雙正弦激勵下懸架系統的混沌特性分析

張黎

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

汽車懸架系統作為車身、車架和車輪之間的連接結構，在汽車行駛時會因地面的變化而受到振動及沖擊，這些沖擊的力量其中一部份會由輪胎吸收，但絕大部分是依靠輪胎與車身間的懸架裝置來吸收的。如今，國內外學者轉向非線性動力系統混沌現象的研究[1-2]。對于汽車懸架這樣復雜的非線性系統，其非線性因素在一定激勵、載荷及頻域下會出現很大變化。由于非線性系統的多值性等，造成該系統容易產生混沌等復雜的非線性動力學行為。研究汽車懸架這類復雜的非線性系統，并進行建模仿真，分析其非線性動力學行為可能出現的混沌現象，可為懸架系統的設計及結構優化提供重要的理論基礎。

近些年，越來越多的學者關注汽車非線性懸架系統混沌特性的研究。如文獻[3-6]在單頻正弦激勵下，通過變化的激勵幅值、頻率及懸架性能參數研究懸架系統的混沌運動；文獻[7-9]在雙頻激勵下研究汽車懸架系統的混沌運動，并采用追蹤控制或小波函數控制等方法將該懸架系統的混沌運動控制在周期范圍內；文獻[10-12]在不同的路面不平度激勵幅值及頻率作用下，汽車單自由度懸架系統的隨機響應，計算混沌參數研究懸架系統的混沌運動。

本文以路面雙頻擬周期為激勵，建立非線性的單自由度汽車懸架模型，通過數值仿真計算，得到汽車懸架振動的時間歷程曲線、功率譜密度圖形和Poincaré 截面，從理論上給出了懸架振動發生混沌的可能性。同時，通過動態K&C 試驗平臺進行整車試驗，獲取汽車輪心處的振動曲線，并計算最大 Lyapunov 指數等混沌參數，從而驗證汽車懸架系統具有混沌特性。

1 汽車懸架的力學模型和運動微分方程

1.1 懸架系統力學模型

本文僅從汽車懸架系統平順性方面研究。假設汽車關于軸線左右對稱，將汽車簡化為單自由度1/4 懸架模型，忽略輪胎的彈性和質量，如圖1 所示。圖中M——車身質量，x0——路面激勵，x——車身位移，F——非線性阻尼力，k1——車體剛度系數。

圖1 單自由度1/4 懸架模型Fig.1 Single-degree-of-freedom 1/4 suspension model

給定雙頻逆周期路面激勵，由牛頓定律得到系統的運動微分方程：

令y=x-x0；路面激勵為雙頻正弦激勵x0=A1sinφ1τ+A2sinφ2τ；φ1，φ2不可有理通約；非線性阻尼力其中，k2——非線性剛度系數，c1——線性阻尼系數，c2——非線性阻尼系數。

則式（1）為：

1.2 懸架系統仿真模型

MATLAB 提供的Similink 工具箱可對動態系統進行建模、仿真和分析。根據上述非線性微分方程，建立如圖2 所示的單自由度非線性懸架系統仿真框圖。

圖2 單自由度非線性懸架系統的仿真框圖Fig.2 Simulation block diagram of single-degree-offreedom nonlinear suspension system

綜合以下幾個方面，判斷該單自由度1/4 懸架系統是否出現混沌運動：（1）系統的時域響應，觀察系統響應對初值的敏感程度；（2）系統的相軌跡，通過計算，觀察系統相圖構成；（3）對于Poincaré 截面，通過觀察該截面圖中相點的情況判斷是否發生混沌。當截面圖中出現少數的離散點或形成閉合圓環時，則系統運動是周期或擬周期的；若截面圖中由一片無規則的密集點構成，則系統運動可能是混沌運動；（4）對于系統的功率譜，若譜線是連續的，則懸架系統可能出現混沌運動；（5）李雅普諾夫指數（Lyapunov）。計算系統響應數據的Lyapunov 值是否大于0，若值為正，說明無論距離多近的不同初始軌跡線，在經過一段時間演化后，會出現無法預測的差別，即混沌現象。

2 懸架系統的數值仿真及數據處理

2.1 懸架系統參數及仿真設置

設懸架系統參數M=300 kg，k1=160 000 N/m3，k2=180 000 N/m3，c1=250 N·s/m，c2=-25 N·s3/m3，φ1=7.8 rad/s，φ2=20+10rad/s，選取初始條件為y（0）=-0.001，y（0）=0，時間步長取0.015 s，激勵幅值A1=A2分別取0.010，0.020，0.0250，0.030，0.032，用4 階定步長Runge-Kutta 法對式（2）進行數值積分。

