考慮高耗時約束的追峰采樣智能探索方法

龍騰，毛能峰，史人赫，武宇飛，沈敦亮

1. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081 2.北京理工大學 飛行器動力學與控制教育部重點實驗室，北京 100081 3.清華大學 航天航空學院，北京 100084 4.北京宇航系統工程研究所，北京 100076

數值計算技術、學科建模技術與計算機軟硬件的發展使得高精度分析模型在飛行器系統設計的工程實踐中應用日益廣泛，例如，采用計算流體力學(Computational Fluid Dynamics, CFD)模型、計算電磁學(Computational Electromagnetics, CEM)模型、結構有限元分析(Finite Element Analysis, FEA)模型等高精度分析模型，可以改善設計結果的可信度，但存在計算耗時長的問題。基于梯度的局部搜索算法(如增廣拉格朗日乘子法、序列二次規劃法和可行方向法)通常利用有限差分法計算梯度信息，需要反復調用分析模型；基于概率的全局探索算法(如遺傳算法、粒子群算法和模擬退火法)同樣需要成千上萬次的調用分析模型[1]。為了緩解上述問題，構造高精度分析模型的代理模型，可以有效降低性能指標預測成本。神經網絡是一種模擬生物神經系統結構和功能的代理模型，理論上可以逼近任意非線性函數，因此得到了廣泛關注。張嘉良等[2]將神經網絡與遺傳算法相結合，用于求解特定飛行條件下的巡航飛行器增程優化設計問題。雷玉昌等[3]利用神經網絡建立雙后掠翼飛行器外形參數與性能參數之間的映射關系，用于求解氣動布局多目標優化設計問題。孫偉和張呈林[4]建立直升機槳葉氣動性能的神經網絡預測模型，用于求解氣動外形多目標優化設計問題。

基于代理模型的近似優化策略已成為飛行器設計優化領域的研究熱點，以降低計算成本，縮短設計周期[1]。近似優化策略主要分為靜態近似優化策略和自適應近似優化策略兩類[5]。與靜態近似優化策略相比，自適應近似優化策略采用動態更新代理模型的方式改善可能存在全局最優解區域的局部近似精度，具有更高的效率和更好的全局收斂性，其代理模型管理與更新策略主要包括基于空間縮減的序列采樣方法和基于空間填充的序列采樣方法[1]。基于空間縮減的序列采樣方法的典型算法包括信賴域方法[6]、分割平面方法[7]以及重點設計空間方法[8]等。基于空間填充的序列采樣方法的典型算法包括高效全局優化策略[9]、追峰采樣方法[10]、基于進化操作的采樣策略[11]以及基于模糊聚類的采樣策略[12]等。

標準追峰采樣方法(Mode-Pursuing Sampling method, MPS)適用于求解復雜黑箱函數的全局最優解，優化效率高、魯棒性強且支持并行計算。但是Duan等[13]指出標準MPS方法求解高維優化問題效率不高，對此Cheng等[14]提出了基于信賴域的追峰采樣方法(Trust Region based Mode Pursuing Sampling, TRMPS)。針對約束問題，Kazemi等[15]引入約束松弛條件，提出了一種約束追峰采樣優化方法(Constraint-importance Mode Pursuing Sampling, CiMPS)。此外粟華等[16]提出了一種改進的動態追峰采樣方法(Dynamic Mode Pursuing Sampling, DMPS)，緩解算法過早收斂、陷入局部最優解的問題。Wu等[17]提出了一種應用有偏坐標擾動的追峰采樣方法(Mode Pursuing Sampling method using Discriminative Coordinate Perturbation, MPS-DCP)，進一步改善高維問題的優化效率，但其復雜約束處理能力有待提升。然而實際工程優化問題中，約束計算成本高的現象普遍存在[15]。CiMPS的約束處理機制忽略約束函數計算耗時，其約束函數調用次數通常比目標函數大3個數量級[18]。上述問題限制了追峰采樣方法在飛行器設計優化領域的工程應用。

