羅爾定理中輔助函數的構造法

張磊 于飛 呂佳佳 王輝

摘要：輔助函數的構造是應用羅爾定理證明方程問題的關鍵。通過微分與積分的互逆關系，將積分思想用于構造輔助函數，探究含中值的等式證明問題，并通過例題介紹湊微分法、還原法和分組法的適用情況。

關鍵詞：中值定理;輔助函數;等式證明

中圖分類號：O172? 文獻標識碼：A

一、緒論

微分中值定理建立了導數的局部性與函數整體性的聯系，有著非常重要的應用價值。羅爾定理雖是微分中值定理中最基礎的一個，但其應用最為廣泛，是處理微分中值定理的證明問題時最常見的方法。該類證明題的普遍難點在于輔助函數的構造，一旦確定了輔助函數，那么后續的證明步驟也就水到渠成了。可見，輔助函數的構造是求證微分中值問題的關鍵，也是方程問題考查的重難點。近日，石麗娜等引入了待定系數法[1]，張軍等[2]利用微分方程求通解的方法用于構造輔助函數。輔助函數的構造雖然千變萬化，但并非毫無規律可循。“特征結論變形”和“還原”是羅爾定理證明題涉及的兩種構造輔助函數的常用技巧，本文在常見輔助函數構造法的基礎上，借助逆向思維法，結合經典例題分類梳理輔助函數的構造方法。

羅爾定理[3]若函數f（x）滿足：①f（x）在閉區間a，b上連續;②f（x）在開區間a，b上可導;③f（a）=f（b）成立;則在開區間a，b內至少存在一點ξ，滿足f′（ξ）=0。

這里，我們稱ξ為中值，稱微分方程f′（ξ）=0為特征結論。此類證明通常以“至少存在一點ξ∈a，b，使h（ξ，f（ξ），f′（ξ），…，f（n）（ξ））=0成立”的形式出現。中值定理證明題的特征結論多種多樣，但都可以通過等價變換改寫成“h（ξ）=0”的形式，其中h（x）通常由x，f（x），f′（x）等經過四則運算構成。證明方法是，從結論中的等式出發，通過等價變換將其化簡，構造滿定理條件的函數φ（x），其中φ′（x）=h（x，f（x），f′（x），…，f（n）（x））。接下來我們探討常見輔助函數的構造方法。

二、湊微分法

觀察羅爾定理的條件③，如果能構造一個函數φ（x），使得φ′（x）=h（x），且φ（a）=φ（b），就可以由羅爾定理得出h（x）在開區間（a，b）內存在零點。由等式φ′（x）=h（x）解出φ（x），這是一個求原函數的過程，因此求不定積分可以作為構造輔助函數的一種方法。為了突出構造法的中“湊”巧妙，習慣上我們將這種方法稱為湊微分法。湊微分法構造輔助函數的要點在于“湊”，具體步驟如下：①將特征結論中的中值ξ改寫成x;②經移項、去分母等恒等變換，將特征結論整理為h（x）=0;③令φ′（x）=h（x），解微分方程得出函數φ（x）;④驗證φ（x）是否滿足羅爾定理條件，完成證明。

例2.1 設f（x），g（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，g（x）≠0，g″（x）≠0，且f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0。證明存在ξ∈（a，b），滿足f（ξ）g（ξ）=f″（ξ）g″（ξ）。

分析：由湊微分法，將特征結論f（ξ）g（ξ）=f″（ξ）g″（ξ）改寫為f（x）g（x）=f″（x）g″（x）;移項去分母整理得f（x）g″（x）-g（x）f″（x）=0;令φ′（x）=f（x）g″（x）-g（x）f″（x），等式右端積分得φ（x）=∫f（x）g″（x）-g（x）f″（x）dx，再由分部積分可得φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）+C，從而構造輔助函數φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）。

