扭曲型材腹板曲面幾何模型研究

王全華 李培勇 呂 浩 張文杰

(武漢理工大學產業集團有限公司1) 武漢 430063) (武漢易華船舶設計有限公司2) 武漢 430063) (武漢理工大學交通學院3) 武漢 430063)

0 引 言

船舶上數量眾多的型材構件是支撐船體外板、保證船舶形狀和承受載荷的重要結構件，而且在腹板平面內具有彎曲形狀，還有少量的具有扭曲形狀，甚至是既彎又扭的彎扭構件.扭曲結構件主要分布在船艏或艉區域內.扭曲狀型材構件的出現，在結構形式上保證型材腹板與船體外板呈正交關系，使船體結構具有更大的承載能力，而且正交結構有利于型材構件和船體板的裝配，避免腹板與外板之間出現較小的裝配角度，影響裝配.

扭曲型材構件在艦船上使用較多，加工工藝復雜，缺乏專用加工設備，生產中一般通過人工操作壓力機借助特殊工裝完成.這種工作方式依賴于人工經驗，效率低，成本高，質量不夠穩定，因此，企業迫切希望研制出用于扭曲型材加工的自動化設備.為了實現這一目標，需要做很多工作，其中重要的一項是掌握扭曲型材的幾何特點.

彎扭構件常見的形式是箱形截面空間彎扭構件[1]，例如，中國國家體育館的鋼結構[2].不過，船舶扭曲構件和上述箱形截面空間彎扭構件的設計方法、幾何形狀表達方式等方面存在較大的差異.迄今，尚未看到相關的文獻資料.因此，需要針對船舶彎扭構件的幾何問題進行專項研究.

常用的船舶型材包括T型材、角鋼和球扁鋼等薄壁材料，其中角鋼和T型材由腹板和面板組成，球扁鋼則包括球頭和腹板.型材扭曲加工過程中，面板(或球頭)和腹板一起變形.根據裝配的要求，加工時一般以腹板曲面形狀符合設計要求作為加工目標，對面板形狀則不做專門要求.并且，由于薄壁型材腹板的厚度遠小于其平面尺寸，所以可忽略其厚度的影響.

文中以扭曲型材腹板曲面的幾何特征作為主要研究內容，分析了扭曲型材構件的截面特征，采用雙三次B樣條對腹板曲面進行幾何建模，從理論上證明了扭曲型材構件腹板曲面的任意橫剖線都是直線[3]，其腹板曲面具有直紋面特征，可以采用直紋面進行建模.

1 扭曲型材幾何特征分析

不考慮型材的板厚，在整數肋位剖切扭曲型材，見圖1.其剖面線具有以下特征：①腹板和面板剖線均屬于直線，長度分別為腹板高度和面板寬度；②面板剖線與腹板剖線垂直，腹板剖線與肋骨型線垂直.

圖1 扭曲型材剖面圖

分析扭曲縱向構件在不同肋位處的腹板剖線，可看出屬于異面直線.分別順次連接整數肋位腹板剖線上相應的兩個端點，得到型材構件的外口線和內口線，見圖2.其中外口線即型材與船體外板的裝配線.船舶設計時，通常只定義外口線與肋骨剖面交點的坐標，放樣時再確定內口線.

圖2 腹板的外口線和內口線

2 B樣條曲線曲面

B樣條曲面是張量積曲面，它是由兩個方向上的控制點網格、兩個節點矢量和單變量B樣條基函數的乘積定義的，其曲面方程為[4-6]

(1)

式中：Pi,j(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)為(1+n)×(1+m)的控制點陣列；Ni,p(u)為定義在節點矢量U上的p次B樣條基函數；Nj,p(v)為定義在節點矢量V上的q次B樣條基函數.節點矢量U和V為

(s=n+p+1)

(t=m+q+1)

B樣條曲面的反算是指已知一組矩形陣列的數據點，求解一個通過所有數據點的B樣條曲面.反算過程分為節點矢量的確定和控制點的計算，控制點的計算也可以轉化為兩步B樣條曲線控制點的計算.