處理約束優化問題的傳統方法主要分為基于罰函數的方法和不依賴罰函數的方法。罰函數法[19]通過構造增廣目標函數將原問題轉變為無約束優化問題進行求解，存在計算量大、收斂速度慢與罰系數選取困難等缺陷。對于不依賴罰函數的約束處理方法，Crossley[20]提出了結合KS方程(Kreisselmeier-Steinhauser function)的遺傳算法，用于求解旋翼系統的多目標約束優化問題。史人赫等[21]提出了基于過濾器的序列徑向基函數優化方法，綜合考慮目標函數值與最大約束違背度構建過濾器，并通過支持向量機辨識可行性區域指導有偏采樣，能夠有效求解復雜約束優化問題。本文將不依賴罰函數的約束處理方法引入MPS框架，提高其求解高耗時約束優化問題的效率。

針對涉及高耗時黑箱分析模型的飛行器約束優化問題，本文提出了一種基于過濾器的MPS-DCP設計空間智能探索方法(Filter-based Mode Pursuing Sampling intelligent exploring method using Discriminative Coordinate Perturbation, FMPS-DCP)。通過訓練徑向基函數網絡(Radial Basis Function Network, RBFN)預測目標函數與約束條件響應值，并應用KS方程構造約束違背度函數，綜合考慮目標函數值與約束違背度函數值，基于Pareto支配概念構造或更新過濾器，篩選優質簡單樣本點，再根據預測值準則與距離準則從過濾器接受樣本點中選擇出新增樣本點，引導優化過程快速向全局可行最優解收斂。最后通過標準約束測試算例和工程優化案例，驗證FMPS-DCP方法的性能。

1 無約束追峰采樣方法簡介

1.1 徑向基函數網絡簡介

RBFN是一種高效的單隱層前饋神經網絡，拓撲結構簡單、理論上可以逼近任意非線性函數。其隱層神經元的激活函數選用徑向基函數，輸出層為隱層輸出的線性組合。RBFN的回歸預測模型如式(1)所示[22]：

(1)

式中：q為隱層神經元數量；wi為第i個隱層神經元的連接權重；φ(x,xi,c)為徑向基函數；xi為對應隱層神經元的中心；c為徑向基函數的形狀參數。

RBFN訓練時，首先確定神經元中心xi，再確定權重wi和形狀參數c。由于實際復雜飛行器系統設計中訓練樣本規模有限，本文選取優化過程中當前所有樣本點作為隱層神經元中心，并按式(2)計算連接權重wi[1]。

w=A-1F

A=

(2)

式中：w=[w1,w2,…,wn]T為連接權重系數向量；F=[y1,y2,…,yn]T為訓練樣本處的真實模型響應；A為徑向基函數矩陣；n為訓練樣本規模。

1.2 標準追峰采樣方法簡介

標準MPS方法[10]初始樣本點數計算式為

(3)

式中：nv為設計變量個數。計算目標函數值加入高精度樣本點集Y并構造RBFN。

雖然標準MPS求解低維問題具有顯著優勢，但是求解高維問題的效率較低[13]，而且缺乏處理高耗時約束的能力。

1.3 基于有偏坐標擾動的追峰采樣方法簡介

MPS-DCP[17]將有偏坐標擾動的思想與標準MPS相結合，以緩解其高維問題求解效率低的缺陷。MPS-DCP初始采樣過程與標準MPS方法相同。迭代過程中選取Y內目標函數值最小的10·nv個高精度樣本點，構造目標函數的RBFN。

綜合考慮各設計變量的靈敏度指標[17]與優化改善情況構造靈敏度影響因子，并結合當前迭代次數計算設計變量的擾動概率p。由此對當前最優點施加有偏坐標擾動，得到nc個簡單樣本點，通過定制的預測值準則與距離準則，選擇ns個RBFN預測值較小且距離現有高精度樣本點較遠的優質簡單樣本點作為新增樣本點。此外，根據優化改善情況動態調整有偏坐標擾動步長σn。若當前最優解與上一步迭代結果相同，則縮減步長，加強局部搜索能力；若當前最優解小于上一步迭代結果，則擴大步長，保證算法的全局探索性。

與TRMPS等改進算法相比，MPS-DCP求解高維問題的收斂性能與優化效率有明顯優勢[17]。然而MPS-DCP中構造約束函數RBFN的處理方式難以有效求解包含復雜約束的實際工程優化問題。因此，亟待將高效的約束處理機制引入MPS框架，以進一步提升MPS算法的工程實用性。