解：令φ（x）=f（x）g′（x）-f′（x）g（x）。顯然φ（x）在閉區間a，b上連續，開區間a，b上可導，且φ（a）=φ（b）。由羅爾定理，在a，b內至少存在一點ξ，滿足φ′（ξ）=0。又由于g（x）≠0，g″（x）≠0（a

例2.2 用湊微分法構造輔助函數，證明拉格朗日（Lagrange）中值定理[3]：

設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，則存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a。

分析：將特征結論f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a改寫為f′（x）-f（b）-f（a）b-a=0;去分母整理得f′（x）（b-a）-f（b）-f（a）=0;令φ′（x）=f′（x）（b-a）-f（b）-f（a），從而構造輔助函數φ（x）=f（x）（b-a）-f（b）-f（a）x。

解：令φ（x）=f（x）（b-a）-f（b）-f（a）x，顯然φ（x）在閉區間a，b上連續，開區間a，b上可導，且φ（a）=bf（a）-af（b）=φ（b）。

由羅爾定理，在a，b內至少存在一點ξ，滿足φ′（ξ）=0，即f′（ξ）（b-a）-f（b）-f（a）=0，亦即f′（ξ）=f（b）-f（a）b-a。

值得注意的是，拉格朗日中值定理作為微積分的經典定理，它的證明方法有很多。定理的幾何意義：設連續的曲線弧y=f（x）上除端點外處處有不垂直于x軸的切線，那么這條曲線弧上至少有一點（ξ，f（ξ）），曲線在點（ξ，f（ξ））的切線平行于端點AB連線，其中AB為曲線弧端點。同濟大學版《高等數學》從定理的幾何意義出發，通過切線與曲線距離在端點處相等這一思想，利用做差法構造出輔助函數F（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）b-a（x-a）。另外，2009年研究生入學考試數學卷中，解答題18題第1問也考查了拉格朗日中值定理的證明。證明方法主要有三種：做差法、湊微分法、行列式法。對比這些方法看出，湊微分法僅僅通過觀察特征結論就能得到輔助函數，使考試較大程度地提高答題效率和準確率，為后續題目爭取更多時間。湊微分法是構造輔助函數最基本的方法，需要學生熟練掌握。

三、還原法

由原函數存在性可知，初等函數未必存在原函數。因此湊微分法構造輔助函數存在一定的局限性。這里我們探究輔助函數的第二種構造法——還原法。

若特征結論為f′（ξ）+g（ξ）f（ξ）=0，用湊微分法構造輔助函數，步驟如下：①將結論中的ξ改寫成x，寫成f′（x）+g（x）f（x）=0;②將f′（x）+g（x）f（x）=0變換為f′（x）f（x）+g（x）=0;③還原為lnf（x）′+lne∫xag（t）dt′=0，即ln（f（x）e∫xag（t）dt）′=0;④由函數y=u（x）與z=lnu（x）同駐點，因此定義輔助函數φ（x）=f（x）e∫xag（t）dt;⑤驗證φ（x）是否滿足羅爾定理條件，完成證明。

例3.1 設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，且f（a）=f（b）=0。證明存在ξ∈（a，b），使得f′（ξ）-2f（ξ）=0。

分析：變換得f′（x）f（x）-2=0，還原得lnf（x）′+lne-2x′=0，即ln（f（x）e-2x）′=0;取φ（x）=e-2xf（x）。

解：令φ（x）=e-2xf（x）顯然φ（x）在閉區間a，b上連續，開區間a，b上可導，且φ（a）=φ（b）。由羅爾定理，在a，b內至少存在一點ξ，滿足φ′（ξ）=0，φ′（ξ）=e-2ξf′（ξ）-2f（ξ），因e-2ξ≠0，有f′（ξ）-2f（ξ）=0。

