一類Sylvester矩陣方程異類約束解的迭代算法

段復建，原 騰

（桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004）

Sylvester矩陣方程在控制理論、切換系統、擾動分析等［1－4］眾多領域有著廣泛的應用。近年來，很多學者對這類方程進行了研究，并取得了一些成果。如Wang等［5－8］研究了求線性矩陣方程一般解的迭代算法；彭卓華等［9－10］分別研究了求線性矩陣方程的中心對稱解、自反最佳逼近解的迭代算法；徐玉霞等［11］運用廣義奇異值分解和投影定理，研究了線性矩陣方程的對稱M對稱最佳逼近解。目前為止，對于Sylvester矩陣方程的異類約束解的研究相對較少。本文針對求解矩陣方程A1X1B1＋A2X2B2＋＝F的自反和雙對稱約束解問題，將方程等價轉化，使其轉化為具有自反和雙對稱約束的正規矩陣方程組，從而構建求其約束解的自適應共軛梯度算法。

用Rm×n表示m×n的實矩陣的集合，A?B表示矩陣A與B的Kronecker積，R（A）和（A）分別表示矩陣A的列空間和將矩陣A按行拉直構成的列向量。定義同階矩陣A與B的內積〈A，B〉＝tr（ATB），由此導出的矩陣的F范數為‖A‖＝。設P1，P2∈Rn×n是對稱正交矩陣，若X∈Rn×n滿足P1XP2＝X，則稱X為關于矩陣P1，P2的廣義自反矩陣。特別地，當P1＝P2＝P時，相應的廣義自反矩陣就是通常的自反矩陣，記關于矩陣P的自反矩陣的集合為。用ei表示單位矩陣的第i列，記S＝（en，en－1，…，e1），則有S2＝In，ST＝S，若X∈Rn×n滿足X＝XT＝SXS，則稱X為雙對稱矩陣，記n階雙對稱矩陣集合為BSRn×n。當，X2∈BSRn×n時，稱之為自反和雙對稱約束矩陣。

考慮Sylvester矩陣方程的以下2個問題，建立求式（1）所表示的方程的自反和雙對稱約束最小二乘解的自適應共軛梯度算法，并在約束解集中找到給定矩陣的最佳逼近矩陣。

問題1 設Ai，Ci∈Rm×n，Bi，Di∈Rn×l，F∈Rm×l，求，X2∈BSRn×n，使得

問題2用SE表示問題1的解的集合，給定X0∈Rn×n，在SE中求，使得

當式（1）所表示的方程有自反和雙對稱約束解時，稱式（1）是相容的，此時直接用共軛梯度算法求解式（1）的自反和雙對稱約束解；當式（1）沒有自反和雙對稱約束解時，稱式（1）是不相容的，此時不能直接對式（1）進行求解，通過構造等價轉化，將不相容的方程的自反和雙對稱約束解問題轉化為相容的方程組的約束解問題，此時即可求出式（1）的自反和雙對稱約束最小二乘解。為求解不相容情況下式（1）的約束最小二乘解，下面對問題1做等價轉化。

1 問題1的等價轉化

當式（1）所表示的方程不相容時，對它作等價轉化，將其轉化為具有自反和雙對稱約束的正規矩陣方程組。因此引入以下記號

g（X1，X2）與Q分別表示式（1）等價轉化為正規方程組的左端與右端，即轉化后的正規方程組可以表示為g（X1，X2）＝Q。

定理1求解問題1等價于求矩陣方程組

的自反和雙對稱約束解，且矩陣方程組（3）必有自反和雙對稱約束解。

證明當（P），X2∈BSRn×n時，有X1＝PX1P，＝SX2S。因此，求解X1∈，X2∈BSRn×n滿足式（2）等價于求解X1，X2∈BSRn×n使得

下證求極小值問題（4）的解等價于求方程組（3）的自反和雙對稱約束解。約定矩陣的乘積運算優先于矩陣的Kroncker積運算。引進記號xi＝。為簡單起見，記

其中Tm，n表示滿足的列交換矩陣。

令考慮線性矩陣方程組

可得求解極小值問題（4）的解等價于求解方程組（5）的最小二乘解。將式（5）按行拉直可得線性方程組Mx＝v，它的正規矩陣方程組為MTMx＝MTv，寫成矩陣形式即方程組（3）。因此求解問題1等價于求解方程組（3）的自反和雙對稱約束解。