2 約束追峰采樣智能探索方法

2.1 約束處理方法

本文采用不依賴罰函數的約束處理方法，具體內容敘述如下。

2.1.1 KS方程法

KS方程是在指數空間上約束函數集合的可微最大包絡。本文采用如式(4)所示的KS方程修改形式[23]，以緩解數值奇異的問題。

(4)

以G24問題(定義見3.2.1節)為例，說明KS方程縮聚約束后可行域變化情況，原可行域與KS方程包絡可行域如圖1所示。其中一個主動約束處(圖中黑框部分)放大圖如圖2所示。

由圖1和圖2可以看出，對于G24問題，KS方程包絡可行域與原可行域大致相同，但在主動約束處，KS方程包絡可行域明顯更小，且ρ越大越接近原可行域。因此，KS方程存在可行域偏保守的問題，但是ρ取得過大仍會導致數值奇異。為解決上述問題，本文在優化過程中采用自適應方法[23]動態更新ρ，計算公式為

圖1 G24問題可行域Fig.1 Feasible region of G24

圖2 可行域放大圖Fig.2 Enlarged view of feasible region

lg(ρn+1)=

(5)

式中：ρ1=ρn+1×10-3；KS′為ρ的影響因子，計算式為

(6)

2.1.2 過濾器方法

考慮到實際工程問題中仿真分析結果可能存在誤差，允許樣本點在一定范圍內違背約束，從而更充分地探索設計空間，加強算法的全局收斂性。由此引入約束容差KSmax，將滿足KS(ρn,x)

定義1：支配關系

對于樣本點x(i)與x(l)，當且僅當滿足式(7)時，稱點x(i)支配x(l)；否則，兩者互不支配。

f(x(i))≤f(x(l))∩KS(ρn,x(i))≤KS(ρn,x(l))

(7)

定義2：過濾器

過濾器是互不支配樣本點的集合。過濾器的示意圖如圖3所示。當且僅當樣本點位于圖中過濾器更新或擴充區域，樣本點被過濾器接受。否則，樣本點被過濾器拒絕。

圖3 過濾器示意圖Fig.3 Schematic of filter

2.2 算法流程

假設高精度樣本點的目標函數與約束函數響應值可通過調用一次分析模型同時獲取，而簡單樣本點通過RBFN預測目標函數與約束函數值。通過模型調用次數nse衡量優化問題的計算成本。此外，認為可行點優于不可行點。對于可行點，目標函數值較小的更優；對于不可行點，約束函數值較小的更優。FMPS-DCP的算法流程如圖4所示，具體步驟如下:

圖4 FMPS-DCP算法流程圖Fig.4 Flowchart of FMPS-DCP

步驟1采用標準拉丁超方試驗設計方法選取nv+1個初始高精度樣本點。判斷是否存在可行點，如果不存在可行樣本點，執行步驟2。如果存在，則繼續采樣至樣本點數達到n0，計算公式如下:

(8)

計算目標函數與約束函數真實響應值并加入高精度樣本點集Y，執行步驟3。

(9)

式中：xk為Y內高精度樣本點；Tcoincide為距離容忍度。具體流程見2.3節。

步驟3利用Y內所有樣本點訓練目標函數與各約束函數的RBFN。

步驟4如果為第1次迭代，確定Y內樣本點之間的支配關系，構造過濾器。否則，根據上一步迭代新增樣本點與過濾器內所有樣本點之間的支配關系，更新過濾器。

步驟5擾動概率p計算方式與MPS-DCP方法類似，但由于存在約束函數，則分別計算目標函數與約束函數的靈敏度指標[17]sF與sKS，構造統一靈敏度指標s=sF+sKS，并根據式(10)歸一化：

(10)

步驟6首先利用得到的過濾器篩選上述簡單樣本點，再根據預測值準則和距離準則評價備選點的得分，選取評分最好的ns個樣本點。新增樣本點選擇策略具體內容見2.4節。計算目標函數與約束函數真實響應值并加入高精度樣本點集Y。最后與MPS-DCP方法類似，比較新增樣本點與當前最優點的最優性與可行性，更新有偏坐標擾動步長。

步驟8利用序列二次規劃方法對PRSM模型進行局部優化，計算最優解的目標函數與約束函數真實響應值并加入高精度樣本點集Y。

步驟9如果Y內樣本點數達到了給定的最大模型調用次數，則優化終止，輸出當前最優解。否則，更新靈敏度指標，返回步驟3。

2.3 初始采樣子優化問題

為改善優化結果的可行性，需要保證初始采樣存在可行樣本點，子優化問題求解的具體步驟如下:

