基于現代控制理論的飛機橫航向控制律設計研究

劉詩超，翁雪花，鄒俊俊，冷國旗

（1.海裝駐南昌地區軍事代表室，江西 南昌，330024;2.航空工業洪都，江西 南昌，330024）

0 引言

對于電傳飛機而言，飛行控制系統相當于人類的大腦，是至關重要的，而控制律設計作為飛行控制系統中的關鍵技術之一，受到設計人員的高度重視。

目前在工程實踐中使用的控制律設計方法，為調參法?？刂坡梢话悴捎肞ID結構，參數設計采用極點配置方法、根軌跡分析法等較為經典的方法。隨著新型飛行器的不斷出現，控制律設計所面臨的挑戰不斷增加，現代控制理論和方法的應用研究越來越受到關注和重視。

本文研究幾個具有工程應用前景的控制方法：線性二次型最優控制方法、特征結構配置方法和動態逆方法。

1 控制律設計

本文以某型教練機5km、0.3M狀態點為例，應用線性二次型最優控制方法、特征結構配置方法及動態逆方法對飛機橫航向控制律設計進行研究。

1.1 線性二次型最優控制方法

線性二次型最優控制方法的研究始于20世紀60年代，是一種最優控制系統設計方法。該方法以線性系統為對象，取狀態變量和控制變量的二次型函數的積分作為性能指標函數，尋找狀態線性反饋控制律，使得性能指標函數最優。該方法能生成一個簡單的狀態反饋控制律，易于計算和工程實現。

1.1.1 方法描述

對于系統

其中，x為n維狀態向量；u為r維輸入向量，y為m維輸出向量；A為n×n維的常數矩陣、B為n×r維的常數矩陣、C為m×n維的常數矩陣、D為m×r維的常數矩陣。

其狀態反饋控制律為

假設能控且可觀的線性定常系統，設計最優控制律u（t），使得性能指標J取極小值：

其中，Q為n×n維半正定的狀態加權矩陣、R為r×r維正定的控制加權矩陣，常選為對角線矩陣。

根據線性最優控制理論，使得J取極小值的控制律u（t）存在且唯一地由式（4）確定：

式中，P為對稱矩陣，且滿足黎卡提（Riccati）方程：

則控制系統的全狀態反饋增益K計算如下：

1.1.2 設計

針對飛機橫航向控制律的設計，選取狀態變量x=[βωxωyγ]，n=4，控制輸入為u=[δxδy]，得到相對應的飛機狀態空間表達式。

首先驗證系統的能控能觀性。

對多輸入系統，其能控的充分必要條件是能控性矩陣

的秩為n。

其能觀的充分必要條件是能觀性矩陣

的秩為n。

通過上述判據，驗證0503狀態點的狀態方程具有能控能觀性，滿足設計前提。

其次，要選取合適的加權矩陣Q和R。

Q和R是狀態向量和輸入向量的加權矩陣，兩者取值與系統的性能相關，通過反復取值計算仿真，觀察仿真結果，綜合考慮系統動態性能指標，選取Q、R矩陣如下：

再由A、B、Q、R求解黎卡提矩陣微分方程，得到黎卡提矩陣P，由P求得反饋增益矩陣K。這里利用MATLAB工具箱提供的lqr()函數，調用格式為K=lqr（A，B，Q，R），可得到反饋矩陣K如下：

1.2 特征結構配置方法

特征結構配置方法是20世紀60年代發展起來的一種基于時間域的多變量系統設計方法。該方法根據要求選擇適當的特征值和特征向量，使系統達到期望的動態響應特性，類似于經典控制理論中的零極點配置。在特征結構配置技術中，特征值用于閉環系統的穩定，特征向量用于動態響應的解耦，兩者一起保證系統的動態性能。

1.2.1 方法描述

對于系統式（1），其狀態反饋控制律為

則有

其中，K∈Rr×n、G∈Rn×n。若G具有n個互異特征值λi，i=1，2，K，n，對應的特征向量為vi，則有

特征結構配置方法即是尋找K，使得G即（A+BK）含有規定的特征值和特征向量。

1.2.2 設計

首先選擇期望的特征值和特征向量。

依據GJB 185-86一級標準，選擇荷蘭滾特征根為-2.5±2.5i，對應的荷蘭滾阻尼比為0.7071，荷蘭滾頻率為3.5355，滾轉模態特征根為-3，對應的滾轉模態時間常數為0.33，螺旋特征根為-0.002，對應的螺旋模態倍幅時間為500，則期望的特征值：

