基于多模態展開的黏彈性材料復縱波波速反演方法

黨仁俊，王 斌，范 軍

(上海交通大學高新船舶與深海開發裝備協同創新中心，海洋工程國家重點實驗室，上海200240)

0 引 言

聲學覆蓋層通常以橡膠等黏彈性阻尼材料作為基體，并在其中嵌入人工設計的特殊聲學結構,如空腔等，以提升低頻吸聲性能或使材料具有寬帶吸聲性能[1]。試驗測量[2]和數值模擬[3]在聲學覆蓋層的設計、評估和優化中均有著廣泛應用。隨著計算技術的飛速發展，數值模擬在效率和靈活性等方面的優勢，使其在覆蓋層的設計和優化階段發揮著越來越重要的作用。作為關鍵輸入參數，黏彈性材料動力學參數測量精度直接決定了聲學覆蓋層聲學性能數值模擬結果的精度。

通常，測量黏彈性材料動力學參數的方法可以分為力學方法和聲學方法。力學方法主要通過測量材料試樣的振動特性得到參數，如載荷質量法[4-5]、振動梁法[6-7]和動態黏彈譜儀法[8-9]。載荷質量法和振動梁法必須根據測試頻率來調節質量載荷或測試樣品長度，測試工作量較大；而動態黏彈譜儀的工作頻率在幾百赫茲以下，測試范圍有限。雖然一些改進或外推的方法可以幫助突破測試極限[10]，但對于泊松比趨于0.5的黏彈性材料，這些改進或外推的力學方法仍需要進一步的試驗驗證[11]。除此之外，在高靜水壓力的條件下力學方法的測量系統設計極為復雜。

相比之下，聲學方法更適合在高靜水壓力下(例如在聲管中)測量黏彈性材料的動力學參數。在過去的幾十年中，隨著柱形聲管測量技術在水聲領域中的發展，復反射系數的測量方法已經十分成熟，一些基于復反射系數的評估復縱波波速或波數的方法[12-13]逐漸涌現出來，它們共同之處在于均需使用復平面搜根求解復縱波波數超越方程。然而，復平面方程的多值性使得傳統搜根方法面臨兩個主要障礙，即計算效率較低，且需要本征值初值的先驗知識。總體而言，聲管測量被認為是獲得復縱波波速的有效解決方案，但如何快速、準確求解復縱波波速仍是一個待解決的問題。

針對這一問題，本文提出了一種基于多模態展開的復縱波波速反演方法，將測試樣品內部聲場多模態展開，推導出不同背襯條件下的展開系數系統矩陣，將復縱波波數復平面超越方程的搜根問題轉化為展開系數系統矩陣特征值分解問題，實現了黏彈性材料的復縱波波速快速、準確求解。

1 黏彈性材料的縱振動模型

考慮如圖1的聲管模型，聲學覆蓋層基底材料通常被認為是各向同性的黏彈性材料，制備的測試樣品放入聲管中測量復反射系數時，由于入射聲波可以近似為平面波垂直入射至樣品表面，測試樣品內僅有縱波傳播[12]，滿足波動方程

圖1 聲管模型Fig.1 Model of acoustic tube

2 多模態展開求解縱波波速

對于S-L問題，當函數滿足一階導數連續或者二階導數分段連續時，它可以展開為絕對、一致收斂的廣義傅里葉級數[18]。由于均勻測試樣品內部位移處處連續、滿足一階導數連續條件，因此內部聲場可以進行多模態正交展開，即

通過上述推導，將傳統方法中復縱波波數超越方程的復平面搜根問題轉化為求解展開系數矩陣特征值問題。對比超越方程復平面搜根，矩陣特征值分解計算效率更高、算法更成熟，例如 Matlab軟件中的eig()函數。雖然無法避免 S-L邊值問題固有的多值性，然而關于材料屬性的真值只有一個，可以采取如下措施篩選：(1) 在真值范圍已知、且特征值較為分散情況下，可以直接篩選出真值；(2) 在真值范圍未知或特征值較為集中情況下，利用真值不隨測試條件變化的性質，選擇不同類型的背襯或者不同厚度樣品測量反演對比篩選真值。