步驟3計算樣本點與Y內所有樣本點之間的最小歐氏距離，構造初始采樣子優化問題的約束函數。

步驟4利用序列二次規劃法求解初始采樣子優化問題，計算最優解的目標函數與約束函數真實響應值并加入高精度樣本點集Y，更新模型調用次數。判斷Y內是否存在可行點或達到最大模型調用次數，若滿足，執行步驟5。否則，返回步驟1。

步驟5如果Y內樣本點數小于最大模型調用次數，執行步驟6。否則，返回集合Y和KS方程控制參數ρ，子優化終止。

步驟6利用拉丁超方試驗設計方法生成n0-nsub個樣本點，其中nsub為Y內樣本點數。計算目標函數與約束函數真實響應值并加入高精度樣本點集Y，子優化終止。

初始采樣子優化問題求解過程偽代碼如算法1所示。

算法1 初始采樣子優化問題求解方法

2.4 基于過濾器的新增樣本點選擇策略

為高效處理高耗時約束，首先基于過濾器篩選優質簡單樣本點，再根據定制的預測值準則與距離準則選擇新增樣本點，引導采樣快速趨向全局可行最優解，具體步驟如下:

步驟2如果過濾器接受點數小于擬新增樣本點數ns，則偏向可行性，取約束違背度函數預測值為預測值準則評價指標。否則，偏向最優性，取目標函數預測值為評價指標。

步驟3計算樣本點與Y內所有樣本點之間歐氏距離的最小值，作為距離準則的評價指標。

步驟4根據當前迭代次數niter、優化持續未改善次數Cstall與ns確定權重系數集合ws。

步驟5如果已新增樣本點數nadd小于ns，則根據nadd確定權重系數w，執行步驟6。否則，執行步驟7。

步驟6按式(11)計算總評分。

(11)

如果樣本點與Y內所有樣本點之間距離的最小值小于閾值Tcoincide，則去除該樣本點。選擇總評分最小的樣本點為新增樣本點，并加入Y與新增樣本點集Ya，更新nadd。如果nadd小于ns，返回步驟5。否則，執行步驟7。

步驟7樣本點選擇結束，輸出新增樣本點集Ya與更新后的高精度樣本點集Y。

基于過濾器的樣本點選擇策略偽代碼如算法2所示。

算法2 基于過濾器的樣本點選擇策略Algorithm 2 Filter based sample point selection strategy

2.5 算法收斂性分析

對FMPS-DCP方法的收斂性開展理論分析并加以證明。根據文獻[17]，定義如下引理。

條件a，算法采用精英策略。

(12)

條件b，對于非全局最優點的任意樣本點x′，對應水平集L(x′)={x|f(x)

(13)

3 算法性能測試

為驗證FMPS-DCP方法的性能，采用7個中低維、4個高維標準約束測試算例和1個實際工程約束優化案例進行測試，將測試算例中的目標函數和約束函數視作高耗時黑箱模型。對于中低維問題，本文認為達到最優解目標值即得到了最優解，算法終止，通過統計不同算法在最大的模型調用次數限制下達到給定最優解目標值所需的模型調用次數，并與CiMPS、MPS-DCP和改進隨機徑向基函數方法(Extended ConstrLMSRBF)進行對比分析，評價算法的性能。由于CiMPS難以求解涉及高耗時約束的優化問題，Extended ConstrLMSRBF方法未提供源代碼，對于高維問題，本文與約束差分進化算法(Kriging assisted Constrained Differential Evolution, KRG-CDE)[24]進行對比；對于實際工程約束優化案例，本文與改進自適應響應面優化策略(Adaptive Response Surface Method using Intelligent Space Exploration Strategy, ARSM-ISES)進行對比。為降低隨機因素的影響，對各數值算例，不同算法分別連續運行30次。各算法在模型調用次數大于最大模型調用次數時，算法終止。

3.1 參數設置

對于中低維問題，MPS-DCP、FMPS-DCP和Extend ConstrLMSRBF目標函數與約束函數調用次數相等，最大調用次數設為500。CiMPS約束函數調用次數通常多于目標函數，最大目標函數與約束函數調用次數分別設為500與10 000。對于30維C0130和C0230問題，KRG-CDE和FMPS-DCP最大的目標函數與約束函數調用次數均設為600；對于50維C0150和C0250問題，各算法最大的目標函數與約束函數調用次數均設為1 500。FMPS-DCP約束容差設為0.05。

