考慮負荷的大規模DG系統的建模與同步穩定性

伍 娟，周 洪，余 昶

（武漢大學電氣與自動化學院，武漢 430072）

靠近負荷端、可靠性高的、環境友好型的分布式發電DG（distributed generation）是電網研究領域的熱點[1-3]。分布式發電可以降低輸配電損耗，并有并網運行和孤島運行兩種模式，采用這種發電方式，大規模停電事故的發生頻率能得到有效的降低，電網的安全性和可靠性可得到提高。如風能、太陽能等環保的可再生能源技術的發展推動了分布式發電技術的前進[4-5]。然而可再生能源能量密度較低，需要大規模采集才能有效利用。而目前部分對于分布式系統的研究中，其對象都是單個DG或較少數目的DG系統[6-7]。然而系統的DG節點數越多，系統的運行狀況越復雜，傳統的單個或有限多個DG的穩定性分析方法不適用于大規模分布式發電系統中。文獻[3]對大規模分布式發電系統的穩定性進行了仿真分析，但其研究對象是均勻場網絡。而根據實際情況來看，DG節點之間的耦合強度受到節點電壓、線路阻抗、下垂系數等多個因素的影響，簡單的假設耦合強度都相等顯然有些不符合實際。現分布式發電裝置與家庭用戶結合起來構成產消者，因此本文在建立系統數學模型時考慮了節點負荷。

從目前的研究來看，Kuramoto模型是研究電網同步穩定問題的熱點模型。分析Kuramoto模型的同步穩定性質的普遍途徑是利用矩陣和Lyapunov函數等方法[8-9]。然而這些方法推導出的參數條件中往往含有矩陣的特征值，而大規模網絡的矩陣較為復雜，因此該方法不太適用于大規模分布式發電系統的同步穩定性研究。應用梯度系統和?ojasiewicz不等式的相關知識可以改進研究結果，并且方便計算。文獻[10]改進了文獻[11-12]的結果，將頻率同步的初始相位條件擴展到整個圓上。文獻[13]通過梯度和?ojasiewicz不等式揭示了勢與梯度之間的關系，解決電網的暫態穩定性問題。文獻[14]通過?ojasiewicz不等式來說明系統的同步條件和同步速率。文獻[15]基于梯度公式和能量計算來探討電網的暫態穩定性問題，研究了非均勻Kuramoto模型的同步問題。然而目前將其運用到分布式發電系統中的相關研究較少。

不同于對單個DG或小規模DG系統的研究，本文的研究對象為非均勻場大規模分布式發電系統，在考慮節點負荷的情況下對系統的穩定性進行了研究。通過推導得到了系統在半圓上鎖相的必要條件，并利用?ojasiewicz不等式證明系統達到平衡點的速度是指數的。通過3種網絡拓撲的穩定過程的仿真來驗證結論的有效性，并比較了3種網絡拓撲的同步能力的優劣。最后根據仿真結果設計了一個微電網算例，并通過其仿真結果得到可通過調節系統參數來提高系統的同步程度的結論。

1 分布式發電系統網絡結構

現有低壓配電網接線網絡中應用廣泛的星形網絡、樹形網絡以及環形網絡3種結構[16-18]如圖1所示。星形結構的特點是引出線發生故障時互不影響，供電可靠性高，但其使用開關設備和導線較多，用于設備容量大或負荷性質重要、潮濕及腐蝕性環境。樹形網絡采用的開關設備較少，比較經濟，但干線故障時影響范圍大，供電可靠性低，因此一般與星形網絡混合應用，適用于機械加工車間、機修或工具車間[18]。環形網絡的供電可靠性最高，并且電能損耗和電壓損耗較小，適合對電能質量要求較高的用戶[19-20]。

圖1 低壓配電網接線網絡Fig.1 Wiring network of low-voltage distribution network

大規模DG并網可以基于現有配電網，無需進行多余改造，可降低成本。根據傳統配電網的結構來構建大規模DG并入電網的結構，并考慮每個DG帶有節點負荷，其拓撲如圖2所示。