再證方程組（3）有自反和雙對稱約束解。因為正規方程組MTMx＝MTv有解，所以矩陣方程組（3）有解。設為矩陣方程組（3）的一般解，則有＝Q。

2 求解問題1的自適應共軛梯度算法

參考文獻［12－15］中算法的基本原理，建立求解矩陣式（1）的自適應共軛梯度算法。在矩陣方程相容情況下進入外迭代算法，不相容情況下進入內迭代算法（步驟4～7）。下面建立求解式（1）的自反和雙對稱約束最小二乘解的自適應共軛梯度算法。

步驟1 給定初始矩陣∈BSRn×n，置k1，計算

步驟2 若Rk＝O，停止；否則繼續；

步驟3 若Zk≠O，轉步驟8；否則轉步驟4；

步驟4 取∈BSRn×n，置，計算

步驟5若＝O，停止；否則，計算

步驟6計算

步驟7置，轉步驟5；

步驟8計算

步驟9計算

步驟10置，轉步驟2。

注在求解式（1）的自反和雙對稱約束最小二乘解時，步驟4中的是算法在外迭代中斷時得到的矩陣，作為內迭代的初始矩陣。

性質1若是式（1）的自反和雙對稱約束解，對于任意選取的初始矩陣算法中的矩陣X（i），Ri，Zi（i＝1，2，…）滿足〈Zi，X*－X（i）〉＝

性質2若是問題1的解，即式（1）的自反和雙對稱約束最小二乘解，則對于算法外迭代中斷時得到的矩陣作為內迭代的初始矩陣，Y2∈BSRn×n，算法中的矩陣Y（i）（i＝1，2，…）滿足

性質3對于算法中的Ri，Zi，有

性質1～3的證明可參考文獻［14－15］。

定理2對任意選取的初始矩陣算法可在有限步計算后求得問題1的一組自反和雙對稱約束最小二乘解。

證明當矩陣方程相容時，若存在k≤n2使得Rk＝O，則是問題1的一組解；否則算法繼續進行，得到Rn2＋1，由矩陣基的性質和性質3可得R1，R2，…，Rn2構成有限維矩陣空間Rn×n的一組基且〈Rk，Rn2＋1〉＝0（k＝1，2，…，n2），因此Rn2＋1＝O，即，是問題1的一組解，也就是式（1）的一組自反和雙對稱約束解。

綜上，無論矩陣方程是否相容，問題1的解都可在有限步計算后得到。

定理3式（1）不相容的充要條件是在算法中存在正整數k，使得Rk≠O，而Zk＝O。

證明充分性 當Rk≠O且Zk≠O時，此時進入外迭代算法，那么式（1）是相容的。因此當Rk≠O，而Zk＝O時，式（1）不相容。

必要性 利用反證法。若對任意的正整數k，當Rk≠O時都有Zk≠O，由外迭代算法可在有限步計算后求得式（1）的一組自反和雙對稱約束解，與題設式（1）不相容矛盾。因此存在正整數k，使得Rk≠O，而Zk＝O，故結論成立。