2.2 懸架仿真數據處理

分別計算出不同幅值激勵下系統的時域響應、相軌跡、Poincaré 截面圖、功率譜，如圖3—圖7 所示。

圖3 激勵幅值A1=A2=0.01 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.3 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.01 m

圖4 激勵幅值A1=A2=0.02 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.4 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.02 m

圖5 激勵幅值A1=A2=0.025 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.5 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.025 m

圖6 激勵幅值A1=A2=0.03 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.6 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.03 m

圖7 激勵幅值A1=A2=0.032 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.7 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.032 m

通過計算最大Lyapunov 指數得到表1。

表1 不同激勵幅值下最大 Lyapunov 指數值Tab.1 The maximum Lyapunov exponent value under different excitation amplitudes

根據各激勵幅值下的Poincaré 截面、功率譜及最大Lyapunov 指數值，有以下分析：當激勵幅值A1=A2=0.01 時，Poincaré截面整體為一種閉合環，功率譜是離散的頻率譜線構成，最大Lyapunov 值為負，則系統作周期運動；當激勵幅值A1=A2=0.02 時，Poincaré 截面整體為一種閉合環，功率譜是離散的頻率譜線構成，最大Lyapunov 值為0，則系統作擬周期運動；當激勵幅值A1=A2=0.025 時，Poincaré 截面整體為一種閉合環，功率譜是多個離散的頻率譜線構成，最大Lyapunov 值基本為0，則系統作擬周期運動；當激勵幅值A1=A2=0.03 時，Poincaré 截面閉合環

開始破裂，功率譜中的頻率譜線開始呈連續分布，最大Lyapunov 值為正，則系統開始作混沌運動；當激勵幅值A1=A2=0.032 時，Poincaré 截面閉合環完全破裂由無限多個離散點構成，功率譜中的頻率譜線呈連續分布，最大Lyapunov 值為正，則系統作混沌運動。

3 整車試驗

對懸架進行試驗時采用整車試驗方法，如圖8 所示。車身固定地面，前軸放置動態K&C 試驗臺架上，通過控制平臺給整車輸入雙頻激勵，由于動態K&C試驗臺架激勵頻率與幅值的限制，需降低懸架仿真試驗時的激勵幅值，獲取不同幅值下輪心垂向位移的時域響應等振動曲線。

圖8 整車試驗安裝Fig.8 Test installation of the whole vehicle

對實測的整車懸架振動曲線，將該曲線時間序列數據進行離散處理，然后進行相空間重構獲得延遲時間及最小嵌入維數，最后通過小數據法計算求得最大Lyapunov 值。

3.1 實車振動激勵數據處理

對實車振動試驗數據進行分析處理，得圖9—圖11。

圖9 激勵幅值0.01 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.9 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.01 m

圖10 激勵幅值0.025 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.10 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.025 m

圖11 激勵幅值0.028 m 時系統各參數曲線和圖譜Fig.11 Curves and graphs of system parameters when excitation amplitude A1=A2=0.028 m

計算實車試驗數據的最大Lyapunov 指數得到表2。

表2 不同激勵幅值下最大 Lyapunov 指數值Tab.2 The maximum Lyapunov exponent value under different excitation amplitudes

由上述整車試驗數據分析知，隨著激勵幅值不斷增加，Poincaré 截面由少數的點構成的圓環逐漸成為充滿相空間的一部分，結合最大Lyapunov 指數由（λ=-0.002 136 7<0），變成（λ=0.016 6>0），可判斷懸架系統的運動由周期運動轉變為混沌運動。

4 結語

本文采用數值分析法，對單自由度1/4 非線性懸架模型在雙頻擬周期激勵下進行混沌特性研究法分析，通過求解非線性懸架模型，分析其時域響應、相位圖、Poincaré 截面、功率譜及計算最大Lyapunov 值確定該非線性懸架系統有進入混沌運動狀態的可能，大致確定懸架系統進入混沌狀態的激勵幅值，并在動態K&C 試驗臺架進行整車懸架系統的振動試驗，驗證了實車懸架系統極可能從周期運動進入到混沌運動狀態，為汽車懸架系統的設計及改進提供了依據。