圖2 帶有節點負荷的分布式發電系統Fig.2 Distributed generation system with node load

2 分布式發電系統數學建模及分析

2.1 系統數學建模

對于一個含有N個節點耦合的網絡，第i個節點發出的有功功率為

式中：Pi為第i個節點的有功功率；Ei為第i個節點的電壓；Ej為第j個節點節點電壓；Yij為第i個節點與第j個節點之間的導納；θi和θj分別為第i個節點與第j個節點的相位。

對第i個節點采用f-P下垂控制，則有

式中：ωi為第i個節點的頻率；ω0為無阻尼自然振蕩角頻率；ωθ為參考點的頻率；Pθ為參考點的功率；mi為下垂系數。

考慮每個DG節點帶有負荷，那么上式改為

式中，Ploadi為第i個節點的負荷消耗的有功功率。

為了更具一般性，設節點負荷的阻抗值為

功率因數角為

那么有如下推導過程。

所以第i個節點的負荷消耗的有功功率為

綜上可得帶有負荷的節點的數學模型為

2.2 系統同步穩定性分析

本小節將對系統（8）的同步條件進行相關探究。首先對相關的同步定義以及使用的數學工具進行介紹。

2.2.1 同步概念及?ojasiewicz不等式

（1）稱整個系統漸近達到鎖相狀態，若相對相位差收斂為某個常數，即

（2）稱整個系統漸近達到相位同步狀態，若相對相位差收斂為0，即

定義3.2[3，8]：為了描述整個系統的同步程度，定義序參量

式中，ψ為整個系統節點的平均相位。0≤r≤1，當r=0時，整個系統處于完全不同步狀態；當r=1，所有節點的相位完全相同。因此可以根據r的大小來判斷整個系統節點相位的同步程度。

2.2.2 同步穩定性分析

證明：對所有節點的瞬時頻率求和可得

因此，系統達到鎖相狀態的必要條件為

由引理3.7，可得到系統（8）的位勢函數為

根據泰勒公式可得如下化簡過程：

考慮 ?f(θ)的無窮范數

因為 ?(θ*)為θ*的足夠小鄰域，因此有

因此，存在常數0＜μ1＜μ2，使得下式成立：

綜上可得，

因此，系統（8）收斂到鎖相狀態的速率是指數的。

3 仿真分析

3.1 非均勻網絡收斂為鎖相狀態

設網絡節點數為200，并設所有節點的固有頻率ωi是均值為0、在區間( )-0.1,0.1之間的隨機分布，負荷的有功功率Pi是均值為0.1、在區間( )0,0.2之間的隨機分布，那么Ω=-0.1。現考察兩種情況下3種網絡的穩定性。

情況1：設節點之間的耦合強度aij是初始值為0.3、差值為0.3的等差數列，即對于所有節點都滿足條件（10）。

圖3 情況1下3種網絡的節點頻率Fig.3 Node frequencies of three networks in Case 1

圖4 情況2下3種網絡的節點頻率Fig.4 Node frequencies of three networks in Case 2

3.2 非均勻網絡收斂為同步狀態

依然設網絡節點數為200，所有節點的固有頻率ωi是均值為0、在區間( )-0.1，0.1之間的隨機分布，每個節點的有功功率為Pi=ωi+0.1，節點之間的耦合強度aij呈冪律分布。3種網絡節點的相位同步過程如圖5所示。由圖可知，經過不等時間的運動后，3種網絡所有節點的相位會聚集到相同的位置，即達到相位同步狀態，且頻率會收斂到-0.1。結合4.1節和4.2節的仿真結果可知，系統所有節點的參數ωi-Pi都相等是系統能夠達到相位同步的必要條件，且頻率最終會收斂到ωi-Pi。本小節的仿真結果驗證了推論3.6。