3 扭曲型材構件腹板曲面的擬合

為了方便敘述，將坐標系統一為船體坐標系，即X方向為船長方向，船艏為正；Y方向為船寬方向，右舷為正；Z方向為型深方向，向上為正.將腹板剖線與水線面的夾角定義為扭曲角θ，見圖3.

圖3 扭曲角的定義

船舶設計時，通常只定義外口線與肋骨剖線交點Q的坐標，放樣時再確定內口上線對應的點Q′的坐標值.

(2)

因此對于扭曲型材的腹板，已知的數據點只有腹板外口線和內口線上的兩組數據點，見圖4中實心圓.

圖4 已知的數據點以及數據點的加密

欲用雙三次B樣條擬合腹板曲面，僅有兩組數據點不夠，需要對數據點加密.根據扭曲型材的剖面特征可知，其腹板在整數肋位處的剖線是直線，因此可在同一肋位上外口線和外口線上兩數據點之間做線性插值，生成n等分點，見圖5中空心圓.

對每一肋位的數據點都按同樣方式加密，最終得到(1+n)×(1+m)個數據點，記為Qi,j(i=0,1,…n;j=0,1,…,m),上述數據點中的任意一列數據點均為對應腹板剖線上的n等分點，因此對任何一列數據點，均存在以下關系：

(i=0,1,…n;j=0,1,…,m)

(3)

根據B樣條曲面的反算方法可知，腹板曲面控制點的反算分兩步：

步驟1擬合通過每列(1+n)個數據點的曲線，也就是腹板剖線，得到(1+m)組控制多邊形，每組控制多邊形含有(3+n)個控制點，記第一步反算得到的控制點為{Ri,j}(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m);

步驟2將第一步反算得到的控制點作為新的數據點，擬合通過每一組新數據點的曲線，得到(3+n)組控制多邊形，每組控制多邊形含有(3+m)個控制點，記最終的控制點為Pi,j(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2).

下面以某35 000 DWT散貨船的舷側縱桁為例進行說明.該船從船艉FR12到FR20在4 500 mm吃水處設有一扭曲縱桁，見圖5.采用圖5所述的方法在外口線和內口線之間做線性插值，生成n等分點.經過兩步反算得到控制點陣Pi,j(i=0,1,…,7;j=0,1,…,10)和腹板曲面.連接控制點得到8×11控制網格，最終擬合得到的腹板曲面見圖6.

蘄州城中有一小河，初為小溪，碧流如玉，兩岸楊柳依依，故名小柳河。流至荊王府水面漸寬，名為二郎河，注入長江成一道綠，如青龍戲水，直入云天。相傳吳承恩在荊王府中創作不朽名著《西游記》，每至疲憊困惑之時，便到河邊漫步，河風一吹，頓覺神清氣爽，靈感天降，有如二郎神君相助，故賜名二郎河。明亡清興，二郎河悄然易道，漸次消失，僅存上游小柳河溪水叮咚，清澈如故。

圖5 局部肋骨型線圖和舷側縱桁

圖6 擬合的腹板曲面

采用上述曲面方程，對腹板曲面進行插值，其中半肋位橫剖面(如10.5、11.5、…、17.5)與扭曲構件腹板曲面的交線見圖7.

圖7 中間肋位剖線

由圖7可知，半肋位腹板剖線都是直線，并且控制線上控制點的分布程度相同.隨機選擇了一些橫剖面進行計算，計算結果具有相同的特點，因此初步認為腹板曲面在任意橫剖面處的剖線都是直線.