引理［15］設A∈Rm×n，b∈Rm，線性方程組Ax＝b有解，則Ax＝b的唯一極小范數解在R（AT）中，而且在R（AT）中只有Ax＝b的一個解。

定理4當式（1）相容時，令（H∈Rn×n），在算法中選取初始矩陣滿足

那么算法可在有限步計算后得到式（1）的唯一極小范數自反和雙對稱約束解。

該定理的證明可參考文獻［13］。

定理5當矩陣式（1）不相容時，線性矩陣方程組（3）有自反和雙對稱約束解，若在內迭代算法中選取初始矩陣滿足

那么內迭代算法可在有限步計算后得到方程組（3）的唯一極小范數自反和雙對稱約束解，也就是式（1）的唯一極小范數自反和雙對稱約束最小二乘解。

證明根據文中所給算法和定理2，若選取內迭代算法的初始矩陣滿足式（7），那么內迭代算法可在有限步計算后求得方程組（3）的自反和雙對稱約束解Y*，且Y*可表示Y*＝g（J1，J2），，J2∈BSRn×n）。

下證Y*是方程組（3）的唯一極小范數自反和雙對稱約束解。引進記號，ji＝，（i＝1，2）。將Y*＝g（J1，J2）按行拉直可得

因此由引理可得Y*是正規方程組的唯一極小范數解，利用拉直算子vec的同構性，可得Y*是方程組（3）的唯一極小范數自反和雙對稱約束解，也就是式（1）的唯一極小范數約束最小二乘解。

3 問題2的解

根據自反矩陣與反自反矩陣的正交性、雙對稱矩陣與對稱次反對稱矩陣的正交性可得

式（8）右端第2項為固定值，記W＝2，則有

因為上式等號右端2個矩陣的內積為0，所以

上式右端第2項仍為固定值，因此求解問題2等價于在SE求，使得

的極小范數自反和雙對稱約束解。選取初始矩陣滿足式（6），利用算法可求得式（9）的唯一極小范數自反和雙對稱約束解BSRn×n。

當式（1）不相容時，則求解問題2可等價轉化為求解

的極小范數自反和雙對稱約束最小二乘解。選取初始矩陣滿足式（7），利用內迭代算法可求得式（10）的唯一極小范數自反和雙對稱約束最小二乘解∈BSRn×n。

因此可得問題2的解為

4 數值實驗

本節給出2個數值例子來驗證算法的可行性和有效性。例1是在式（1）不相容的情況下，求解該方程的自反和雙對稱約束最小二乘解和極小范數自反和雙對稱約束最小二乘解、最佳逼近解；例2是在式（1）有自反和雙對稱約束解且逼近矩陣＝hankel（1∶6），＝toeplitz（1∶6）的情況下，求解式（1）的約束解和最佳逼近解（MATLAB R2014a軟件－CPU 3.20GHZ）。

例1令，A1＝2S1，A2＝A1＋3S2，B2＝B1＋S1，A1＝2S1，A2＝A1＋3S2，B2＝B1＋S1，C1＝。選取初始矩陣＝2I，設對稱正交矩陣P為單位矩陣且終止準則ε＝10－7。

1）求方程（1）的自反和雙對稱約束最小二乘解。根據例1所選矩陣結合文中算法，可判斷該矩陣方程是不相容的，經過外迭代3次，內迭代3次，即k＝3，k1＝3，可得自反和雙對稱約束最小二乘解為

2）求式（1）的極小范數自反和雙對稱約束最小二乘解。選取內迭代算法的初始矩陣為零矩陣（在式（7）中取H1＝H2＝O），由內迭代算法可得迭代次數k1＝4，式（1）的唯一極小范數自反和雙對稱約束最小二乘解為

例2設對稱正交矩陣P為單位矩陣且

C1＝終止準則同例1。

實際誤差‖R‖＝1.100 9e－09，計算時間＝2.729 9。

2）求式（1）的極小范數自反和雙對稱約束解。選取算法初始矩陣＝O（在式（6）中取H＝O），由算法可得經過外迭代14次，式（1）的唯一極小范數自反和雙對稱約束解為

實際誤差‖R‖＝2.129 0e－09，計算時間t＝0.001 718s＝2.080 5。

5 結論

研究一類雙變量Sylvester線性矩陣方程，建立了自適應共軛梯度算法，求得該方程的自反和雙對稱約束最小二乘解，并進一步解決了給定矩陣在該矩陣方程的約束解集合中的最佳逼近問題。數值實驗表明文中算法是可行且有效的。