3.2 問題描述

3.2.1 標準約束測試算例

選用的中低維標準約束測試算例來自文獻[25-29]，高維標準約束測試算例來自文獻[30]，基本信息如表1和表2所示。

表1 中低維標準約束測試算例

表2 高維標準約束測試算例

3.2.2 工程案例

本文選用文獻[31]中的全電推進衛星平臺多學科設計優化問題(如圖5所示)，驗證FMPS-DCP方法的工程實用性。全電推進衛星平臺多學科設計優化案例在滿足軌道轉移時間、軌道位置保持精度、整星功率需求以及基頻等約束條件下，以整星質量最小為優化目標，涉及軌道轉移、位置保持、供配電、熱控、姿控和結構6個學科。為了實現學科解耦，本文采用定點迭代法實現多學科分析(Multidisciplinary Analysis, MDA)[31]，獲取滿足系統一致性設計約束的樣本點。在Intel i5 6300U 2.40 GHz CPU和8 GB內存的電腦上，利用定點迭代法進行1次多學科分析平均所需時間約10 min。

圖5 全電推進衛星示意圖[31]Fig.5 Schematic of all-electric satellite[31]

全電推進衛星平臺多學科設計優化問題的優化數學模型如式(14)所示。

findX=[α,β,φ,dT,dN,Asa,Cs,Ar,Hw,

SH,CH,TBH,SP,CSP,TBP]T

(14)

式中：α、β、φ分別為第一階段偏航、俯仰角和第二階段俯仰角；dT和dN分別為推力器T和N方向安裝位置；Asa為太陽能帆板面積；Cs為電池容量；Ar為散熱器面積；Hw為動量輪角動量；SH和CH分別為服務艙和通信艙芯子厚度；TBH為中心承力筒芯子厚度；SP和CSP分別為服務艙和通信艙鋪層厚度；TBP為中心承力筒鋪層厚度。Msatellite為全電推進衛星系統總質量；mi為第i個學科/分系統的質量預算；mfuel為總推進劑質量預算；mothers=746.2 kg為系統固定質量；tf為總軌道轉移時間；λmax和imax分別為東西和南北位置保持精度；PBOL和PEOL分別為壽命初、末期功率；DOD為放電深度；T0為穩態溫度；cAC為動量輪容量余量；fX和fY分別為X、Y方向一階彎曲頻率。

3.3 優化結果

3.3.1 標準約束測試算例優化結果

1) 優化結果對比分析

對于中低維標準約束測試算例，3種算法優化結果如表3所示，Extend ConstrLMSRBF優化結果引自文獻[32]；由于MPS-DCP無法在給定的最大模型調用次數限制下獲取PVD4、SR7、G7和G9等問題可行解，本研究僅針對G1和G24問題，對比了MPS-DCP和FMPS-DCP優化過程迭代曲線，如圖6所示，圖中與X軸平行虛線代表最優解目標值。對于高維標準約束測試算例，優化結果如表4所示。上述表中加粗部分代表各算例的最優結果。

表3 中低維標準約束測試算例優化結果Table 3 Optimization results of middle and low dimension constrained numerical benchmark problems

圖6 中低維算例優化過程迭代曲線Fig.6 Convergence history curves for middle and low dimension constrained numerical examples

表4 高維標準約束測試算例優化結果Table 4 Optimization results of high dimension constrained numerical benchmark problems

