一種基于快速RLS的主動控制算法研究*

黎思廷，劉樹勇，楊理華

（1.海軍工程大學(xué)動力工程學(xué)院，武漢 430000；2.海軍潛艇學(xué)院，山東青島 266000）

0 引言

機(jī)械設(shè)備的振動與噪聲是機(jī)械設(shè)備的一項重要性能指標(biāo)。振動噪聲控制在各種動力機(jī)械設(shè)備都有著廣泛的應(yīng)用。其中主動控制有著優(yōu)良的靈活性，在低頻的振動噪聲控制上具有較好的效果[1]。

算法的魯棒性和收斂性研究是主動控制研究的一項重要工作。現(xiàn)在最常用的算法是基于自適應(yīng)濾波的LMS算法和RLS算法[2]。其中RLS算法因具有較好的收斂速度而受到關(guān)注，但其計算復(fù)雜度較高。對此，國內(nèi)外很多學(xué)者在RLS算法的優(yōu)化方面做了大量研究。Cioffi[3]提出了基于FTF的快速算法，該算法可以有效減少算法復(fù)雜度，但降低了計算復(fù)雜度的同時，也使穩(wěn)定性變差；Slock[4－5]對該算法進(jìn)行了改進(jìn)，通過反饋參數(shù)對非穩(wěn)定量進(jìn)行修正，增加其穩(wěn)定性；Boudreau[6]考慮了時延和未知系統(tǒng)的參數(shù)，使其加權(quán)平方誤差達(dá)到了最小；陳克安[7]提出了一種IRLS算法，其在時延范圍內(nèi)不進(jìn)行收斂，可以在這段時間內(nèi)減輕一定的計算量；寧少武[8]提出了格型聯(lián)合估計濾波器結(jié)構(gòu)與基于QR分解的最小二乘格型（QRD－LSL）自適應(yīng)濾波算法相結(jié)合的噪聲控制方法，可以有效提高收斂速度并減小計算量；宮赤坤[9]利用濾波－U卡爾曼算法來進(jìn)行控制，有效提高了控制性能；羅順安[10]利用ADAMS建立齒輪箱虛擬樣機(jī)模型并利用FXRLS算法進(jìn)行了聯(lián)合仿真，取得了較好的效果。基于FTF的快速穩(wěn)定算法具有最小的計算量，且與經(jīng)典RLS算法的性能相差不大，是最主流的快速算法之一。

為了進(jìn)一步減少RLS算法的計算量，本文首先對該算法的計算復(fù)雜度進(jìn)行了優(yōu)化，然后通過變遺忘因子的方法對該算法進(jìn)行了分析。通過仿真驗證，改進(jìn)過的算法在對于旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備產(chǎn)生的周期性振動噪聲方面有著較好的控制效果。

1 RLS算法分析

相對于LMS算法而言，RLS算法的收斂速度更快[11]。經(jīng)典RLS算法的過程如下。

輸入向量x(n)，期望向量d(n)，初始權(quán)值w(n)，以及參考定義矩陣p(n)，其代價函數(shù)為：

令：

式中：λ為遺忘因子（0＜λ＜1）。

更新參考矩陣：

將RLS算法應(yīng)用到主動控制技術(shù)中，如圖1所示，即FXRLS算法。研究表明，在收斂速度等方面，F(xiàn)XRLS算法性能優(yōu)于FXLMS算法，但其算法計算量比較大。當(dāng)采用長度為L的橫向濾波器，F(xiàn)XRLS算法的計算量比FX?LMS算法多（3L2＋L）次。

圖1 FXRLS算法結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of FXRLS algorithm

2 快速RLS算法

雖然RLS算法在收斂速度等方面強(qiáng)于LMS算法，但在計算量方面相對較大。為了克服這一缺點(diǎn)，可以采用快速RLS算法來進(jìn)行改進(jìn)。快速RLS算法主要為格型算法[12]和FTF（快速橫向濾波器）算法[12]。

本文利用前向和后向預(yù)測來減少RLS算法的計算量，從而得到FTRLS算法。其原理如圖2所示，為增加其穩(wěn)定性，引入求助變量這一反饋機(jī)制，得到SFTRLS算法。

圖2 FTRLS算法框圖Fig.2 FTRLS algorithm block diagram

快速RLS算法的過程如下。

（1）定義參數(shù)

輸入向量xN(n)，期望輸出d(n)，權(quán)向量wN(n)，增益向量kN(n)，性能參數(shù)aN(n)、gN(n)，最小二乘和的初始值。

（2）前向預(yù)測

先驗估計誤差：

后驗估計誤差：

最小二乘和：

轉(zhuǎn)換因子：

增益向量為：

（3）后向預(yù)測

先驗誤差估計：

求助變量：

轉(zhuǎn)換因子：

后驗誤差估計：

最小二乘和：

增益的計算：

迭代：

（4）聯(lián)合估計過程

前向預(yù)測誤差信號：

后向預(yù)測誤差信號：

權(quán)值更新：

其中，求助變量在一定程度上增強(qiáng)了算法的穩(wěn)定性。

將快速RLS算法與經(jīng)典RLS算法進(jìn)行對比仿真。如圖3所示，從圖中可看出，其收斂性能并沒有非常明顯的變化。計算復(fù)雜度從L2量級下降到了L量級，顯著減少了其計算量。

