質(zhì)心動(dòng)能定理與相對(duì)動(dòng)能定理

湯幼強(qiáng)

(南昌縣蓮塘第一中學(xué) 江西 南昌 330200)

黃亦斌

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院 江西 南昌 330022)

1 理論

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理其實(shí)不止一種，正如質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理可以對(duì)靜點(diǎn)，亦可對(duì)質(zhì)心，不止一種一樣.我們先來梳理一下質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué).

對(duì)于一個(gè)一般的質(zhì)點(diǎn)系，可以對(duì)其中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程(動(dòng)能定理、動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理)，其中每個(gè)方程的左邊涉及到力(包括內(nèi)力和外力)，而右邊則涉及對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述(動(dòng)能、動(dòng)量和角動(dòng)量).將這些方程相加，左邊就是內(nèi)力和外力的貢獻(xiàn)，右邊則出現(xiàn)系統(tǒng)的總動(dòng)能、總動(dòng)量或總角動(dòng)量.

下面是牛頓第三定律上場.這個(gè)定律似乎存在感不強(qiáng)，其實(shí)相當(dāng)重要.正是由于這個(gè)定律，使得一對(duì)內(nèi)力的沖量之和為零，力矩之和為零.這就使得質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理和角動(dòng)量定理的左邊不出現(xiàn)內(nèi)力，只有外力.多大的簡化！遺憾的是，一對(duì)內(nèi)力的做功問題要復(fù)雜.由牛頓第三定律，一對(duì)內(nèi)力做功之和不一定為零，但也簡單到僅依賴于兩相互作用質(zhì)點(diǎn)的距離變化.于是有質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理：外力功和內(nèi)力功之和等于系統(tǒng)動(dòng)能的變化

(1)

A內(nèi)+A外=dK

接下來，我們進(jìn)入力學(xué)量的分解.對(duì)任意質(zhì)點(diǎn)系都可以定義質(zhì)心，注意這里沒有任何前提條件.質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系的平均位置，是各質(zhì)點(diǎn)以質(zhì)量為權(quán)的加權(quán)平均位置

(2)

由此自然引申出質(zhì)點(diǎn)系的平均速度——質(zhì)心速度和質(zhì)點(diǎn)系的平均加速度——質(zhì)心加速度

(3)

顯然，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)代表著質(zhì)點(diǎn)系的整體運(yùn)動(dòng).此外，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)還存在對(duì)質(zhì)心的相對(duì)運(yùn)動(dòng)

ri=rC+r′ivi=vC+v′iai=aC+a′i

(4)

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)有時(shí)又稱為外部運(yùn)動(dòng)和內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，在剛體情況下也稱為平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，或公轉(zhuǎn)(軌道運(yùn)動(dòng))和自轉(zhuǎn)(自旋運(yùn)動(dòng)).

我們知道，對(duì)于一般的質(zhì)點(diǎn)系，利用速度分解式(4)，可以得到動(dòng)能分解的柯尼希定理

(5)

K=KC+K′

恰好是式(1)右邊的分解，其中右邊兩項(xiàng)分別是質(zhì)心動(dòng)能和相對(duì)動(dòng)能，在剛體情形又分別叫做平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能.左邊是不是也可以分解呢？定義了質(zhì)心后，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理等價(jià)于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

(6)

其中左邊只有外力，沒有內(nèi)力.將上式兩邊點(diǎn)乘質(zhì)心位移drC，可得到

(7)

此式右邊是質(zhì)心動(dòng)能的增量，故這就是質(zhì)心動(dòng)能定理.在這個(gè)定理中，內(nèi)力根本不出現(xiàn)，而各外力所點(diǎn)乘的位移并不是式(1)中各自受力點(diǎn)的位移，而是統(tǒng)一為質(zhì)心位移.式(1)中左邊的外力功又可依式(4)變?yōu)?/p>

(8)

此式可理解為外力功的分解.聯(lián)立式(1)、(5)和(7)，馬上得到相對(duì)動(dòng)能定理

(9)

其中外力點(diǎn)乘的位移是各自受力點(diǎn)相對(duì)于質(zhì)心的位移，而內(nèi)力功部分的位移仍為兩質(zhì)點(diǎn)間的相對(duì)位移：dr′ji=drji.相對(duì)位移與慣性系還是質(zhì)心系無關(guān).

