(duì)主應(yīng)力線族進(jìn)行聚類(lèi)操作，根據(jù)拓?fù)鋸埩坷碚摮槿〉刃е鲬?yīng)力線(圖1b)，同時(shí)，通過(guò)尺寸優(yōu)化來(lái)調(diào)節(jié)加強(qiáng)筋的尺寸；最后使用增材制造的方式打印高剛優(yōu)化模型(圖1c)，并進(jìn)行相關(guān)的物理測(cè)試。

(a)輸入復(fù)雜薄壁件邊界條件 (b)生成并抽取等效主應(yīng)力線 (c)優(yōu)化模型、金屬打印并進(jìn)行測(cè)試

1.2 高剛度結(jié)構(gòu)仿生理論研究

自然界中的生物體可生長(zhǎng)出適合惡劣環(huán)境的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。對(duì)于薄壁結(jié)構(gòu)的剛度增強(qiáng)問(wèn)題，通過(guò)前期調(diào)查[16]，筆者選擇王蓮為研究對(duì)象，通過(guò)觀察王蓮葉片底部的筋脈分布對(duì)王蓮進(jìn)行建模，施加自然界中常見(jiàn)的水壓和自身重力，在葉片中心的根部建立固定支撐，模擬王蓮葉片在自然界中的承載并進(jìn)行應(yīng)力場(chǎng)分析，如圖2所示。

(a)王蓮生物學(xué)模型

王蓮底部分布著縱橫交錯(cuò)的筋脈，靠近根部的筋脈更加粗壯，筋更高、壁更厚，模型環(huán)向的主應(yīng)力為拉應(yīng)力，如圖3所示，靠近根部的最大拉應(yīng)力約為葉面邊緣最大拉應(yīng)力的7倍。

圖3 王蓮應(yīng)力大小分布圖

王蓮環(huán)向的筋脈分布與主應(yīng)力場(chǎng)的環(huán)向拉應(yīng)力分布一致。王蓮的筋脈從中心向四周發(fā)散，沿所受載荷而產(chǎn)生的最大主應(yīng)力的軌跡分布，這與主應(yīng)力場(chǎng)的徑向壓應(yīng)力分布一致。筆者受此啟發(fā)，沿薄壁結(jié)構(gòu)近表面的最大主應(yīng)力方向進(jìn)行加強(qiáng)筋的布置，同時(shí)借鑒王蓮筋脈的生物特征，對(duì)加強(qiáng)筋的尺寸進(jìn)行優(yōu)化，增大結(jié)構(gòu)剛度。

1.3 主應(yīng)力線的計(jì)算

在對(duì)主應(yīng)力線進(jìn)行描述之前，先對(duì)應(yīng)力張量和應(yīng)力張量場(chǎng)進(jìn)行說(shuō)明。應(yīng)力張量為某點(diǎn)處的二階實(shí)對(duì)稱張量：

(1)

式中，σx、σy分別為X和Y方向的主應(yīng)力；τxy為平行于XY平面的切應(yīng)力。

將坐標(biāo)系統(tǒng)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ，則應(yīng)力張量σ變換成

(2)

(3)

其中，Q為旋轉(zhuǎn)矩陣；σ1、σ2為坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)過(guò)程中切應(yīng)力為0時(shí)的應(yīng)力張量σ的主應(yīng)力。

在待求解空間區(qū)域中，定義位置點(diǎn)與應(yīng)力張量關(guān)系的函數(shù),即應(yīng)力場(chǎng)函數(shù)為

(4)

要求解式(2)中的σ1和σ2，需要對(duì)相應(yīng)位置點(diǎn)處的應(yīng)力張量乘以旋轉(zhuǎn)矩陣Q，使求解空間區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的τxy(m,n)為0，即

(5)

式中，σ′(m,n)為經(jīng)過(guò)張量轉(zhuǎn)換之后的新的應(yīng)力張量；σ1(m,n)、σ2(m,n)分別為該點(diǎn)處的第一(最大)主應(yīng)力和第二(最小)主應(yīng)力。

復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)的剛度優(yōu)化是力流傳遞路徑的優(yōu)化，而主應(yīng)力線提供了施加載荷后的力流方向，使結(jié)構(gòu)受力路徑可視化，揭示了材料連續(xù)分布的最佳拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，所以沿主應(yīng)力線進(jìn)行加強(qiáng)筋的布置能增大結(jié)構(gòu)的剛度。為更好地將主應(yīng)力線應(yīng)用到結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，在長(zhǎng)40 mm、寬20 mm、厚1 mm的區(qū)域探究不同的種子點(diǎn)、載荷類(lèi)型、載荷位置和約束類(lèi)型對(duì)主應(yīng)力線的影響。

