基于改進智能水滴的正交匹配追蹤混合預編碼算法

劉紫燕，馬珊珊，白 鶴

（貴州大學大數(shù)據與信息工程學院，貴陽 550025）

（*通信作者電子郵箱leizy@sina.com）

0 引言

毫米波大規(guī)模多輸入多輸出（millimeter-Wave Massive Multi-Input Multi-Output，mmWave Massive MIMO）技術作為5G 的關鍵技術之一，由于系統(tǒng)具有高帶寬、大吞吐量、低能效等優(yōu)點而受到學者廣泛關注［1］。在傳統(tǒng)的大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中，每根天線通常都需要配置一根射頻鏈路（Radio Frequency Chain，RF Chain）從而實現(xiàn)全數(shù)字信號處理。但在大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)中天線數(shù)目的不斷增多，使射頻鏈路的能效呈爆炸式增長。為了降低系統(tǒng)硬件成本和能量消耗，混合預編碼方案應運而生［2］，其基本原理是將傳統(tǒng)的全數(shù)字預編碼器拆分為高維模擬預編碼器和低維數(shù)字預編碼器兩部分。模擬預編碼器和數(shù)字預編碼器分別通過模擬電路和射頻鏈路實現(xiàn)，可以有效提升天線陣列增益和消除用戶間干擾［3］。常用的混合預編碼方案主要有兩種：一是將每條射頻鏈路連接所有天線的全連接結構混合預編碼；二是將每條射頻鏈路只需連接一個天線子集的部分連接結構混合預編碼［4］。研究表明，全連接混合預編碼可以有效提高系統(tǒng)的頻譜效率，部分連接混合預編碼則能夠實現(xiàn)更高的能量效率［5］。

因此，為獲得近似最優(yōu)的系統(tǒng)性能，如何設計混合預編碼結構已經成為當前毫米波大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)研究的熱點問題。文獻［6］提出一種基于交替優(yōu)化和干擾對齊的低復雜度混合波束成型預編碼算法，通過優(yōu)化波束控制矢量提升了系統(tǒng)的可達和速率；文獻［7］針對能量效率優(yōu)化問題提出一種基于連續(xù)干擾消除的迭代混合預編碼算法，該算法假設數(shù)字預編碼矩陣采用對角矩陣結構，合理分配功率降低能效的同時犧牲了系統(tǒng)性能；文獻［8］將混合預編碼設計問題描述為稀疏信號的重構問題，并提出一種基于空間稀疏性的混合預編碼算法來重構稀疏信號；文獻［9］在假設獲得完全信道狀態(tài)信息（Channel State Information，CSI）的情況下，提出一種基于正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法的低復雜度混合預編碼，該方法可以有效提升系統(tǒng)空間復用增益，但是RF（Radio Frequency）預編碼矢量的選擇增加了系統(tǒng)復雜度；針對OMP 混合預編碼計算復雜的問題，文獻［10］中提出一種基于鳥群算法（Bird Swarm Algorithm，BSA）的OMP 的混合預編碼方案，該方案利用BSA 的快速搜索全局最優(yōu)值的特點直接搜索RF預編碼矩陣，同時利用分塊矩陣廣義逆進行高低維度矩陣轉換避免矩陣求逆，降低了系統(tǒng)誤碼率和復雜度。以上方法均包含一個假設條件，即系統(tǒng)可以獲得完全信道狀態(tài)信息。基于此，在基于非完全信道狀態(tài)信息的情況下，本文提出一種基于改進智能水滴（Intelligent Water Drop，IWD）的正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit based on improved Intelligent Water Drop，IWD-OMP）混合預編碼算法。

1 毫米波大規(guī)模多輸入多輸出系統(tǒng)模型

搭建一個單用戶毫米波大規(guī)模多輸入多輸出下行鏈路系統(tǒng)模型，假設該模型工作在頻分雙工（Frequency Division Duplexing，F(xiàn)DD）模式［11］下，其中基站端配備Nt根發(fā)射天線和條RF 鏈路，接收端配備Nr根接收天線和條RF 鏈路，假設發(fā)送端向接收端發(fā)送Ns條數(shù)據流，其中Ns≤≤Nt，Ns≤≤Nr。混合預編碼系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 混合預編碼系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of hybrid precoding system