3 數值仿真驗證

為了避免聲管測量誤差對可行性結論的判斷，本節采用復反射系數或者表面導納解析解對基于多模態展開的復縱波波速反演方法進行驗證，其中三種背襯的均勻黏彈性材料表面導納理論公式[19]為

泊松比σ和密度ρ分別設置為 0.49和1 140 kg·m-3。考慮在實際測量中，樣品厚度一般不超過0.05 m，因此，在數值模擬中，分別計算厚度為0.01 m和0.05 m的樣品的復反射系數，計算頻率為 1～5 kHz，依據此結果對復縱波波速進行反演，截斷階次N均設置為500。

根據式(12a)計算自由背襯的表面導納，代入式(11)計算得到復縱波波數，取倒數乘以角頻率得到復縱波波速。圖2給出了復縱波波速反演值以及理論值隨頻率變化規律，實線表示復縱波波速理論值，十字為厚度0.01 m的樣品的復縱波波速反演值，圓圈則是厚度0.05 m樣品的復縱波波速反演值。

圖2 自由背襯不同厚度樣品縱波波速反演結果Fig.2 Inversion results of longitudinal wave velocity of free-backed samples with different thickness

可以看到，根據兩個厚度測試樣品復反射系數反演得到的復縱波波速值與復反射系數仿真時設定的復縱波波速值吻合較好，尤其是較厚測試的樣品。

類似的，根據式(12b)、(12c)分別計算剛性背襯、阻抗背襯情況下表面導納，代入式(9)計算得到復縱波波數以及復縱波波速，分別見圖3和圖4。其中，阻抗背襯則采用 0.05 m厚的結構鋼，密度ρ為7 850 kg·m-3、楊氏模量 E 為 2×1011Pa、泊松比σ為 0.3。值得注意的是，30～60 mm 厚的鋼柱不能視為剛性背襯[20]，否則復縱波波速反演誤差較大。

圖3 剛性背襯不同厚度樣品縱波波速反演結果Fig.3 Inversion results of longitudinal wave velocity of rigidbacked samples with different thickness

圖4 阻抗背襯不同厚度樣品縱波波速反演結果Fig.4 Inversion results of longitudinal wave velocity of impedance-backed samples with different thickness

通過對三種背襯情況下復反射系數仿真、復縱波波速反演發現，雖然不同厚度、背襯情況下測試樣品的復反射系數不同，但復縱波波速反演結果表現出了趨同性，與理論解吻合較好，說明基于多模態展開的復縱波波速反演方法是有效的。

4 誤差分析

作為一種基于多模態展開以及依賴試驗測量結果的反演方法，正交函數基有限項截斷誤差以及復反射系數測量誤差都會對復縱波波速反演精度產生影響，本節將對這兩種因素進行探究。定義復縱波波速相對誤差ε為

4.1 截斷階數N

圖5給出了不同厚度、頻率、背襯情況下復縱波波速反演相對誤差隨截斷階次變化規律，其中橫坐標為截斷階次、縱坐標為相對誤差對數值，即lgε，仿真參數與第3節相同。

可以看出，復縱波波速反演相對誤差隨截斷階次的增加而迅速降低，隨著截斷階次N增大、衰減率趨近于O( N-1)。若考慮將反演誤差控制在 1%以內，由圖5可知，在圖中所示的四種條件下，阻抗背襯和剛性背襯的截斷階次均取為100以上即可滿足要求；自由背襯的取值條件則相對復雜，對于厚度為0.01 m的薄樣品，N由低頻時的大于1 000逐漸降至高頻時的400左右，厚度為0.05 m的厚樣品則也僅需100以上的截斷階次即可滿足要求。

圖5 不同厚度、頻率、背襯情況下復縱波波速反演相對誤差隨截斷階次變化規律Fig.5 Relative error variation of velocity inversion with truncation order under different thicknesses,frequencies and backings

