關(guān)于小角度極限下盧瑟福散射公式有效性的討論*

黃開(kāi)智

(華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430079；江蘇省姜堰第二中學(xué) 江蘇 泰州 225500)

喬翠蘭

(華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 湖北 武漢 430079)

申 晨

(華中師范大學(xué)人工智能教育學(xué)部 湖北 武漢 430079)

許多教材在推導(dǎo)盧瑟福散射公式時(shí)(包括庫(kù)侖散射公式)都做了一些假設(shè)，如只發(fā)生單次散射、核外電子的屏蔽作用可以忽略以及靶核靜止等，從而在理論上得到了盧瑟福散射公式.但在實(shí)際操作中，卻又發(fā)現(xiàn)不少實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論預(yù)測(cè)不相符，如本文所討論的小角度散射,此時(shí)，盧瑟福公式會(huì)失效.對(duì)于這一問(wèn)題，相關(guān)文獻(xiàn)是如此表述的：“當(dāng)瞄準(zhǔn)距離b達(dá)到原子大小時(shí)，由于原子呈電中性，庫(kù)侖散射就根本不會(huì)發(fā)生.因此，在小角時(shí)，不考慮核外電子屏蔽效應(yīng)的盧瑟福公式不再正確.”[1，2]

本文通過(guò)理論推算和相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在小角度散射時(shí)，盧瑟福公式失效的主要因素不是屏蔽效應(yīng)，而主要是單次散射的假設(shè)不成立.

1 理論推算

1.1 盧瑟福散射公式

盧瑟福散射公式為

(1)

上式dN表示進(jìn)入dΩ立體角接收器的α粒子數(shù)，N表示入射α粒子總數(shù)，n表示靶內(nèi)原子數(shù)密度，t表示靶的厚度，E表示入射粒子的能量，Z1和Z2分別示α粒子和靶核的核電荷數(shù)，θ為散射角，e為電子電荷量.

圖1 盧瑟福散射公式函數(shù)圖像

1.2 θ0的確定

在忽略核外電子對(duì)核庫(kù)侖場(chǎng)的屏蔽效應(yīng)時(shí)，兩個(gè)核的散射過(guò)程就是一個(gè)純粹的庫(kù)侖散射過(guò)程，由此得到庫(kù)侖散射公式

(2)

上式中b表示碰撞參數(shù)(即瞄準(zhǔn)距離)

對(duì)于一個(gè)靶核而言，其微分散射截面為

dσ=2πb|db|

(3)

截面為A的α粒子束轟擊靶核時(shí)，散射核有Ant個(gè).設(shè)靶核互不遮蔽，假定每個(gè)α粒子只經(jīng)過(guò)單次散射，實(shí)際上也就是要求每個(gè)原子的散射截面沒(méi)有重疊.為了能更好地說(shuō)明，本文采用了如圖2所示的靶核模型.共有Ant個(gè)靶原子均勻密排于平面內(nèi)，達(dá)到了每個(gè)靶原子互不重疊的要求.

圖2 未重疊的單層靶核模型

(4)

(5)

而最大的b0對(duì)應(yīng)最小的θ0，將式(5)代入式(2)，有

(6)

(7)

當(dāng)能量為7.68 MeV的α粒子轟擊0.1 μm的金箔時(shí)，a=2.96×10-14m，且在常溫時(shí)金原子的數(shù)密度為n=5.91×1028個(gè)/m3，代入數(shù)據(jù)可求得b0=0.065×10-10m以及θ0=4.55×10-3rad，可見(jiàn)θ0的大小還與入射粒子的能量大小有關(guān).

1.3 考慮屏蔽效應(yīng)時(shí)的散射角

以上所用的金箔厚度比原子線度還大了3個(gè)數(shù)量級(jí)(實(shí)際上0.1 μm的金箔已經(jīng)十分薄了)，下面來(lái)估計(jì)在該尺度上屏蔽效應(yīng)對(duì)散射角下限的影響.屏蔽庫(kù)侖勢(shì)為

(8)

由此得到玻恩近似微分截面[3]

(9)

(10)

又通過(guò)式(3)的簡(jiǎn)單運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)

(11)

(12)

上式表示的是在考慮屏蔽效應(yīng)后，理論上粒子散射的總截面.由于在實(shí)際的散射過(guò)程中，重合的靶核散射截面S必定小于式(12)所求得的總截面σB，說(shuō)明散射式(9)仍會(huì)有一個(gè)下限散射角θmin，于是只要求出θmin，然后與θ0作對(duì)比，便可得出結(jié)論.

將式(9)對(duì)θ在θmin～π進(jìn)行積分，得到

(13)

(14)

(15)

將式(15)代入式(14)有

(16)

(17)

運(yùn)用式(7)關(guān)系

將其平方后代入上式，得到

(18)

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的驗(yàn)證

首先，對(duì)式(1)變形為

(19)

如果考慮屏蔽效應(yīng)，則有

(20)

(21)

其中散射角相應(yīng)的瞄準(zhǔn)距離

從表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)看，在考慮了屏蔽效應(yīng)后，理論計(jì)算結(jié)果與不考慮屏蔽效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果相差不大，但卻與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大，故這從側(cè)面證實(shí)了小角散射時(shí)，盧瑟福公式失效的主要原因應(yīng)該不是未考慮核外電子的屏蔽效應(yīng)，而主要是入射粒子的單次散射假設(shè)不成立，也就是說(shuō)，小角度時(shí)，入射粒子歷經(jīng)了重疊散射的過(guò)程.

表1 粒子散射實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比

3 結(jié)論

在本文的理論推算部分，求得了屏蔽半徑p與最大碰撞參數(shù)b0之間的關(guān)系為

p=0.12×10-10m>0.065×10-10m

(同時(shí)K比θmin和θ0小了兩個(gè)數(shù)量級(jí)).p與b0對(duì)比如圖3所示.

圖3 屏蔽半徑與碰撞參數(shù)的對(duì)比

通過(guò)圖3，不難得出在小角散射時(shí)，盧瑟福散射公式的有效性主要是取決于單次散射假設(shè)的成立，而不是核外電子的屏蔽效應(yīng)假設(shè)的成立.換句話(huà)說(shuō)，在小角散射時(shí)盧瑟福公式的失效主要是由于單次散射的假定不成立，而非不考慮屏蔽效應(yīng).在本文的數(shù)據(jù)引用部分，也從側(cè)面反映了這一點(diǎn).另外，還有研究者認(rèn)為，入射粒子在散射箔所展開(kāi)的有效面積也是一個(gè)影響小角散射盧瑟福公式失效的因素[5]，這里就不再闡述了.以上這些結(jié)論對(duì)學(xué)生加深對(duì)盧瑟福散射公式的理解很有幫助.