其中“×”表示未受約束（即任意的）項，而所有其他值（包括“0”）表示嚴格的特征向量約束。

由于矩陣B的秩為r（r=2），小于n，引入線性變換T，使得B變換后的秩為n，則

綜上，通過計算，可得到基于特征結構配置的反饋矩陣K為

1.3 動態逆方法

動態逆方法又被稱為“反饋線性法”，始于20世紀70、80年代，是建立在逆系統理論基礎上的一種方法，其實質是用期望的動態環節，通過代數運算，替代原系統中存在的不符合期望的動態環節，使系統輸出為期望的動態環節。

1.3.1 方法描述

假設有非線性系統

其中x是狀態向量，u是控制向量。

假設g（x）可逆，則通過求逆，當控制律為

1.3.2 設計

根據橫航向控制的目的，選擇的控制變量為β和ωx，則飛機方程簡化為

其中，A為4×4維常數矩陣，B為4×2維常數矩陣，則

一般希望飛機響應為一階慣性環節，因此這里構造期望的動態特性為

其中，βc和ωc為側滑角和滾轉角速率指令。

根據時標分離原則及快慢回路間帶寬的選擇要求，其帶寬設計為wβ=2rad/s,wx=10rad/s，則有

通過計算，可得基于動態逆方法的反饋控制律為

2 仿真分析

基于上述方法得到的控制律，在MATLAB Simulink下搭建模型，該模型包括控制系統、作動器和飛機方程，框圖如圖1所示。

圖1 仿真模型示意圖

分別給出10°/s的滾轉角速率指令和1°的側滑角指令，三種方法仿真結果如圖2、圖3所示。

圖2 橫向仿真結果對比

圖3 航向仿真結果對比

由上述對比結果可知，當給定10°/s滾轉角速率指令時，最優控制方法和動態逆方法的響應速度較特征結構配置的快，但最優控制方法存在超調，而另兩種方法均能平滑跟蹤指令，三者的穩態誤差均幾乎為零，特征結構配置方法的橫航向解耦效果最優；當給定1°側滑角指令時，三種方法的響應速度相當，最優控制方法存在超調，動態逆方法給定側滑角同時產生的滾轉角速率較大，解耦效果較前兩者差。

設置20%的飛機模型擾動，給出10°/s的滾轉角速率指令和1°的側滑角指令，三種方法仿真結果如圖4、圖5所示。

圖4 橫向仿真結果對比（帶擾動）

圖5 航向仿真結果對比（帶擾動）

擾動時，給定10°/s滾轉角速率指令時，三種方法都能很好地跟蹤指令，最優控制方法略微超調，三者的穩態誤差均幾乎為零；給定1°側滑指令時，特征結構配置方法和最優控制方法的側滑角存在穩態誤差。由此可知，三種方法的抗擾動能力相當。

3 結語

本文研究基于現代控制理論方法的飛機橫航向控制律設計，其中運用具有工程意義的線性二次型最優控制方法、特征結構配置方法和動態逆方法，以某型教練機5km、0.3M狀態點為例，進行橫航向控制律設計，搭建Simulink模型，仿真分析并驗證。通過仿真結果可知，線性二次型最優控制方法，響應速度快，但存在一定的超調；特征結構配置方法能夠平滑較快地跟蹤指令，且穩態誤差幾乎為零，較好地實現了橫航向解耦；動態逆方法能夠平滑較快地跟蹤指令，且穩態誤差幾乎為零，其給定橫向指令時，能夠較好地實現橫航向解耦，但當給定航向指令時，橫航向解耦效果較差。

綜上，線性二次型最優控制方法設計過程最為簡單，MATLAB中有函數工具，可直接得到反饋控制律，但其最關鍵的問題是性能指標中Q和R的選擇，Q和R的值并沒有理論依據，設計過程中需要不斷試湊，觀察仿真結果來調節Q和R，直至達到期望的仿真結果。

特征結構配置方法的計算過程比較復雜，尤其還涉及復根，選擇不同的特征根和特征向量得到的反饋控制律也不同，后期飛行品質計算結果也會受影響，可根據飛行品質計算結果適當調節特征根，使得其動態特性和品質都符合要求。

狀態反饋動態逆方法得到的反饋增益偏大，對飛機穩定性影響較大，后期要根據穩定儲備的計算加以修正。

較經典理論而言，基于現代控制理論的全狀態反饋方法能夠一次性求出反饋系數，后續可根據相關飛行品質計算調整個別參數，縮短了控制律設計的時間，提高了效率。