對于中低維測試算例，在給定的模型調用次數限制下，FMPS-DCP都存在達到最優解目標值的優化結果；而CiMPS只有算例G24可以達到最優解目標值，Extended ConstrLMSRBF除SR7與G1外，其余算例都存在達到最優解目標值的優化結果。FMPS-DCP與CiMPS和Extended ConstrLMSRBF相比，收斂性更好，且遠優于CiMPS。CiMPS通常在目標函數調用次數未達到最大次數前，約束函數調用次數已達到最大值，無法收斂到最優解，表明CiMPS難以求解高耗時約束優化問題。FMPS-DCP的模型調用次數均遠少于CiMPS算法，且小于Extended ConstrLMSRBF，特別是SR7、G6與G24問題，FMPS-DCP算法優化效率具有顯著優勢；對于PVD4問題，FMPS-DCP未達到最優解目標值的次數略多于Extended ConstrLMSRBF，但是上述差異在工程優化領域可以忽略。在魯棒性方面，因為對于大多數問題，CiMPS均無法達到最優解目標值，本文只對比FMPS-DCP與Extended ConstrLMSRBF。對于所有的算例，FMPS-DCP算法的標準差均小于Extended ConstrLMSRBF，說明FMPS-DCP具有更好的魯棒性。上述優化結果表明，本文提出的FMPS-DCP算法達到給定最優解目標值所需的模型調用次數更少且魯棒性更好，從而證明了FMPS-DCP設計空間智能探索方法具有更好的優化效率與魯棒性。

對于G1和G24問題，MPS-DCP收斂速度隨優化進行明顯降低，甚至無法收斂到最優解目標值；FMPS-DCP在優化初期性能優于MPS-DCP且可快速收斂到最優解目標值。上述結果表明在MPS框架中僅通過簡單罰函數法難以有效處理高耗時約束，本文FMPS-DCP方法采用的約束處理策略與新增樣本點選擇策略可以引導優化過程快速向全局可行最優解收斂，從而驗證了FMPS-DCP中高耗時約束處理策略和代理模型更新管理機制的有效性與各部分策略之間的相互適應性。

對于高維測試算例，本文提出的FMPS-DCP算法可以快速收斂到全局最優解，最優性明顯優于KRG-CDE，最優解標準差更小，表明FMPS-DCP可用于求解高維問題且魯棒性較好。

2) 調節參數影響性分析

影響算法性能的調節參數，包括序列新增樣本點數ns、閾值參數Tcoincide和Tfail。對于PVD4、G1、G7和SR7問題，采用不同調節參數優化的迭代曲線如圖7所示，圖中與X軸平行虛線代表最優解目標值。

圖7 調節參數影響性分析Fig.7 Tuning parameters influence analysis

3.3.2 工程案例優化結果

FMPS-DCP與ARSM-ISES優化結果如表5所示，其中ARSM-ISES優化結果引自文獻[31]。FMPS-DCP與ARSM-ISES優化后的設計變量與約束條件如表6與表7所示。

由表6與表7可以看出，與初始設計方案相比，兩種算法優化后的設計變量均有明顯調整，約束條件均在約束容差范圍內滿足要求，表明了優化結果的可行性，其中，放電深度與X/Y方向一階彎曲頻率均成為主動約束，表明了優化結果的最優性。由表5可以看出，FMPS-DCP方法優化后的整星質量為2 357.7 kg，與初始設計方案相比減少了186.2 kg，降低了約7.32%；該結果與ARSM-ISES方法優化結果2 358.6 kg相當，但是模型調用次數從1 200次降為200次，優化時間從34.3 h降為5.3 h，計算成本降低84.5%，有助于縮短全電推進衛星平臺的設計周期。上述結果驗證了FMPS-DCP設計空間智能探索方法求解包含高耗時約束的全電推進衛星平臺多學科設計優化問題的有效性與工程實用性。

表5 全電推進衛星平臺多學科設計優化問題優化結果

表6 全電推進衛星平臺多學科設計優化問題設計變量優化結果Table 6 Optimized design variables of all-electric satellite MDO problem

表7 全電推進衛星平臺多學科設計優化問題優化后的約束條件Table 7 Optimized constraint values of all-electric satellite MDO problem

4 結 論

1) 針對高耗時約束優化問題求解復雜，計算成本高的難題，本文提出了一種基于過濾器的MPS-DCP設計空間智能探索方法。在通過訓練RBFN預測目標函數與約束條件響應值并應用KS方程法構造約束違背度函數的基礎上，定制了一套新增樣本點選擇策略引導優化過程快速向全局可行最優解收斂，從而提高求解高耗時約束優化問題的效率。

2) 標準約束測試算例與優化結果表明，與CiMPS、Extended ConstrLMSRBF和KRG-CDE方法相比，FMPS-DCP方法具有更好的優化效率與魯棒性。全電推進衛星平臺多學科設計優化問題求解結果表明，FMPS-DCP方法具有較好的工程實用性。

3) 未來將進一步探索模型特征驅動的優化策略研究，進一步提高飛行器系統設計的優化效率。