菲涅爾公式討論光波反射和折射時振幅的變化*

劉家興 劉高福 陳德良

(貴州師范學院物理與電子科學學院 貴州 貴陽 550018)

光波是一種電磁波,當光進入兩種介質分界面時，傳播方向滿足反射和折射定律，根據麥克斯韋方程組和電磁場的邊值關系可以研究平面光波在兩介質分界面上的反射和折射問題，并可用菲涅爾公式來描述其振幅間的關系，菲涅爾公式是大學物理中的一組重要公式，對其相關問題的討論是大學物理教學研究中的熱點[1,2]，對后續內容的學習具有重要的作用，但教材中未對反射和折射波的振幅變化作出詳細說明，學生也不容易發現其變化關系.筆者根據多年的教學經驗，利用菲涅爾公式、電磁波的能量和能流密度等理論，討論光在界面上的反射系數和透射系數、反射率和折射率等問題，幫助學生深入理解菲涅爾公式和光波振幅的概念.

1 菲涅爾公式

當光波射到兩種不同介質的分界面上時，將分成兩個波，一個反射波和一個折射波，根據麥克斯韋的電磁理論，以及光的反射定律、折射定律和邊值關系，可以得到菲涅爾公式如下[3,4]

(1)

(2)

(3)

(4)

其中A1s和A1p表示入射波垂直分量和平行分量的振幅，A′1s和A′1p表示反射波垂直分量和平行分量的振幅，A2s和A2p表示折射波垂直分量和平行分量的振幅，rs和ts表示s波(即垂直分量)的振幅反射系數和透射系數，rp和tp表示p波(即平行分量)的振幅反射系數和透射系數.

2 反射系數和透射系數

2.1 光從光疏介質入射到光密介質

利用折射定律n2sinθ2=n1sinθ1和三角函數公式，可將式(1)～(4)用折射率n1，n2和入射角θ1表示，當光波由光疏介質進入光密介質，即n1

圖1 n1=1,n2=1.3,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關系曲線

圖2 n1=1.3,n2=1.5,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關系曲線

2.2 當光從光密介質入射到光疏介質

利用折射定律n2sinθ2=n1sinθ1和三角函數公式，將式(1)～(4)用折射率n1，n2和入射角θ1表示，在光波由光密介質進入光疏介質，即n1>n2時，振幅反射系數rs,rp和透射系數ts,tp隨著入射角θ1變化而變化.例如當n1=1.3,n2=1,rs,rp,ts,tp，隨入射角θ1的變化關系如圖3所示，當n1=1.5,n2=1.3，rs,rp,ts,tp隨入射角θ1的變化關系如圖4所示.從圖可以看出，隨著入射角的增大，rs,ts,tp一直在增大，|rp|先減小后增大.在入射角從0～90°整個變化過程中，|rs|≤1，rp≤1，在0≤θ1≤θC的變化過程中，ts>1，tp>1，即折射光s分量和p分量的振幅大于入射光相應分量的振幅，從折射光是入射光的一部分的角度看，好像不滿足“能量守恒”定律.

圖3 n1=1.3,n2=1,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關系曲線

圖4 n1=1.5,n2=1.3,rs,rp,ts,tp隨入射角θ1變化關系曲線

2.3 關于能量是否守恒的證明

光波是一種電磁波，要考察光波在界面上反射和折射時有沒有違背“能量守恒”定律，必須考慮電磁波能量的表示量——坡印廷矢量，它表示單位時間內通過垂直于傳播方向的單位面積的能量.其表示為

(5)

(6)

又由于折射率

(7)

其中ε0和μ0為真空介電常數和真空磁導率常數，所以當光從光疏介質進入光密介質時，折射率n變大了，在能量相同的情況下，振幅會變小；當光從光密介質進入光疏介質時，折射率n變小了，較小的振動能量也有可能引起較大的振幅，這樣就不難理解當光從光密介質進入光疏介質時振幅增大，即違背“能量守恒”定律這一現象.

下面以平面光波為例來證明光波在界面上反射和折射時滿足能量守恒定律.已知平面光波單位時間內通過垂直于傳播方向單位面積的能量，即光強度為[4]

(8)

記入射光波強度為I1，反射光波強度為I′1，折射光波強度為I2，則每秒入射到單位面積上的能量W1、反射波和折射波每秒從分界面出射的能量W′1和W2分別表示為

(9)

(10)

(11)

μ1=μ2=μ0

于是，在分界面上反射波、折射波單位面積上的能量流與入射波單位面積上的能量流之比為

(12)

(13)

式中，R和T分別表示能量反射率和能量透射率.

將菲涅爾公式代入上式，可得s波和p波反射率和透射率分別為

(14)

(15)

(16)

(17)

Rs+Ts=

(18)

Rp+Tp=

(19)

即在不考慮界面的吸收和散射的情況下，s波和p波的反射率加透射率分別等于1，滿足能量守恒定律.

3 結論

利用菲涅爾公式討論光波在分界面上的反射和折射時振幅的變化關系，當光從光疏介質進入光密介質時，反射光和折射光的振幅均小于入射光振幅，當光從光密介質進入光疏介質時，反射光的振幅小于入射光的振幅，而折射光的振幅大于入射光的振幅，好像是不滿足“能量守恒”定律的一種有趣現象，利用能流密度的概念對這一特殊現象作了討論，并用平面光波證明了光波在界面反射和折射時，光能量滿足能量守恒定律.