例3.2設f（x）在區間0，1上連續，在0，1內可導，且f（0）=f（1）=0，證明：存在ξ∈0，1，使得1-ξ2f′（ξ）-f（ξ）=0。

分析：變換得f′（x）f（x）-11-x2=0，還原得lnf（x）′+lne-arcsinx′=0，即ln（f（x）e-arcsinx）′=0;取φ（x）=e-arcsinxf（x）。

解：令φ（x）=e-arcsinxf（x），顯然φ（x）在閉區間0，1上連續，開區間0，1上可導，且φ（0）=φ（1）。由羅爾定理，在0，1內至少存在一點ξ，滿足φ′（ξ）=0，因φ′（ξ）=e-arcsinξf′（ξ）-11-ξ2，由e-arcsinξ≠0，必有f′（ξ）-11-ξ2=0，即1-ξ2f′（ξ）-f（ξ）=0。

四、分組法

當湊微分法和還原法無法構造輔助函數是，還可嘗試先將特征結論分組，再結合還原法構造輔助函數。

例4.1[4]觀察以下特征結論，結合還原法和分組法，構造輔助函數：

（1）f′（ξ）-f（ξ）+2ξ=2;

（2）f″（ξ）-f（ξ）=0;

（3）f″（ξ）+f′（ξ）=2。

解：（1）將特征結論f′（ξ）-f（ξ）+2ξ=2改寫為f′（x）-f（x）+2x=2;分組有f（x）-2x′-f（x）-2x=0，整理可得f（x）-2x′f（x）-2x-1=0;由還原法得ln（f（x）-2x）′+lne-x′=0。綜上，輔助函數φ（x）=e-x（f（x）-2x）。

（2）將特征結論f″（ξ）-f（ξ）=0改寫為f″（x）-f（x）=0;恒等變形得f″（x）-f′（x）+f′（x）-f（x）=0，分組為f′（x）-f（x）′+f′（x）-f（x）=0;由上文的還原法得ln（f′（x）-f（x）′+lnex′=0。綜上，輔助函數φ（x）=ex（f′（x）-f（x））。

（3）將f″（ξ）+f′（ξ）=2。改寫為f″（x）+f′（x）-2=0。;對f″（x）+f′（x）-2=0。分組為f′（x）-2′+f′（x）-2=0;用還原法得ln（f′（x）-2）′+lnex′=0，輔助函數φ（x）=ex（f（x）-2）。

五、小結

羅爾定理是微分中值定理中的基本定理，輔助函數的構造是微分中值問題的關鍵和難點。本文采用逆向思維法探究了羅爾定理輔助函數構造的三種常用方法，詳細介紹了輔助函數構造法中“特征結論變形”和“還原”的應用技巧，給出構造輔助函數的具體步驟，并通過算例的分析和證明呈現出逆向思維法構造輔助函數在求證微分中值問題的有效性和實用性。實際上，輔助函數法還可以用于后續課程中的微分方程求通解，教師在授課過程中應引導學生多觀察，勤思考，找準異同點，排除干擾，注重各類構造法的歸納整理，積極創造條件讓學生綜合運用基礎知識和基本技能有效解決做題中遇到的困難，提高學生的學生微積分的積極性和學習效率。本文適合作為初學高等數學的課堂同步輔導，高數期末復習以及考研第一輪復習時的參考資料。

參考文獻：

[1]石麗娜，邢麗麗.羅爾定理應用中輔助函數的兩種構造方法[J].高等數學研究，2019，22（3）：13-14

[2]張軍，倪鑫，閆絲雨，等.利用微分方程求解微分中值問題的逆向思維方法[J].高等數學研究，2019，99（3）：15-16

[3]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2015

[4]武忠祥.數學考研歷年真題分類解析[M].西安：西安交通大學出版社，2005

基金項目：遼寧省教育廳青年項目（L201730）;遼寧省科技廳博士啟動項目（201601173）

作者簡介：張磊（1986— ），女，博士研究生，講師，碩士生導師，研究方向：控制論、微積分。