其中：s為Ns×1維的發(fā)送信號數(shù)據流矢量，且滿足E(ssH)=。模擬預編碼器滿足條件表示RF 模擬預編碼矩陣的主對角線元素。假設接收端的用戶均為單天線用戶且滿足等功率分配條件，則預編碼矩陣需滿足

由于毫米波信道散射簇數(shù)目少，散射能力有限，不適用于傳統(tǒng)的瑞利衰落信道模型，因此，采用基于擴展的Saleh-Valenzuela 窄帶群簇信道模型對毫米波大規(guī)模多輸入多輸出信道進行建模［12］。窄帶平坦衰落信道矩陣H可以用Ncl個散射簇分布表示，每個散射簇包含Nray條傳播路徑，即：

其中：αi，l表示第i個散射簇中的第l條傳播路徑的增益因子，服從均值為0、方差為的復高斯分布。為了確保等式=NtNr成立，需滿足條件=γ，條件中的γ為標準化因子。和分別表示收發(fā)兩端天線陣列的響應矢量分別表示第i個散射簇第l條傳播路徑的天線陣列中方位角的到達角（Angle of Arrival，AOA）和離開角（Angle of Departure，AOD）。當收發(fā)兩端天線陣列采用均勻線性陣列（Uniform Linear Array，ULA），且天線間距為半波長時，陣列的響應矢量可以表示為：

式（3）中：λ表示載波的波長，d表示天線元素間距。當天線陣列采用均勻平面陣列（Uniform Planar Array，UPA）時，可以根據文獻［13］推導出相對應的陣列響應矢量。

發(fā)送信號經信道傳輸?shù)竭_接收端后，依次通過模擬射頻組合器WRF和數(shù)字基帶組合器WBB處理，下行鏈路接收信號y可以表示為：

其中：y∈為用戶獲得的總接收信號，ρ為系統(tǒng)接收功率，為服從均值為0、方差為的加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）。同模擬預編碼器FRF類似，模擬射頻組合器WRF需滿足條件假設系統(tǒng)收發(fā)兩端可以獲得完全信道狀態(tài)信息，且傳輸數(shù)據流滿足等功率分配條件，其系統(tǒng)頻譜可以表示為：

其中：P表示系統(tǒng)發(fā)射功率，Rn=表示組合噪聲的協(xié)方差矩陣，G=表示等效處理矩陣。假設接收端可以完全解碼，根據頻譜效率最大化原則，將混合預編碼問題等效為如下優(yōu)化問題：

式（6）中：φRF表示RF 預編碼矩陣的可行解集合，其中的所有元素均滿足恒模約束條件。由于FRF∈φRF是非凸約束條件，因此難以獲得式（6）的通用解。文獻［14］證明頻譜效率的最大值近似等價于混合預編碼矩陣和全數(shù)字預編碼矩陣的最小歐氏距離，因此，對于混合預編碼設計問題可以進一步描述為：

其中Fopt表示最優(yōu)無約束全數(shù)字預編碼器，由對應于信道矩陣H的右奇異矩陣的前Ns列奇異向量組成。式（7）表明可以通過尋找最優(yōu)預編碼矩陣Fopt在混合預編碼矩陣FRFFBB上的最大投影來設計混合預編碼。然而由于非凸約束條件FRF∈φRF的限制，導致在算法求解過程中尋找全局最優(yōu)變量十分困難。

2 基于IWD-OMP的混合預編碼算法

2.1 基于OMP的混合預編碼

文獻［15］表明陣列天線響應矢量具有的相位恒定和幅度恒定特性與式（7）中的恒模約束條件一致，因此可以利用陣列天線響應矢量的線性組合求解RF 預編碼矩陣，將式（7）等效為：

式（8）將混合預編碼設計問題轉換為從陣列天線響應矢量at中求解最優(yōu)向量作為模擬預編碼矩陣FRF，將模擬預編碼矩陣FRF的約束條件嵌入優(yōu)化目標，尋找數(shù)字預編碼矩陣FBB的最佳低維表示，可以得到以下優(yōu)化問題：

其中At為陣列天線響應矢量的集合。當Ns≥1時，式（9）為稀疏信號重構問題。OMP 算法在信號重構時具有速度快、精確高等優(yōu)點，因此在混合預編碼優(yōu)化設計中采用基于OMP的優(yōu)化算法，其偽代碼程序如下：