LI等[10]在對(duì)變形體的研究中發(fā)現(xiàn)種子點(diǎn)影響主應(yīng)力線的生成，選取的種子點(diǎn)不同，結(jié)構(gòu)主應(yīng)力線生成的稠密程度也不同，如圖4、圖5所示。

(a)種子點(diǎn) (b)主應(yīng)力線族

(a)種子點(diǎn) (b)主應(yīng)力線族

對(duì)模型添加不同的邊界條件，發(fā)現(xiàn)不同的加載方式和約束方式對(duì)主應(yīng)力線的生成影響很大。保持約束方式不變，將100 N的均布載荷變成模型上端中間位置的點(diǎn)載荷，生成的主應(yīng)力線分布如圖6所示；圖7所示為將底部的線約束變成點(diǎn)約束的主應(yīng)力線；圖8為改變約束位置主應(yīng)力線生成圖，其中，紅線為第一主應(yīng)力線，綠線為第二主應(yīng)力線，下同。

(a)頂部均布載荷 (b)頂部集中力載荷

(a)底部線約束 (b)底部點(diǎn)約束

(a)底部中右邊約束 (b)底部?jī)啥思s束

主應(yīng)力線生成方式的研究很多[17]。如圖9所示，本文首先給定復(fù)雜薄壁結(jié)構(gòu)，通過(guò)在結(jié)構(gòu)外側(cè)施加均布?xì)鈩?dòng)載荷和在底部固定線約束進(jìn)行有限元分析，沿結(jié)構(gòu)近表面的種子點(diǎn)生成主應(yīng)力場(chǎng)。然后獲取設(shè)計(jì)域內(nèi)生成主應(yīng)力場(chǎng)的應(yīng)力，根據(jù)應(yīng)力提取節(jié)點(diǎn)處應(yīng)力信息(應(yīng)力的方向和大小)并存儲(chǔ)。初始點(diǎn)P0處主應(yīng)力σ1的方向向量為v0，沿該向量方向延長(zhǎng)步長(zhǎng)Δ，得到節(jié)點(diǎn)P1處的應(yīng)力信息，重復(fù)獲得節(jié)點(diǎn)的步驟，直到到達(dá)設(shè)計(jì)邊界，經(jīng)過(guò)所有節(jié)點(diǎn)的光滑曲線就是最終的主應(yīng)力線[17]。

(a)節(jié)點(diǎn)處應(yīng)力信息 (b)主應(yīng)力線 (c)光滑曲線

節(jié)點(diǎn)之外的任意點(diǎn)處主應(yīng)力線的方向和大小的確定。本文采用線性插值的方式，繼續(xù)對(duì)設(shè)計(jì)域內(nèi)的剩余種子點(diǎn)進(jìn)行迭代處理，從種子點(diǎn)出發(fā)，生成若干主應(yīng)力線族，如圖10所示，圖中，載荷為結(jié)構(gòu)外側(cè)施加的均布?xì)鈩?dòng)載荷，約束為結(jié)構(gòu)底部施加的固定線約束。對(duì)圖10所示薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析時(shí)，選擇近表面的種子點(diǎn)生成主應(yīng)力場(chǎng)。

圖10 應(yīng)力場(chǎng)中提取主應(yīng)力線

1.4 等效主應(yīng)力線模型的抽取

由圖10可知，設(shè)計(jì)域內(nèi)沿種子點(diǎn)生成了大量的主應(yīng)力線，沿每根主應(yīng)力線布置加強(qiáng)筋顯然不現(xiàn)實(shí)，所以本文對(duì)主應(yīng)力線族進(jìn)行簡(jiǎn)化，獲得等效主應(yīng)力線計(jì)算模型[13]，如圖11所示。首先按照每根主應(yīng)力線的最大曲率對(duì)主應(yīng)力線族進(jìn)行聚類(lèi)；接著對(duì)每一類(lèi)主應(yīng)力線進(jìn)行迭代循環(huán)，保留Dmax≥ndk/mi的主應(yīng)力線，繼續(xù)進(jìn)行下一次迭代。其中，dk為相鄰兩條主應(yīng)力線之間最大曲率處的距離，mi為主應(yīng)力線數(shù)量，n為用來(lái)調(diào)控結(jié)構(gòu)表面加強(qiáng)筋的數(shù)量，由結(jié)構(gòu)整體質(zhì)量決定。本文除考慮制造約束外，還從拓?fù)鋸埩坷碚摮霭l(fā)，增加了“優(yōu)勢(shì)密集區(qū)域主應(yīng)力線”，兼顧了每個(gè)主應(yīng)力線族中主應(yīng)力線的數(shù)量。具體算法如下：

