含歧運動位平面機構的動力學研究

曹惠，李春明,2，劉慶，李萬騰

1.中國石油大學(華東)中國石油大學勝利學院，山東 東營 257061

2.中國石油大學(華東)機電工程學院，山東 青島 266580

3.山東大學機械工程學院，山東 濟南 250061

平面連桿機構是多數機器的主機構，其基本機構為平面四桿(體)機構。凸輪機構和齒輪機構可以視為將1個構件(體)和2個轉動副或移動副(二約束副)用1個高副(一約束副)替代的四體機構。采用串連、并連、封閉和裝載等方式[1?3]，平面四體機構可組合出各種復雜機構。平面四體機構的動力學研究屬于機械原理的研究范疇。

當曲柄作為從動件時，存在曲柄壓力角(受力方向與運動方向之間的夾角)為90°的位置。該位置稱為歧運動位[4](卡位、死點[5?6])。根據從動件與連桿共線的特征，歧運動位存在于曲柄搖桿機構[7]、雙搖桿機構、雙曲柄機構和曲柄滑塊機構當中。運動如果可正可逆，也可稱為運動分岔，但是與非線性動力學的仿真收斂性和響應分岔無關。

歧運動位是多年來的研究冷點，在平面四體機構當中普遍存在，但一直沒有受到重視。在歧運動位，從動件存在雙向運動可能性[8?9]。

曲柄搖桿機構的曲柄從動件和搖桿從動件的運動學程序化計算機仿真[10?12]涉及歧運動位，基于洛必達法則求取了歧運動位的從動件運動學參數計算式。但是，對于特殊的、多歧運動位的滑塊機構尚無研究。由于該計算式尚未公開發表，ADAMS等計算軟件是避開了歧運動位的計算，因此不做對比。

通常，對于連桿為最長桿的滑塊機構，當曲柄或搖桿作為主動件時，從動件的位置、速度、加速度與主動件的存在一一對應關系，機構沒有歧運動位[13]。但是，當滑塊為主動件，或連桿不是最長桿時，存在歧運動位。本文研究具有3個歧運動位的滑塊機構動力學問題。

1 具有3個歧運動位的滑塊機構

搖桿滑塊機構如圖1所示。

圖1 具有歧運動位的搖桿滑塊機構

滑塊的導路為經過另一運動副而與運動軌跡平行的直線或曲線。該導路距A點的距離為搖桿長度的一半。搖桿可在平角內擺動。機架(固定體)可視為由A指向滑塊導路垂線無窮遠端的無限長桿；滑塊可延伸為由轉動副C垂直于導路指向無窮遠的無限長桿。以A為坐標原點，建立圖1的直角坐標系x1Ax2。l1、l2分別為搖桿AB和連桿BC的矢徑，長度分別為l1、l2。θ1、θ2分別為l1、l2相對于x1軸正方向的夾角。d為A到滑塊導路的垂直距離。d和l2均為l1的一半。C點相對于坐標原點的矢徑為l3。根據各構件之間的幾何關系，以及矢量方程的幾何意義(等號兩邊的矢量分別首尾相接，形成2個矢量鏈，如果其起點相同，則終點重合)，可得矢量方程

將式(1)分別向2個坐標軸投影，可得投影方程組

式中θ2和x1,C為 未知量。

設搖桿按照正弦規律擺動，T為周期，根據式(2)，θ1及其各階導數為

式(2)對時間依次求導，并整理成矩陣形式，可根據二階矩陣求逆運算的簡化公式求解出上述2個未知量的各階導數。

在歧運動位，θ2對時間的各階導數均為0/0型的不定式，可根據洛必達法則求解[14]。

2 連桿位置角的討論

對于圖1的機構，θ1等于0、π/2、π的3個位置為機構的歧運動位。在θ1等于π/2的位置，由于連桿被搖桿拉動而沒有卡位的特征，屬于一般的歧運動位。而在另外2個位置，由于連桿被搖桿壓住，如果滑塊保持靜止并且受到的水平力F1,D= 0，則無論搖桿的驅動力多么大，機構均保持靜止，因此，這2個位置位置均為機構的卡位。

