短線法節段預制橋梁幾何線形控制的坐標變換方法研究

時學軍

(中鐵第四勘察設計院集團有限公司,武漢 430063)

1 概述

隨著橋梁施工技術的發展，短線法橋梁節段預制拼裝施工具有預制用地少、自動化程度高、運輸方便、工期短等優點，在橋梁建設中的應用越來越廣泛[1-4]。在基于短線法的橋梁節段預制施工過程中，需根據設計線形控制每個節段在匹配位置的空間位置和姿態，從而保證拼裝后的線形滿足設計和施工要求[5-6]。然而，在節段預制施工過程中，受到測量誤差、模板誤差、溫度變化等多種因素綜合影響，節段的實際位置與理論位置不可避免地存在偏差[7-9]。由于節段預制完成后線形將不可調，因此，高精度幾何線形控制是短線法節段預制橋梁施工過程中的一項重要工作[10-12]。

在短線法節段預制橋梁幾何線形控制過程中，通過測量澆筑在節段上的控制點坐標來計算節段從澆筑位置移動到匹配位置的幾何變換關系，然后評定節段在匹配位置與理論設計位置的偏差，進而對下一節段進行相應的修正，控制誤差的累積，保持線形的準確性[13-14]。由此可知，控制點坐標準確的空間變化方法尤為重要，是節段預制幾何線形控制的關鍵因素[15]。侍剛和周凌宇等[16-17]在節段預制過程中利用6個轉換參數(3個平移參數、3個旋轉參數)實現2個坐標系間的空間轉換，忽略了尺度參數。黃躍等[18]考慮了尺度參數，利用基于7參數的Bursa模型[19]進行節段坐標變換，然而Bursa模型是一個近似的簡化線性模型，只適用于微小旋轉角的坐標系變換[20]，不適用于角度較大的曲線型橋梁。

從節段不同階段間坐標空間變換的原理出發，同時考慮3個平移參數、3個旋轉參數和1個尺度參數，詳細推導非線性最小二乘平差計算轉換參數的方法，該轉換方法適用于任意旋轉角度間的坐標轉換。同時，將該方法在鄭許市域鐵路許昌段項目中進行實際應用，驗證該方法的有效性。

2 幾何線形控制方法

圖1 短線法節段預制平面示意

將已澆筑好的節段n移動到其理論設計位置時，由于受到測量誤差、人工操作、溫度等各種因素綜合影響，節段n無法精確移動到理論位置，不可避免地存在偏差。為保證橋梁整體線形符合設計要求，需對節段n進行誤差分析，然后對待澆節段n+1進行糾偏處理，防止誤差累積，短線法幾何線形控制流程如圖2所示。

圖2 短線法幾何線形控制流程

3 空間坐標變換方法

3.1 空間坐標轉換模型

短線法橋梁節段預制過程中關鍵是控制點坐標的空間變換，是進行后續誤差分析與糾偏處理的基礎。對空間坐標變換采用7參數模型：3個平移參數(ΔX，ΔY，ΔZ)、3個旋轉參數(εx，εy，εz)和1個尺度參數K。ΔX，ΔY，ΔZ分別為X，Y，Z方向上的平移量，εx，εy，εz分別為繞X，Y，Z軸的旋轉角度。由于節段從澆筑位置移動到匹配位置后，受到混凝土硬化與溫度等因素影響，節段尺寸也會發生微小的變化，因此，尺度參數K也納入坐標變換模型。基于7參數的空間坐標轉換模型如式(1)所示

(1)

式中，(X1，Y1，Z1)為節段在澆筑位置時控制點的坐標；(X2，Y2，Z2)為節段移動到匹配位置后對應的控制點坐標；R(ε)為旋轉矩陣。R(ε)的構建過程如下：首先將坐標軸繞X軸逆時針旋轉εx，構建旋轉矩陣R(εx)；再將坐標軸繞新的Y軸逆時針旋轉εy，構建旋轉矩陣R(εy)；最后將坐標軸繞新的Z軸逆時針旋轉εz，構建旋轉矩陣R(εz)。3次旋轉變換合并得到旋轉矩陣R(ε)

R(ε)=R(εz)R(εy)R(εx)

(2)

其中

(3)

(4)

(5)

因此

(6)

顯然，式(6)代入式(1)是一個非線性方程，對于Bursa模型，認為εx，εy，εz的值很小，利用sinεx≈εx，sinεy≈εy，sinεz≈εz，cosεx≈1，cosεy≈1，cosεz≈1，sinεxsinεy≈0，sinεxsinεz≈0，sinεysinεz≈0進行近似替代，所以式(6)可以簡化為

(7)

Bursa模型將簡化后的旋轉矩陣R(ε)代入式(1)則轉換為線性方程，方便利用最小二乘進行間接平差求解計算轉換7參數。

3.2 非線性最小二乘法平差

(8)