圖11 抽取出的有效主應(yīng)力線

(1)導(dǎo)入主應(yīng)力線族，計(jì)算第i根主應(yīng)力線輪廓的最大曲率ki,max，將ki,max±Δk(Δk為根據(jù)聚類(lèi)的族的數(shù)量設(shè)定的最大曲率的增減量)之間的主應(yīng)力線聚為一族，將每一族中曲線按曲率大小排列成曲線集C={C0，C1，…}，其中，Ci為第i根曲線，i=0，1，2，…。

(2)使用距離求解函數(shù)Dmax計(jì)算每一族邊界的相鄰兩條主應(yīng)力線之間最大曲率處的距離dk和主應(yīng)力線數(shù)量mi，求得該族主應(yīng)力線密度dk/mi。

(3)求每一族的起始主應(yīng)力線與下一條主應(yīng)力線之間的最大曲率處的距離，如果Dmax

1.5 高剛結(jié)構(gòu)近表面加筋優(yōu)化

從主應(yīng)力線族中抽取出等效主應(yīng)力線后，首先進(jìn)行曲線擬合，獲得較高質(zhì)量的線條，之后沿著擬合曲線在薄壁件內(nèi)表面進(jìn)行加強(qiáng)筋的布置，如圖12所示。

圖12 仿生高剛結(jié)構(gòu)參數(shù)化建模

本文采用Screening優(yōu)化算法建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。首先抽取對(duì)最大變形D有影響的殼體厚度T、加強(qiáng)筋寬度W和加強(qiáng)筋高度H，將T、W和H作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，添加初始值并設(shè)置取值區(qū)間，將結(jié)構(gòu)最大變形D的最小值作為優(yōu)化目標(biāo)。考慮到曲面曲率及實(shí)際工況，設(shè)置合理的變量取值范圍，求得各組候選迭代點(diǎn)的最大變形D并排序，選擇最大變形D較小的解。約束條件為結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力σ不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力σt和許用壓應(yīng)力σc。求得最優(yōu)解后，將尺寸用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，殼體厚度、加強(qiáng)筋寬度和加強(qiáng)筋高度對(duì)最大變形D的影響如圖13所示。

(a)加強(qiáng)筋高度與殼體厚度

圖13a所示為加強(qiáng)筋寬度不變時(shí)，加強(qiáng)筋高度和殼體厚度對(duì)最大變形的影響：殼體厚度對(duì)最大變形的影響較大，且對(duì)最大變形的影響呈負(fù)相關(guān)分布；加強(qiáng)筋高度對(duì)最大變形的影響較小。圖13b所示為殼體厚度不變時(shí)，加強(qiáng)筋高度和寬度對(duì)最大變形的影響規(guī)律：加強(qiáng)筋高度對(duì)最大變形的影響較小。圖13c所示為加強(qiáng)筋高度不變時(shí)，加強(qiáng)筋寬度和殼體厚度對(duì)最大變形的影響：加強(qiáng)筋寬度對(duì)最大變形的影響較小。由此可見(jiàn)，在求得最大變形D最小值的過(guò)程中，加強(qiáng)筋的寬度和高度與殼體厚度相互影響。對(duì)照組中，井字形結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為538 g，優(yōu)化方案1的質(zhì)量為422.2 g，優(yōu)化方案2的質(zhì)量為404.8 g；優(yōu)化方案3的結(jié)構(gòu)質(zhì)量為516.9 g，與對(duì)照組結(jié)構(gòu)質(zhì)量接近，變形量在優(yōu)化方案中最小，所以選擇第三組優(yōu)化方案數(shù)據(jù)為后續(xù)的結(jié)構(gòu)尺寸數(shù)據(jù)。三組最優(yōu)解如表1所示。

表1 優(yōu)化出的三組候選參數(shù)

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

2.1 薄壁結(jié)構(gòu)剛度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

綜合考慮剛度、材料及結(jié)構(gòu)質(zhì)量等因素，引入比剛度結(jié)構(gòu)效能δ來(lái)衡量剛度，δ越大，結(jié)構(gòu)剛度越高大。δ的計(jì)算式為[13]