OMP混合預編碼算法偽代碼程序如下：

輸出 模擬預編碼矩陣FRF和數(shù)字預編碼矩陣FBB

其中k是通過不斷搜索生成內積計算中最大值對應的索引值，是不停更新迭代的，在此不再設置下標。由偽代碼可知，基于OMP 混合預編碼算法分為兩步實現(xiàn)：首先通過迭代和最小二乘法求得近似最優(yōu)模擬預編碼矩陣；然后對信道矩陣進行奇異值分解求得近似最優(yōu)的數(shù)字預編碼矩陣FBB。該算法最重要的步驟是求解最大投影來更新模擬預編碼矩陣FRF。模擬預編碼矩陣FRF需滿足恒模約束條件和發(fā)射功率約束條件，求解難度較大，矩陣維度會隨著向量數(shù)量的增加而增加，高維度矩陣求逆操作計算復雜，且會造成一定程度的功率消耗。除此之外，在構造候選矩陣時需要使用精度較高的信道估計算法從而獲得天線陣列中方位角的到達角和離開角，不同的信道估計算法對預編碼算法的性能影響較大，且提前構造候選矩陣不僅浪費系統(tǒng)資源，更容易引起系統(tǒng)延時。由此可見，基于OMP 的混合預編碼算法雖然可以有效減少射頻鏈路數(shù)量、降低系統(tǒng)復雜度，但是資源消耗過大。針對以上問題，本文提出一種基于改進IWD的OMP混合預編碼算法。

2.2 基于改進IWD的OMP混合預編碼

Hamed-Shah-Hosseini 于2007 年模擬自然水滴流動所提出智能水滴算法［16］，它通過模擬現(xiàn)實生活中水流形成河道的過程，依次迭代獲得最優(yōu)解。其基本原理是當水滴遇到距離差異不同的多條路徑時，將以較大概率選擇攜帶泥土量較少的一條路徑通過。缺點主要在于初期求解速度慢，迭代結果依賴初始值，容易陷入局部最優(yōu)且出現(xiàn)大量無效搜索。為了解決上述問題，在智能水滴算法中引入變異機制，對尋找的路徑以一定概率進行交叉變異操作。由于全局算法是典型的概率算法，容易早熟收斂，局部尋優(yōu)能力差，將局部搜索和變異操作同時混合到OMP 算法中，通過適當?shù)恼{節(jié)，發(fā)揮各自的優(yōu)點，提高算法的開發(fā)能力，增加變異操作防止算法早熟，可以共同提高OMP 算法的全局尋優(yōu)能力，獲得全局最優(yōu)結果且能實現(xiàn)快速收斂。

通過2.1 節(jié)分析可知，想要獲得最優(yōu)模擬預編碼矩陣FRF，必須從候選矩陣A*t中選擇與殘差矩陣Fres內積相乘最大索引向量，即求其全局最優(yōu)索引向量k。需提前構造候選矩陣FRF是傳統(tǒng)OMP混合預編碼算法的前提，算法實現(xiàn)復雜，系統(tǒng)開銷過大。因此，本節(jié)引入智能水滴（Intelligent Water Drop，IWD）算法對OMP 混合預編碼算法進行改進，通過智能水滴算法求解最優(yōu)索引向量k，不需提前構造候選矩陣。

將目標函數(shù)最優(yōu)索引向量k=變?yōu)橐韵卤磉_式：

其中φ=AHFres為候選矩陣與殘差矩陣的內積，A=為當收發(fā)兩端天線陣列采用均勻線性陣列時的天線陣列響應矢量。

改進智能水滴算法求解最優(yōu)索引向量k的偽代碼程序如下：

輸入 智能水滴k和泥土量α

2.3 復雜度分析

根據文獻［17］OMP 混合預編碼算法偽代碼可知，復雜度為OOMP根據2.2 節(jié)改進后IWDOMP 算法復雜度偽代碼可知，計算內積φ需要L×Nt的和Nt× 1 的Fres相乘，復雜度為O(L×Nt)。計算最優(yōu)索引向量k需要L× 1 的φ和L× 1 的φ*相乘，復雜度為O(L2)，計算FRF的復雜度為計算FBB的復雜度為計算Fres的復雜度為則改進IWD 的OMP 混合預編碼IWDOMP 的復雜度為Nt)。由復雜度表達式可知，相較于OMP 混合預編碼算法，計算復雜度降低。