以上內(nèi)容可以總結(jié)如下

(10)

其中，3個(gè)橫式分別為質(zhì)點(diǎn)系的(總)動(dòng)能定理、質(zhì)心動(dòng)能(平動(dòng)動(dòng)能)定理和相對(duì)動(dòng)能(轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能)定理，3個(gè)豎式分別為內(nèi)力功、外力功和動(dòng)能的分解式.可以看出，每個(gè)外力功可分解為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)部分和相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分，而內(nèi)力功則只有相對(duì)部分，這是因?yàn)閮?nèi)力不會(huì)影響質(zhì)心速度和整體運(yùn)動(dòng).

作為對(duì)比，我們看看對(duì)角動(dòng)量定理的分解.對(duì)靜點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理為

(11)

其中，右邊存在角動(dòng)量分解(類似于動(dòng)能的柯尼希定理)

(12)

兩項(xiàng)分別為質(zhì)心角動(dòng)量(將整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量集中于質(zhì)心后對(duì)靜點(diǎn)的角動(dòng)量)和相對(duì)(于質(zhì)心的)角動(dòng)量.而左邊的合力矩可依式(4)分解為

(13)

式(12)、(13)中，左邊是對(duì)應(yīng)的[見式(11)]，右邊第二項(xiàng)也是對(duì)應(yīng)的(即對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理)，故有如下表示

(14)

其中，3個(gè)橫式分別為質(zhì)點(diǎn)系的(總)角動(dòng)量定理、質(zhì)心角動(dòng)量(軌道角動(dòng)量)定理和相對(duì)角動(dòng)量(自轉(zhuǎn)角動(dòng)量)定理，兩個(gè)豎式分別為力矩和角動(dòng)量的分解式.與式(10)不同的是，此處沒有內(nèi)力項(xiàng).

2 例題

以常見的一道柔鏈題為例[1]進(jìn)行分析.題目如下：

一柔鏈條長為L，單位長度的質(zhì)量為λ，鏈條放在有一小孔的桌面上，一端由小孔稍伸下來，其余部分堆在小孔周圍，如圖1所示.由于某種擾動(dòng)，鏈條因自身重量開始下落.求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系.所有摩擦不計(jì).

圖1 柔鏈放置圖

可以看出，由于存在完全非彈性碰撞(上部的靜止鏈條被下部的運(yùn)動(dòng)鏈條突然拉扯)，此系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.文獻(xiàn)[1]給出多種方法，此處用質(zhì)心動(dòng)能定理求解.

質(zhì)心動(dòng)能定理中的功是“質(zhì)心功”，有兩個(gè)要素：一是只有外力，沒有內(nèi)力；二是位移只是質(zhì)心位移.此題中的外力是支持力和重力，其中支持力做(總)功為零，但其質(zhì)心功為負(fù)(質(zhì)心下移)；重力當(dāng)然包括上部的重力和下部的重力，然后還要乘以(整個(gè)系統(tǒng)的)質(zhì)心位移，故都做正功.

此題的關(guān)鍵是要確認(rèn)：系統(tǒng)所受外力之和等于下部的重力.考慮一微元過程：上部相接處的一小段鏈條被下部拖動(dòng).此過程中，該小段與上部之間并無相互作用，只存在該小段與下部之間的拉扯，故上部所受的支持力除了抵消上部的重力外無額外的部分.于是，支持力與上部重力之和為零，二者的質(zhì)心功之和為零，只剩下下部重力的質(zhì)心功——下部重力(λyg)乘以整個(gè)系統(tǒng)質(zhì)心的位移(dyC).于是，根據(jù)質(zhì)心動(dòng)能定理，有

(15)

容易計(jì)算出

代入式(15)，化簡即得

文獻(xiàn)[1]對(duì)此題進(jìn)行了詳盡的分析，給出多種解法以及一些概念辨析.可以看出，本文上述解法實(shí)質(zhì)上就是文獻(xiàn)[1]的解法三，只不過該解法在那里被誤判了.