δ=E/(Dm)

(6)

式中，E為材料的彈性模量；m為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

2.2 有限元分析

在有限元分析軟件中進(jìn)行仿真，設(shè)置材料的彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，密度為7.85 g/cm3。對(duì)照組使用井字形加強(qiáng)筋模型，實(shí)驗(yàn)組選擇沿主應(yīng)力線布置加強(qiáng)筋的主應(yīng)力線(principal stress line，PSL)模型和優(yōu)化尺寸后的模型。優(yōu)化組尺寸為寬度1.73 mm，高度2.46 mm，厚度1.97 mm。3個(gè)模型的質(zhì)量基本相同，使用同種材料，添加相同的邊界條件和載荷，劃分相同的網(wǎng)格，實(shí)驗(yàn)得到的參數(shù)指標(biāo)如表2所示。

表2 三組結(jié)構(gòu)尺寸

根據(jù)圖14～圖16所示的有限元分析結(jié)果得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表3所示，PSL模型的比剛度較井字模型大20%，優(yōu)化模型的比剛度較井字模型大40.9%；優(yōu)化模型的總應(yīng)變能[19]比另外兩種模型的總應(yīng)變能小，側(cè)面印證本文方法的可行性。

表3 各組模型實(shí)驗(yàn)參數(shù)

(a)應(yīng)變?cè)茍D (b)應(yīng)變能云圖

(a)應(yīng)變?cè)茍D (b)應(yīng)變能云圖

(a)應(yīng)變?cè)茍D (b)應(yīng)變能云圖

2.3 物理壓縮試驗(yàn)

對(duì)光固化技術(shù)打印的3種模型(圖17)進(jìn)行壓縮試驗(yàn)。工件外表面為異形結(jié)構(gòu)，很難通過(guò)機(jī)械壓的方式添加氣動(dòng)載荷；通過(guò)液壓或氣壓的方式添加均布載荷需要將工件上下封口，這種方式會(huì)改變異形結(jié)構(gòu)本身的特點(diǎn)，失去了研究的意義，

(a)井字形 (b)PSL型 (c)優(yōu)化型

所以我們使用等效的簡(jiǎn)化加載方式，如圖18所示。

(a)井字模型 (b)PSL模型 (c)優(yōu)化型模

對(duì)工件壓縮后的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，如圖19所示，井字模型在最大載荷800 N、位移8.5 mm時(shí)出現(xiàn)明顯的卸載，最大壓縮剛度[20]為94 N/mm；PSL模型在最大載荷870 N、位移7.7 mm時(shí)出現(xiàn)明顯卸載，最大壓縮剛度為112 N/mm；優(yōu)化模型在最大載荷910 N、位移7.6 mm時(shí)出現(xiàn)明顯卸載，最大承載能力為900 N，壓縮剛度為120 N/mm。

圖19 三種結(jié)構(gòu)的位移-載荷圖

優(yōu)化模型借鑒王蓮葉脈的分布規(guī)律，材料沿著結(jié)構(gòu)最大主應(yīng)力方向分布；井字模型材料主要靠經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行布置。由表4的數(shù)據(jù)可以看出，井字模型比剛度為174.72，優(yōu)化模型比剛度為232.56，優(yōu)化模型具有較大的比剛度；井字模型質(zhì)量為538 g，優(yōu)化模型質(zhì)量為516 g，這說(shuō)明優(yōu)化模型的近表面高剛仿生結(jié)構(gòu)對(duì)剛度提升效果明顯。物理試驗(yàn)結(jié)果與有限元分析結(jié)果基本相同，表明使用本文方法設(shè)計(jì)的高剛仿生模型對(duì)比剛度的提升效果明顯。

表4 各組模型的壓縮剛度

3 結(jié)論

(1)本文基于仿生理論，提出復(fù)雜薄壁件剛度的復(fù)增強(qiáng)技術(shù)，物理測(cè)試結(jié)果表明，采用該技術(shù)設(shè)計(jì)出的薄壁結(jié)構(gòu)比剛度較井字加強(qiáng)筋的薄壁結(jié)構(gòu)比剛度大33%。

(2)有效主應(yīng)力線計(jì)算模型考慮了拓?fù)鋸埩?、制造約束等因素，更符合結(jié)構(gòu)優(yōu)化常識(shí)。

(3)本文方法考慮結(jié)構(gòu)具體的使用環(huán)境，所得近表面加強(qiáng)筋的分布具有較好的剛度提升效果。