邁克爾孫干涉儀測量He-Ne激光波長的不確定度計算*

韓玉龍 吳 佩 朱小寶 孫金芳

(安徽信息工程學院通識教育與外國語學院 安徽 蕪湖 241003)

邁克爾孫干涉儀是現代光學儀器的重要組成部分,可以用來精密測量光波長、折射率和微小長度等[1,2],能夠直觀地反映光波的干涉現象,在當今的引力波探測中,其原理獲得了相當廣泛的應用.文獻[3,4]提出“誤差概念的多義性容易在學生和初級技術人員中引起混淆”以及“不確定度的引入是想避免這種混淆,用不確定度來涵蓋標準差(或其倍數)或置信區間的半寬度”.考慮到物理實驗教學和理論教學有著不同的要求和規律,物理實驗有關誤差分析和數據處理的教學環節,很難實現所有的原理、方法、公式都如同理論具有的嚴密性、自洽性.因此在實驗教學中，特別對于非物理專業的誤差理論和數據處理,應根據基礎課程的特點,可采用簡化處理體系.邁克爾孫干涉儀測光波長屬于間接測量的方法測量光源波長,需要計算間接測量的合成不確定度,如此來說，計算過程繁瑣,針對初學者有一定的難度.

本文簡化計算了數據關聯情況下的不確定度,便于學生理解和掌握.

1 基本原理

光的干涉是重要的光學現象之一,是光的波動性的重要實驗依據.兩列頻率相同、振動方向相同和位相差恒定的相干光在空間相交區域將會發生相互加強或減弱現象,即光的干涉現象.邁克爾孫干涉儀的原理是用分振幅法獲得兩束相干光實現干涉.He-Ne激光器可產生一個線度非常小、強度足夠大的單色光,經過擴束鏡可形成發散的激光束,光源經過分束板G1后分成一束反射光和一束透射光.其中反射光被移動鏡M2反射,透射光經過補償板G2后被固定鏡M1反射,圖1中M′1為固定鏡M1的虛像,相當于是由兩個虛光源S1和S2發出的相干光,虛光源S1和S2的間距為M′1和移動鏡M2的間距d的2倍,即為2d.如圖1所示,虛光源S1和S2發出的球面波在空間相遇的位置處處相干,所以在空間中,光場疊加的區域中放置觀察屏均可以觀察到干涉現象,這種現象即為非定域干涉.

圖1 非定域干涉原理圖

當固定鏡M′1與移動鏡M2兩表面平行時,也就是固定鏡M1和移動鏡M2互相垂直時,可以在毛玻璃屏上觀察到明暗相間的圓形條紋,即為等傾干涉現象,如圖2所示.

圖2 He-Ne激光光源的等傾干涉條紋

移動鏡M2的移動會導致視場中心的干涉環紋出現吞/吐的變化,當涌出一個環紋或者吞進一個環紋的時候移動鏡M2的移動距離為光源波長的一半,移動鏡M2的移動距離為Δd,吞/吐環紋的次數為N,光源波長為λ,其滿足的關系式為

(1)

式中Δd=lm-ln,lm和ln分別為移動鏡的始末位置.實驗中通過測量移動鏡的始末位置和環紋吞/吐變化的次數N計算He-Ne激光波長,波長值為間接測量的物理量.

根據國家計量技術規范規定[5],實驗標準偏差可以表征一個多次測量物理量的結果分散性,譬如n次測量xk的實驗標準偏差可按貝塞爾公式計算

(2)

(3)

(4)

式中a表示被測量可能值區間的半寬度,k稱為置信因子.實驗中,被測量λ是由移動鏡始末位置(lm,ln)和環紋吞/吐變化的次數N通過函數式(1)確定,其估計值λ的合成標準不確定度的傳播規律uc(λ)按式(5)計算

(5)

波長λ的不確定度與移動鏡始末位置(lm,ln)和吞/吐環紋的次數N有關.為了便于學生理解,也為了簡化計算,忽略m,n,的不確定度,只考慮lm,ln和N的不確定度.考慮各個變量之間的獨立與否,以及移動鏡始末位置lm和ln相互關聯的情況下計算波長λ的合成標準不確定度,并進行分析.

2 測量數據相互關聯的不確定度計算

移動鏡的位置lm和ln相互關聯,即認為Δd=lm-ln為直接測量量,由式(1)和合成標準不確定度的傳播規律可知

(6)

根據波長計算公式,分別對Δd和N求偏導數,可得

式(6)第一項為移動鏡始末位置lm和ln的測量偏差引入的標準不確定度,其中u(Δd)為間接測得量Δd的合成不確定度,取決于移動鏡的始末位置lm和ln,可表示為式(7)

(7)

由A類標準不確定度的計算公式可知

(8)

由于儀器測量過程中存在回程誤差,所以移動鏡各個位置只測量1次,因此uA(li)=0,故有

其中i表示m或者n,代入式(7),整理后可得

(9)

(10)

將式(9)和式(10)代入式(6)整理可得計算波長的合成標準不確定度,式中單位均為mm.

(11)

測量移動鏡的始末位置,根據理論公式,N的取值越大,相對誤差應該越小,實際實驗中讀取環紋的變化次數全靠人的眼睛,次數越多會導致過大的疲勞誤差,一旦數錯條紋數據,反而會引起更大的誤差.文獻[6]研究了“吞”或“吐”條紋數量對測量結果準確度的影響,實驗結果表明當N=40時,獲得的結果較為準確.原始數據記錄處理如表1所示.

表1 邁克爾孫干涉儀實驗原始數據記錄和處理

續表1

根據表1的數據,其中Δd取最大值0.013 42 mm,代入式(11)進行計算.He-Ne激光波長的不確定度計算結果為uc(λ)≈5.3 nm.根據計算結果可知式(11)中第二項的貢獻要大于第一項的貢獻,主要原因是學生根據視覺和記憶進行判斷中心干涉環紋始末狀態大小,因此實驗中隨機誤差的影響要大于系統誤差.

3 結論

選干涉條紋“吞”或“吐”數量為40次測得實驗數據,實驗中求得實驗結果的平均值為635.0 nm,He-Ne激光波長公認值為632.8 nm,其相對誤差為0.34%.考慮數據相互關聯的情況下,給出了一種簡化的不確定度計算方法,波長的計算結果可表示為(635.0±5.3)nm,便于學生理解和掌握.實際實驗中產生誤差的原因很多,譬如殘留螺紋空程誤差、光路調節誤差等,可通過校準后沿原方向轉微調手輪來消除空程誤差,以及對條紋中心偏移產生的誤差進行修正等，盡可能地將系統誤差降低到相對于隨機誤差可忽略的程度.在實驗教學中,可根據教學需要引入一些未被考慮的測量誤差分量的分析,提倡多角度、多方法探索影響實驗結果的因素，突出物理實驗方法的學習.