3 仿真結果及分析

為驗證本文所提算法的有效性，根據式（5）將基于改進IWD 的OMP 混合預編碼算法與全數(shù)字預編碼、OMP 混合預編碼兩種算法進行系統(tǒng)可達和速率和誤碼率性能的對比。

搭建毫米波大規(guī)模多輸入多輸出下行鏈路系統(tǒng)模型，假設基站端發(fā)送天線Nt的值分別設置為128 和64，用戶端接收天線Nr的值為16，使用4 條RF 鏈路，配置方式為均勻線性陣列，相鄰兩根天線之間的距離為λ。假設信道模型采用基于擴展的Saleh-Valenzuela 窄帶群簇信道模型；每次數(shù)據傳輸2條數(shù)據流；每個傳播路徑的發(fā)送和到達角均服從拉普拉斯分布［18］，每個用戶對應的擴展角為5°；迭代次數(shù)設置為100 次。為凸顯算法性能差異，信噪比取值范圍為0～28 dB，以4 dB 為單位間隔，發(fā)送信號采用16QAM 調制方式。仿真參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 System simulation parameters

圖2和圖3分別表示發(fā)送端配置不同數(shù)量的天線情況下，所提預編碼算法同其他兩種預編碼算法在系統(tǒng)可達和速率性能上的比較。從圖2 中曲線可以看出，改進IWD-OMP 混合預編碼算法在信噪比為0～16 dB 時，同OMP 混合預編碼算法在系統(tǒng)可達和速率性能上相差不大；當信噪比取值12 dB 時，改進IWD-OMP 混合預編碼算法相較于OMP 混合預編碼算法，系統(tǒng)可達和速率提升約3.98%。

圖2 Nt=64時系統(tǒng)可達和速率性能比較Fig.2 Comparison of system achievable sum rate performance with Nt=64

圖3 Nt=128時系統(tǒng)可達和速率性能比較Fig.3 Comparison of system achievable sum rate performance with Nt=128

當信噪比為16～28 dB 時，改進IWD-OMP 混合預編碼性能曲線略低于OMP 混合預編碼算法曲線，這是因為在發(fā)送端天線數(shù)量較少時，改進IWD-OMP 混合預編碼算法通過IWD算法迭代求解最優(yōu)索引向量，隨迭代次數(shù)的增加影響了系統(tǒng)性能。當信噪比為28 dB 時，相較于全數(shù)字預編碼算法，OMP混合預編碼算法系統(tǒng)可達和速率降低約6.76%；改進IWDOMP混合預編碼算法系統(tǒng)可達和速率降低約12.83%。

隨著發(fā)送端天線數(shù)的增加，改進IWD-OMP混合預編碼系統(tǒng)可達和速率性能明顯提升。從圖3 中可以看出，圓圈曲線所代表的OMP 混合預編碼算法系統(tǒng)可達和速率性能明顯低于圖中實線和虛線曲線所代表的改進IWD-OMP 混合預編碼及全數(shù)字預編碼。當發(fā)送端天線數(shù)為128，信噪比為28 dB時，相較于全數(shù)字混合預編碼，改進IWD-OMP 混合預編碼系統(tǒng)可達和速率降低約8.15%；相較于傳統(tǒng)OMP 混合預編碼，其系統(tǒng)可達和速率提高約7.71%。

圖4 為不同天線數(shù)下改進IWD-OMP 混合預編碼算法的系統(tǒng)可達和速率差異對比。當發(fā)送端天線數(shù)目增加一倍時，本文所提算法可達和速率隨著信噪比的升高而增加。當信噪比取值為28 dB 時，以發(fā)送端配置64 根天線時所提算法的系統(tǒng)可達和速率為基準數(shù)據，發(fā)送端天線數(shù)增加一倍時，其可達和速率性能提升約45.48%。根據可達和速率相關公式可以證明，當收發(fā)兩端天線數(shù)成倍增加時，其系統(tǒng)性能可成倍提升；當收發(fā)兩端中一端天線數(shù)成倍增加時，其系統(tǒng)性能可提升50%。值得一提的是，隨著天線數(shù)的增多，矩陣計算復雜導致系統(tǒng)開銷過大，影響系統(tǒng)性能無法達到理論預期值。實驗結果與理論分析一致，由此可見本文所提出的基于改進IWDOMP混合預編碼算法在天線數(shù)增多時仍能保持良好性能。

