多自由度非線性懸架系統混沌特性

葉宇翔，張翔

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

懸架系統作為緩沖和吸收振動的主要構件，其性能的好壞會嚴重影響到汽車的平順性[1]。懸架系統具有較強的非線性，汽車懸架的非線性因素一般集中在懸架彈簧、阻尼及輪胎上[2]，而非線性因素在特定的激勵幅值和激勵頻率下會產生巨大的變化，進而對非線性系統運動學特征產生較大的影響。Wu[3]等建立了包括駕駛員模型在內的整車八自由度模型，在正弦路面激勵下，通過分析非線性系統的龐加萊（Poincaré）截面和最大Lyapunov 指數，證明非線性系統存在混沌現象。

本文推導出整車七自由度動力學微分方程，考慮懸架彈簧、阻尼的非線性，利用MATLAB/Simulink 建立仿真模型，在正弦路面激勵下，用4 階Runge-Kutta 法對整車模型進行仿真分析[5]。通過分析龐加萊（Poincaré）截面和Lyapunov指數，發現懸架系統的運動狀態隨著路面的變化，在周期狀態、倍周期狀態和混沌狀態之間多次變遷。

1 整車非線性系統搭建

如圖1 所示，模型考慮了車身的垂向振動、俯仰、側傾3 個自由度，4 個車輪垂向的4 個自由度[4]，建立整車七自由度數學模型。

圖1 七自由度整車模型Fig.1 7-DOF vehicle model

1.1 非線性懸架系統搭建

懸架系統的非線性彈簧力和阻尼力表示為

式中：ki1，ki2，ki3——懸架系統剛度系數；——懸架系統阻尼系數；——懸架拉伸行程阻尼系數；——懸架壓縮行程阻尼系數；ΔZsi——懸架系統的動行程；——動行程變化的相對速度。

式中：df——前輪輪距的一半；dr——后輪輪距的一半；l1——前軸至車輛質心的距離；l2——后軸至車輛質心的距離；Zb——車身的垂向位移；θ——車身俯仰角；φ——車身側傾角。

將車輪進行線性化處理，作用在車輪上的地面反作用力為

式中：kti——車輪剛度；qi——車輪接地面的垂向位移。Zti——輪心處的垂向位移。

1.2 汽車整車數學模型

根據牛頓運動定律，建立整車運動學方程：

式中：mb——車身質量；m1——左前輪質量；m2——左后輪質量；m3——右前輪質量；m4——右后輪質量；Iθ——車身俯仰轉動慣量；Iφ——車身側傾轉動慣量。

1.3 路面激勵

采用正弦路面激勵，只考慮前后車輪的相角延遲，不考慮路面激勵幅值的影響，公式如下：

式中：A——路面激勵幅值；f ——路面激勵頻率；α——前后輪激勵相角延遲。

2 系統的仿真模型

2.1 車輛在垂向激勵下的混沌分析

在不同路面激勵頻率下，非線性因素會產生巨大的變化，因而影響車身垂向位移和車輪垂向位移。激勵振幅為0.005 m，激勵頻率1～20 Hz，采用龍格庫塔法對模型進行求解[6]。考慮相角延遲為α=49π/180，將不同頻率下的車輛懸架特性參數輸入Simulink 仿真模型中，以激勵頻率、龐加萊（Poincaré）截面為橫縱坐標，繪制車身垂向位移分岔圖、車輪垂向位移分岔圖，如圖2 所示。

圖2 車輛模型頻率分岔圖Fig.2 Vehicle model frequency bifurcation diagram

從圖2 中可以看出，當f=9 Hz 時，出現分形現象，系統運動狀態出現突變，可能出現混沌運動；當f=11～14 Hz 時，分岔圖中龐加萊（Poincaré）截面點數變多，可能是混沌狀態；當f=15～17 Hz 時，龐加萊（Poincaré）截面點數減少，系統趨于穩定，可能再次進入周期運動。分析結果表明，路面激勵頻率不同會導致懸架系統的運動狀態發生改變。根據上述非線性系統仿真分析，選取5，9，14，17 Hz 的路面激勵頻率進行深入研究。

2.2 混沌現象分析

混沌運動對初值較為敏感，易產生隨機性的非周期運動，且不可預測。選取5，9，14，17 Hz激勵頻率下，分析車身垂向位移的時域信號、相軌跡、龐加萊（Poincaré）截面、功率譜和最大Lyapunov 指數。

（1）第1 組（f=5 Hz）

由圖3 所示，時間歷程圖穩定具有較強規律性，相軌跡表現為大量圓環疊加，龐加萊（Poincaré）截面形成封閉的圓環，此時最大Lyapunov 指數為-0.598 2。由混沌識別方法可知，該七自由度車輛系統呈現周期運動。

圖3 f=5 Hz 時系統各參數曲線和圖譜Fig.3 System parameter curve and graph (f=5 Hz)

（2）第2 組（f=9 Hz）

由圖4 所示，時間歷程較穩定但開始出現不規律變化，相軌跡表現為大量圓環疊加，龐加萊（Poincaré）截面形成多個封閉的圓環，功率譜開始出現連續趨勢但有明顯的尖峰，此時最大Lyapunov 指數為0。由混沌識別方法可知，該七自由度車輛系統呈現倍周期運動。

圖4 f=9 Hz 時系統各參數曲線和圖譜Fig.4 System parameter curve and graph (f=9 Hz)

（3）第3 組（f=14 Hz）

由圖5 所示，時間歷程圖不規律，相軌跡不重復且雜亂無章，龐加萊（Poincaré）截面出現大量密集的點，功率譜呈現出連續現象，此時最大Lyapunov指數為0.534 6。由混沌識別方法可知，該七自由度車輛系統處于混沌運動狀態。

圖5 f=14 Hz 時系統各參數曲線和圖譜Fig.5 System parameter curve and graph (f=14 Hz)

（4）第4 組（f=17 Hz）

由圖6 所示，時間歷程圖穩定，相軌跡出現上下不同圓環，龐加萊（Poincaré）截面近似形成封閉的圓環，功率譜開始出現不連續趨勢。由混沌識別方法可知，該七自由度車輛系統由混沌運動向周期運動狀態過渡。

圖6 f=17 Hz 時系統各參數曲線和圖譜Fig.6 System parameter curve and graph (f=17 Hz)

3 結語

本文采用數值分析法，對整車七自由度仿真模型在正弦路面激勵下進行混沌特性研究分析。通過分岔圖、相軌跡、龐加萊（Poincaré）截面、功率譜及計算最大Lyapunov 指數，判斷非線性懸架系統是否能夠進入混沌狀態，大致確定了懸架系統進入混沌狀態的臨界條件，并發現系統運動狀態隨著非線性因素改變，會發生運動狀態的變遷。考慮到車輛系統運動狀態的復雜性，且在特定情況下極可能從周期運動演變為混沌運動，本研究可為懸架系統的設計和改進提供理論參考。