根據式(2)，θ2有以下2個計算式：

考慮慣性力，計算滑塊受力F1,D和速度，在接下來θ1連續運動的范圍內，θ2取式(4)計算的情況有

θ2取式(5)計算的情況有

機構保持靜止的2個條件為

在θ1=π/2的位置，在接下來θ1連續運動的范圍內，θ2取式(4)計算的情況有

θ2取式(5)計算的情況有

如果機構滿足以下條件：

則機構保持靜止。

3 各構件的受力分析

分別取搖桿、連桿和滑塊為研究對象，進行受力分析。如圖2所示，在每個體的輸入端令所受力的正方向與坐標軸方向相同，在輸出端相反，則每個運動副處的作用力和反作用力可用相同的變量表示[15]。在圖2中沒有標出慣性力和重力等。

圖2 各構體的受力分析

設搖桿在驅動力矩MAB的作用下按照式(3)的規律擺動。忽略各運動副之間的摩擦力[16]。設滑塊在導路中受到阻尼系數為c的流體作用[17]，流體流速為vfluid，方向與x1軸正方向相同。根據圖2的受力分析，機構的未知量為MAB、F1,A、F2,A、F1,B、F2,B、F1,C、F2,C、F2,D， 共8個，根據作平面運動物體的動力學方程[18?19]，由3個體可分別列出3、3、2個方程，可得8個方程的方程組。方程數與未知量數相同，可解。該建模方法比拉格朗日方法[20]更直觀。如果考慮原動機的機械特性[20?21]，則MAB是的函數，該未知量換為。

設3個體的質量分別為m1、m2、m3。設質心均在其幾何中心上，且質量分布均勻，則搖桿和連桿繞質心的轉動慣量分別為

設搖桿和連桿的輸入端到質心的距離分別為l1a、l2a，則由搖桿可列出3個動力學方程：

由連桿可列出3個動力學方程：

由滑塊可列出2個動力學方程

式(13)—式(20)組成的方程組寫成矩陣形式，則具有稀疏系數矩陣。如果采用計算量較大的方程組求解方法，則在歧運動位會由于其系數矩陣奇異而不能求出較準確的未知量。分析各方程，可依照以下順序求解。

1)由式(19)求F1,C。

2)由式(16)求F1,B。

3)由式(13)求F1,A。

4)由式(17)和式(18)求F2,B和F2,C。

式中：

在歧運動位，由力矩平衡方程而得的B2為0/0型不定式，可由洛必達法則簡化為

由式(21)和式(22)，可得式(28)中的力導數。

5)由式(20)求F2,D。

6)由式(14)求F2,A。

7)由式(15)求MAB。

4 計算機仿真結果

4.1 機構的基本參數

主動搖桿的主要參數為：m1=5.0 kg；l1=1.0 m；l1a=0.5 m；J1=kg·m2。

連桿的主要參數為：m2=2.5 kg；l2=0.5 m；l2a=0.25 m、J2=kg·m2。

滑塊的主要參數為：m3=5 kg；d=0.5m。

滑塊所在導路的流體速度vfluid=1.0 m/s ，流體的阻尼系數c=0.1N/(m/s)。

搖桿的擺動周期T=9.0 s ，計算機仿真步長δ=0.01 s 。

4.2 程序化仿真結果

搖桿的輸入端受力如圖3所示，滑塊的受力如圖4所示，連桿的輸入端受力如圖5所示。力存在突然變化的情況，說明存在柔性沖擊。

圖3 搖桿輸入端受力的時間歷程

圖4 滑塊受力的時間歷程

圖5 連桿輸入端受力的時間歷程

5 結論

1)本文研究的平面四體機構具有3個歧運動位，其中2個是卡位。該機構具有一定的代表性。

2)當主動搖桿按照正弦規律擺動時，機構平穩運動，不出現速度突變和加速度突變，但是，垂直方向受力出現大趨勢突變，存在柔性沖擊。因此，該機構宜用于儀器儀表等微小功率的應用領域。

3)本文不涉及實踐研究，不分析該機構及其相近機構的實踐意義和可適用的工作場合。

4)位移表征物體的位置、姿態、運動軌跡，坐標的三階及更高階導數不能用于類似于牛頓第二定律的計算式，但是其理論意義仍不可忽視。

5)基于洛必達法則研究的歧運動位運動學參數和力使動力學仿真順利進行。

6)提出的力導數概念具有較大的理論意義。