圖3 快速RLS算法與經(jīng)典RLS算法的比較Fig.3 Comparison of fast RLS algorithm and classic RLS algorithm

3 快速RLS算法遺忘因子選取

遺忘因子是RLS算法的一項重要參數(shù)，主要用于增加新數(shù)據(jù)的權(quán)重，以增強(qiáng)對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性，標(biāo)志著該算法具有對輸入過程特性變化的快速反應(yīng)能力。如圖4所示，當(dāng)λ較小時，收斂速度較快，但其對噪聲信號敏感，穩(wěn)態(tài)誤差較大并且算法穩(wěn)定性相對較弱。為解決收斂速度和穩(wěn)定性的矛盾，可以引入變遺忘因子。在初始階段或者系統(tǒng)發(fā)生突變時，即誤差較大時，λ值相應(yīng)地變小，以獲得較快的收斂速度和跟蹤速度；而在系統(tǒng)進(jìn)入平穩(wěn)狀態(tài)后，即誤差較小時，λ值相應(yīng)地增大，以獲得較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖4 遺忘因子對RLS算法的影響Fig.4 The influence of forgetting factor on RLS algorithm

根據(jù)大量的仿真實(shí)驗結(jié)果可得出，快速RLS算法遺忘因子的取值范圍為：

在這個范圍之內(nèi)才能保證算法的穩(wěn)定性，N為濾波器階數(shù)。當(dāng)取值如其為最優(yōu)數(shù)值特性。

如圖5所示，取N為4，當(dāng)λ＝0.92時，其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差都相對較好。

圖5 遺忘因子最優(yōu)解Fig.5 Forgetting factor optimal solution

4 仿真分析

對改進(jìn)的算法進(jìn)行仿真驗證。采用正弦信號和白噪聲疊加的方式來模擬激勵信號，研究振動控制后系統(tǒng)的響應(yīng)。設(shè)置濾波器階數(shù)N＝17，長度L＝2 000，設(shè)置采樣頻率為10 000 Hz。

正弦輸入信號為：

白噪聲信號為高斯白噪聲。

分別采用FXLMS算法和優(yōu)化后的快速RLS算法進(jìn)行對比仿真。兩種算法在時域下的仿真圖形分別如圖6～7所示。由圖可知，F(xiàn)XLMS算法約在迭代次數(shù)為1 400次時實(shí)現(xiàn)收斂，而優(yōu)化后的RLS算法約在迭代次數(shù)為300時實(shí)現(xiàn)收斂。仿真結(jié)果證明，優(yōu)化后的快速RLS算法有著更好的收斂性能。

圖6 FXLMS算法在時域下的仿真圖形Fig.6 Simulation graph of FXLMS algorithm in time domain

圖7 改進(jìn)RLS算法在時域下的仿真圖形Fig.7 Improved simulation graphics of RLS algorithm in time domain

對圖6～7利用FFT進(jìn)行頻域分析，得到兩種算法在頻域下的仿真圖形，如圖8～9所示。從圖中看出，F(xiàn)XLMS算法在頻率為30 Hz時，幅值降低了0.87，即1.21 dB；在頻率為60 Hz時，幅值降低了0.42，即7.54 dB；在頻率為90 Hz時，幅值降低了0.15，即16.48 dB。優(yōu)化后的RLS算法，在頻率為30 Hz時，幅值降低了0.91，即0.82 dB；在頻率為60 Hz時，幅值降低了0.48，即6.38 dB；在頻率為90 Hz時，幅值降低了0.18，即14.89 dB。即該算法相對而言性能更加良好，有著更好的控制效果，從而為振動主動控制的實(shí)際應(yīng)用提供了有效參考。

圖8 FXLMS算法在頻域下的仿真圖形Fig.8 Simulation graph of FXLMS algorithm in frequency domain

圖9 改進(jìn)RLS算法在頻域下的仿真圖形Fig.9 Improved RLS algorithm simulation graphics in the frequency domain

5 結(jié)束語

本文針對RLS算法計算量大的缺點(diǎn)，利用橫向濾波器對RLS算法進(jìn)行了改進(jìn)。通過向前和向后預(yù)測推導(dǎo)了FTRLS算法，減少了傳統(tǒng)RLS算法的計算量，使運(yùn)算量從O（L2）級下降到O（L）級，并通過求助變量增強(qiáng)了計算的穩(wěn)定性。仿真研究表明該方法有較好的控制效果。