圖4 改進IWD-OMP混合預編碼算法在不同天線數(shù)下系統(tǒng)可達和速率性能比較Fig.4 Comparison of system achievable sum rate performance of the improved IWD-OMP hybrid precoding algorithm under different antenna numbers

圖5 顯示了當發(fā)送天線時本文所提預編碼算法同其他兩種預編碼算法在系統(tǒng)誤碼率性能上的比較。改進IWD-OMP算法通過在OMP算法基礎上引入改進的IWD 算法，可以快速獲得全局最優(yōu)結果且實現(xiàn)快速收斂。從信噪比為24 dB 開始，本文所提改進IWD-OMP 算法已經開始逐步收斂，其收斂速度明顯高于OMP混合預編碼。

圖5 系統(tǒng)誤碼率性能比較Fig.5 System bit error rate performance comparison

從圖5 中可以看出，方框曲線所代表的改進IWD-OMP 混合預編碼算法誤碼率性能曲線一直低于圓圈曲線所代表的OMP 混合預編碼算法誤碼率，即較OMP 混合預編碼算法，本文所提的改進IWD-OMP 混合預編碼算法誤碼率更低。當信噪比為8 dB 時，相較于OMP 混合預編碼算法，本文所提預編碼誤碼率降低約19.77%；相較于全數(shù)字預編碼，本文所提預編碼誤碼率提高約11.36%。

在實際毫米波通信場景中，由于信道矩陣的高維特性，很難直接獲得完全信道狀態(tài)信息。因此，在非完美信道狀態(tài)信息條件下評估本文所提出的改進IWD-OMP 混合預編碼算法的性能是至關重要的。如圖6 所示為采用兩種常見算法對系統(tǒng)進行信道估計的標準化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）曲線。從圖中可以看出，虛線曲線一直位于實線曲線之下，即OMP 信道估計算法的均方誤差明顯低于傳統(tǒng)最小二乘（Least Square，LS）估計算法。當信噪比取值為28 dB時，相較于LS信道估計算法，OMP信道估計算法的均方誤差降低約39.72%。這是由于OMP 算法充分考慮了毫米波系統(tǒng)具有的稀疏特性，利用壓縮感知的思想對稀疏信號進行重構，重構成功率大。因此，本文選取估計效果較好的OMP信道估計算法對毫米波系統(tǒng)進行信道估計，在非理想CSI 情況下對改進預編碼算法進行系統(tǒng)性能仿真。

圖6 不同信道估計算法的標準化均方誤差比較Fig.6 Comparison of normalized mean square error between different channel estimation algorithms

圖7 為當發(fā)送天線時本文所提預編碼算法在不同CSI 狀態(tài)下的系統(tǒng)可達和速率性能比較。由圖7 可以看出，對兩種混合預編碼算法而言，其在完全信道狀態(tài)信息情況下系統(tǒng)可達和速率明顯高于非完全CSI 情況。對OMP 混合預編碼而言，當信噪比取值為28 dB 時，相較于完全信道狀態(tài)信息，其可達和速率性能降低約9.65%。對本文所提出的改進IWDOMP 混合預編碼而言，當信噪比取值為0 dB 時，相較于完全信道狀態(tài)信息，其可達和速率性能降低約0.05%；當信噪比取值為28 dB時，其可達和速率性能降低約1.08%。實驗結果表明本文所提預編碼算法對實際信道環(huán)境中非完全信道狀態(tài)信息具有魯棒性。

圖7 不同CSI情況下預編碼算法的性能比較Fig.7 Performance comparison ofprecoding algorithms under different CSI conditions

4 結語

本文針對OMP 混合預編碼算法實現(xiàn)復雜系統(tǒng)開銷過大的問題，運用改進智能水滴算法求解全局最優(yōu)索引向量。該算法有效解決OMP 混合預編碼算法需提前構造候選矩陣的問題，節(jié)約系統(tǒng)資源。理論分析和仿真表明，本文所提改進IWD-OMP 混合預編碼算法可以高效精確求解最優(yōu)索引向量，同全數(shù)字預編碼、OMP 混合預編碼兩種算法相比具有更好的系統(tǒng)性能，可提升系統(tǒng)可達和速率并降低系統(tǒng)誤碼率。此外，本文采用OMP信道估計算法模擬實際通信場景中部分CSI情況，仿真結果表明本文所提預編碼算法對信道估計誤差具有魯棒性。