圖5 相位穩定過程Fig.5 Phase stabilization process

3.3 3種網絡同步穩定性比較

為了在相同的條件下對3種網絡進行比較，現設所有節點的ωi-Pi=0，節點之間的耦合強度aij都相同，為了方便本小節設其為1。通過4.2節可知，在此參數條件下，3種網絡經過不同的過渡時間都能達到相位同步，過渡時間也是網絡結構在穩定速度方面的體現，因此將過渡時間也納為穩定性比較的考察指標。不同規模的3種網絡的序參量變化過程及過渡時間分別如圖6及表1所示。

圖6 序參量Fig.6 Order parameter

表1 不同規模下網絡的過渡時間Tab.1 Transition time of networks at different scales

由圖6和表1可知，網絡規模的大小對星形網絡的過渡時間影響不大，而環形網絡與樹形網絡的過渡時間則隨著節點數的增多而明顯變長。并且從表1中可以看出，在相同的網絡規模下，星形網絡的過渡時間遠遠小于環形網絡和樹形網絡，樹形網絡的過渡時間最長。

接下來探究在上述相同參數條件下，網絡達到完全相位同步狀態所需的臨界耦合強度與網絡規模的關系。為了使所有參數條件一致，取過渡時間為20 s，不同規模下網絡達到完全相位同步所需的耦合強度如表2所示。星形網絡的序參量受網絡規模的影響不大，且相位完全同步所需的耦合強度與節點數無明顯關系；而環形網絡與樹形網絡所需耦合強度隨節點數增多而增大。且在相同節點數時，星形網絡的所需耦合強度最小，樹形網絡最大。

表2 序參量為1時耦合強度的值Tab.2 Value of coupling strength when the order parameter is 1

綜上所述，星形網絡需要較少的過渡時間達到相位穩定，所需的臨界耦合強度也較小，并且穩定性不受網絡規模的影響，因此為3種網絡中的最優網絡。而樹形網絡的過渡時間以及臨界耦合強度較其他兩種網絡而言都較大，因此樹形網絡的同步穩定性是最差的。

4 算例分析

通過前面的仿真，可知在相同的參數情況下，星形網絡的同步穩定性是3種網絡中最優的一種。綜合考慮經濟因素與系統安全性，本文給出了如下一種星形與樹形結合的低壓微電網系統，其結構及相應數據如圖7所示。設節點處的電壓值均為220 V，下垂系數為10-5。不同線型有不同的阻抗值，那么根據系統參數及系統拓撲結構，各相鄰節點之間共有4種不同的線路導納值，這4種節點之間導納值及耦合強度的計算結果如表3所示。設負荷的有功功率Pi是均值為0.1、在區間(0 ,0.2)之間的隨機分布，ωi是均值為0、在區間(- 0.1,0.1)之間的隨機分布，所有節點都滿足條件（10）。該系統的頻率及相位變化過程如圖8所示。系統收斂為鎖相狀態，該結果再次驗證了定理3.5。

圖7 低壓微電網算例Fig.7 Example of low-voltage microgrid

圖8 系統的參量變化過程Fig.8 Changing process of system parameters

表3 節點間的阻抗值及耦合強度Tab.3 Impedance and coupling strength values between two nodes

圖9 算例序參量Fig.9 Order parameter of the example

5 結語

本文主要研究了帶有節點負荷的大規模非均勻分布式發電系統的同步穩定性。介紹了低壓配電網的3種網絡拓撲結構及其優缺點，并由其得到帶有節點負荷的分布式發電系統的網絡拓撲結構。通過數學推導，得到系統頻率在半圓內達到鎖相狀態的必要條件，并利用梯度系統和?ojasiewicz不等式的相關知識得到系統頻率在1/4圓內時達到平衡點的速率是指數的。

對具有的相同耦合強度分布的3種網絡進行了頻率、相位以及序參量方面的比較與分析。根據仿真結果，在相同的條件下，星形網絡的過渡時間以及進入完全相位同步所需的臨界耦合強度都比環形網絡、樹形網絡小，星形網絡具有更優的同步穩定性。因此建議實際構建大規模分布式發電系統時可優先考慮星形網絡。