觀察圖 5，還可以發現，當樣品較薄、頻率較低時，剛性或阻抗背襯下復縱波波速反演相對誤差顯著小于自由背襯。這是由于：當趨近于0時，空氣、阻抗以及剛性三種背襯情況下測試樣品內部聲場沿厚度方向變化率分別趨近于1、和0，內部聲場沿厚度方向變化率越大、三角函數級數展開時需要的階數越多，即相同截斷階次情況下誤差更大。隨著樣品厚度、分析頻率增加，截斷階次相同的情況下三種背襯復縱波波速反演相對誤差此消彼長，取決于測試樣品內部聲場在濕表面的導數，最接近于0的背襯反演復縱波波速誤差最小。

4.2 復反射系數R*

在實際測量中，由于測試樣品制作工藝粗糙、加工不當或清潔不到位等導致樣品表面光潔度不一；安裝測試樣品時出現傾斜或與管壁有較大縫隙等偏差；水聽器安裝位置不精確、測量相位不一致等因素，聲管測量得到的復反射系數R*必然與真值存在一定誤差[12,19]。將復反射系數測量值R*表示為

其中：R0、φ0分別代表復反射系數幅值與相位的真值；α為誤差因子。需要注意的是，這里為了簡化分析而將模值與相位以同一參數進行變化。在實際試驗中，一般模值和相位會有著不同的測量誤差。

圖6給出不同背襯、厚度情況下復縱波波數反演相對誤差隨誤差因子與頻率的變化規律，采用等高線圖進行表述，各等高線標記已標于圖中。其中，橫軸為計算頻率，范圍為1 000～5 000 Hz，步長為100 Hz；縱軸為誤差因子α，范圍為-0.1～0.1，步長為0.01，其余計算參數與第3節相同。

觀察圖6可以發現，自由背襯下的結果與剛性背襯和阻抗背襯有著明顯區別，因此選擇了不同的等高線劃分進行描述。總體而言，隨著復反射系數測量誤差增加，復縱波波速反演誤差呈現增大趨勢；頻率越高，復縱波波速反演誤差對復反射系數測量誤差越敏感。自由背襯情況下，復縱波波速反演精度隨測試樣品厚度很敏感，相比之下剛性、阻抗背襯情況下復縱波波速反演結果更為穩健。本算例中，材料的薄厚也對結果有著影響，厚度較薄的材料(圖 6(b)和圖 6(c))，其誤差最大值僅有 0.08，即在復反射系數測量誤差為10%時，反演復縱波波速相對理論值僅有8%的誤差，但較厚材料(圖6(e)和圖6(f))的誤差可以達到20%。

圖6 不同背襯、厚度情況下復縱波波速反演相對誤差隨誤差因子和頻率的變化規律Fig.6 Variation of relative error of complex longitudinal wave velocity inversion with error factor and frequency under different backings and thicknesses

5 結 論

針對聲管測量得到的復反射系數或表面導納，本文提出了一種基于多模態展開的黏彈性材料復縱波波速反演方法。將測量樣品內部聲場多模態正交展開，推導出了三種背襯情況下關于展開系數的系統矩陣，以矩陣特征值分解代替復平面搜根，在計算效率上具有顯著優勢。復縱波波速反演相對誤差隨截斷階次增加而迅速減小，衰減率接近于O( N-1)。當測試樣品遠小于縱波波長時，自由背襯情況下復縱波波速反演誤差遠大于剛性或阻抗背襯。相對于自由背襯，剛性或阻抗背襯情況下復縱波波速反演結果更為穩健，對測量樣品厚度以及復反射系數測量誤差敏感度更低。

本文僅考慮了均勻黏彈性材料樣品的模型，但是在實際工程中，聲學覆蓋層一般具有內部結構，包括各式空腔等，即使平面波入射，覆蓋層內也存在橫波。針對這一問題，需要對材料的復剪切波速做進行進一步的探究，并提出更為貼近實際工況的測量方法。

附錄