4 腹板曲面任意橫剖線都是直線的證明

4.1 證明控制線都是直線且控制點分布均勻程度相同

對于第一步反算的控制點，由于加密后的每一列數據點Qi,j都是在原始的外口線和內口線相應數據點之間通過線性插值生成的n等分點，因此經過第一步反算得到的控制點Ri,j(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m)中的每一組控制點也是線性分布的，且分布均勻程度相同，即：

Ri,j=(1-ki)R0,j+kiRn+2,j

(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m)

(4)

由式(4)可知：

(i=0,1,…,n+2)

(5)

即上述控制點中的任意一行控制點都是第一組控制點和最后一組控制點的線性組合.

(6)

式中：

因為

Ri,j=(1-ki)R0,j+kiRn+2,j(i=0,1,…,n+2)

所以

(7)

即:

Pi,j=(1-ki)P0,j+kiPn+2,j

(i=0,1,…,n+2;j=0,1,…,m+2)

(8)

故每一個橫剖面上的一組控制點都是線性分布的，且分布情況相同，連接每一組控制點得到的控制線也都是直線.

4.2 證明腹板曲面任意橫剖線都是直線

根據B樣條曲面的正算算法有：

(9)

由B樣條基函數的規范性可知：

(10)

在v=vt的等參數曲線上取S(u1,vt)、S(u2,vt)和S(u2,vt)三點.

(11)

(12)

(13)

因為

所以

S(u1,vt)-S(u2,vt)∥S(u2,vt)-S(u3,vt)

故在v=vt的等參數曲線上，S(u1,vt)、S(u2,vt)和S(u2,vt)三點共線，命題得證.

扭曲型材構件腹板曲面的任意橫剖線都是直線的特征，對于扭曲加工過程中成形控制非常有意義，例如，腹板任意橫剖線對應的扭曲角可以很方便的用于成形檢測.

5 直紋面方程表達扭曲型材腹板曲面

扭曲型材腹板曲面在任意位置處的橫剖線都是長度為腹板高度的定長直線，在數學上，具備這種特征的曲面稱為直紋面.

對直紋面而言，當素線相互平行或相交時，形成的直紋面屬于單曲面(如圓柱面和錐面)，否則稱為扭曲面(如螺旋面和雙曲拋物面).船體扭曲型材腹板曲面是由腹板剖線沿著內口線和外口線運動形成的，由于不同肋位的腹板剖線屬于異面直線，既不平行也不相交，因此腹板曲面屬于扭曲面.

工程上，直紋面一般表達為

S(u,v)=(1-v)a(u)+vc(u)

(16)

即直紋面本質上就是表達直紋面的兩條邊界導線.對于扭曲型材的腹板曲面，母線是其腹板剖線，邊界導線是其外口線和內口線，擬合腹板曲面實際上就是擬合腹板曲面的內口線和外口線.若用3次B樣條方法擬合內口線和外口線，那么得到的腹板曲面實際上就是3×1次B樣條曲面.

以上文的扭曲縱桁腹板為例，采用三次B樣條擬合外口線和內口線，最終擬合的腹板曲面見圖8.

圖8 腹板曲面

為了了解B-樣條曲面和直紋面方程在擬合扭曲構件腹板曲面的差異，分別采用兩種方法進行插值.不失一般性，在半肋位剖面線上進行插值計算點，兩種方法的插值結果顯示，分別采用雙三次B樣條方法和直紋面方程分別擬合扭曲型材腹板曲面(取自由端邊界條件)，對應插值點的偏差均不超過0.01 mm，這種偏差在工程上可以忽略不計.但是比較兩種擬合方法的計算過程和計算量，顯然用直紋面擬合扭曲型材腹板曲面，過程更簡單，計算量更小，因此采用直紋面方程擬合扭曲型材的腹板曲面更為便捷.

6 結 論

1) 分析了扭曲型材構件的幾何特征，根據設計和制造的特點，將腹板曲面作為主要的研究對象.

2) 采用B樣條曲面對型材腹板曲面進行建模，模型結果顯示腹板曲面在任意橫剖面上的剖面線都是直線，并從理論上對此結論得以證明.

3) 扭曲型材腹板曲面具有直紋面的特征，可以采用直紋面方程進行建模，并以具體算例驗證了結論的正確性.