式中，dX，dY，dZ為平移參數的改正數；dK為尺度參數的改正數；dεx，dεy，dεz為旋轉參數的改正數，dR為旋轉矩陣的微分，其中

(9)

r11=-sinεycosεzdεy-cosεysinεzdεz

(10)

r12=(-sinεxsinεz+cosεxsinεycosεz)dεx+

sinεxcosεycosεzdεy+

(cosεxcosεz-sinεxsinεysinεz)dεz

(11)

r13=(cosεxsinεz+sinεxsinεycosεz)dεx-

cosεxcosεycosεzdεy+

(sinεxcosεz+cosεxsinεysinεz)dεz

(12)

r21=sinεysinεzdεy-cosεycosεzdεz

(13)

r22=-(sinεxcosεz+cosεxsinεysinεz)dεx-

sinεxcosεysinεzdεy-

(cosεxsinεz+sinεxsinεycosεz)dεz

(14)

r23=(cosεxcosεz-sinεxsinεysinεz)dεx+

cosεxcosεysinεzdεy-

(sinεxsinεz-cosεxsinεycosεz)dεz

(15)

r31=cosεydεy

(16)

r32=-cosεxcosεydεx+sinεxsinεydεy

(17)

r33=-sinεxcosεydεx-cosεxsinεydεy

(18)

式(8)依據間接平差方法可列誤差方程如下

(19)

(20)

其中

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

z33=0

(31)

在式(19)中，li為自由項矩陣，表示為

(32)

間接法平差得到參數改正數結果

(33)

式中，P為權系數矩陣，默認P=E，另外有

(34)

3.3 轉換參數計算過程

利用最小二乘法直接平差計算得到7參數X=[ΔX，ΔY，ΔZ，K，εx，εy，εz]T的步驟如下：

(1)給定參數初值X0=[0，0，0，1，0，0，0]T；

(5)計算各控制點的轉換殘差，判斷是否有粗差點，如果有粗差點則剔除粗差點后返回步驟(1)重新迭代計算轉換參數。

平差得到轉換參數值后根據轉換參數計算匹配節段實際位置與理論位置的偏差，然后根據設計線形對下一節段進行糾偏處理，坐標轉換計算流程如圖3所示。

圖3 坐標轉換計算流程

4 工程應用實例

鄭許市域鐵路許昌段與鄭州機場至許昌市域鐵路工程鄭州段接軌，線路總長33.78 km，其中，地上線長29.76 km，地下線長4.02 km，線路最小曲線半徑800 m。該段線路橋梁采用后張法預應力混凝土雙線簡支箱梁，采用節段預制拼裝法施工。簡支箱梁分為12個節段進行拼接，首尾節段長度2.45 m，中間10個節段每段長度2.5 m。為進行自動化測量、數據分析計算、線形調整等工作，開發了基于安卓手機的應用程序，如圖4所示。每個節段上布設6個控制點，測量操作通過手機藍牙連接徠卡TS60全站儀進行測量。

圖4 手機控制程序界面

(35)

利用均方根誤差RMSE(Root Mean Square Error)，來評定坐標轉換算法的精度，節段n的RMSE值計算方式如下

(36)

式中，m為節段上控制點數量，本文m=6。對于鄭許市域鐵路許昌段某一直線橋梁，計算各節段RMSE值，將該方法與Bursa模型方法對比結果見表1。

表1 直線橋梁各節段RMSE mm

從表1可以看出，在直線段橋梁上，利用本文轉換算法各節段RMSE值均小于Bursa模型方法。該算法的節段RMSE平均值為1.39 mm，比Bursa模型小0.14 mm，精度提高了9%。對于某一曲線橋梁，同樣計算各節段RMSE值，將該方法與Bursa模型方法對比結果見表2。

表2 曲線橋梁各節段RMSE mm

從表2可以看出，在曲線段橋梁上，本算法的節段RMSE平均值為1.76 mm，Bursa模型方法平均值RMSE為2.12 mm，本算法平均RMSE減少0.36 mm，精度提高17%，提升效果明顯。本算法在曲線段上精度明顯高于Bursa模型算法，主要是由于曲線橋梁上節段從澆筑位置移動到匹配位置后的偏轉角度略大于直線橋梁，Bursa模型對小偏轉角的計算進行了簡化，而本算法采用嚴密的轉換處理，因此在曲線段橋梁節段預制過程中坐標轉換方法精度更高。

5 結語

常規基于Bursa模型的坐標轉換算法只適用于微小旋轉角的坐標轉換，在短線法節段預制橋梁的幾何線形控制過程中對于曲線形橋梁的坐標轉換處理存在較大的誤差。通過構建7參數坐標轉換模型，詳細推導了基于非線性最小二乘平差的參數求解過程，該方法適用于任意旋轉角度的坐標變換，能夠準確地對節段進行坐標變換，為節段誤差分析和糾偏處理奠定了基礎。該方法已經成功應用于鄭許市域鐵路許昌段的幾何線形控制項目中，結果表明：該方法在短線法節段預制橋梁幾何線形控制的坐標變換中具有高精度、高可靠性優勢，適用于各種線形類型的橋梁線形控制，尤其在曲線段橋梁上具有更高的轉換精度，能夠滿足實際生產過程中線形控制的精度要求。