并聯(lián)機構(gòu)支鏈誤差耦合分析

趙俊杰，周曉靜，雷俊松

（1.河北工業(yè)職業(yè)技術(shù)學院宣鋼分院，河北張家口 075100；2.珠海格力電器股份有限公司，廣東珠海 519000）

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)已經(jīng)廣泛應用于實際生產(chǎn)中，如數(shù)控加工、精密裝配、航天等領(lǐng)域。精度的高低是評價機構(gòu)性能的重要指標之一[1]，故對并聯(lián)機構(gòu)精度研究十分必要。張國慶[2]利用矢量鏈法和數(shù)值法對六自由度機器人進行了標定和分析；樊銳[3]對6PUS并聯(lián)機構(gòu)運用最小二乘法進行了整機標定；張文昌[4]使用激光跟蹤儀對Delta機構(gòu)進行了運動學誤差標定；黃田[5]利用矢量鏈法對一種含有平行四邊形機構(gòu)進行了誤差分析，并對誤差進行了靈敏度分析；汪勁松[6]利用D－H法對Stewart機構(gòu)建立了誤差模型，但是上述理論是通過不同的方式建立起機構(gòu)定平臺到機構(gòu)末端點的單支鏈誤差方程，并沒有關(guān)于研究分析各個支鏈誤差耦合之后末端點的精度問題，即沒有研究并聯(lián)機構(gòu)各支鏈誤差耦合。目前對于并聯(lián)機構(gòu)精度問題國內(nèi)外主要學者側(cè)重于使用不同的方法建立機構(gòu)誤差模型，同時使用不同算法進行誤差參數(shù)辨識。本文以三自由度并聯(lián)機構(gòu)[7]為研究對象，將各個支鏈疊加后的誤差分別加入到該機構(gòu)正解解析法和數(shù)值法中，對比分析結(jié)果一致，說明該方法的有效性，進而使用該方法對Stewart機構(gòu)進行分析。

1 三自由度并聯(lián)機構(gòu)誤差耦合分析

1.1 誤差模型

本文所研究的三自由度并聯(lián)機構(gòu)是由動平臺、靜平臺以及連接動靜平臺的3條支鏈所組成的，具體如圖1所示。3條支鏈互呈120°對稱，每條支鏈是由支柱、滑塊、平行四邊形結(jié)構(gòu)支鏈組成，安放在立柱上的滾珠絲杠通過電機帶動，使得立柱上的滑塊上下移動，滑塊同時通過轉(zhuǎn)動副連接平行四邊形結(jié)構(gòu)的一端的短桿，平行四邊形結(jié)構(gòu)另一端的短桿通過轉(zhuǎn)動副連接到動平臺上，3條支鏈相互作用，使動平臺能夠進行三自由度移動。

圖1 三自由度并聯(lián)機構(gòu)坐標系

首先建立坐標系。靜平臺定參考坐標系{O}建立，xy平面為靜平臺上3個頂點理想位置所構(gòu)成的平面，x軸指向A1，z軸方向垂直于xy平面并朝上，y軸滿足右手定則，坐標系的原點O位于靜平臺中心。坐標系{Oi}建立，坐標系{Oi}和坐標系{O}原點完全重合，坐標系{O1}和坐標系{O}各軸方向一致，坐標系{O2}和{O3}分別繞坐標系{O}的z軸逆時針旋轉(zhuǎn)2π/3和4π/3。頂點坐標系{Ai}建立，其坐標系的原點為靜平臺3個Ai頂點，坐標系{Ai}各個軸的方向和坐標系{Oi}各個軸的方向重合。頂點坐標系各個頂點的名義矢量和誤差矢量分別為ai和Δai，坐標系{Ai}的姿態(tài)誤差矢量為θAi。由點Ai至點Bi的名義值和誤差值分別為mi和Δmi?；瑝K坐標系{Bi}建立，原點為鉸鏈轉(zhuǎn)動軸心Bi，坐標系{Bi}各個軸的方向和坐標系{Ai}各個軸的方向重合。點Bi坐標系名義矢量和誤差矢量為bi和Δbi，坐標系{Bi}的姿態(tài)誤差矢量為θBi。平行四邊形結(jié)構(gòu)端點鉸鏈坐標系{Bij}建立，原點為鉸鏈轉(zhuǎn)動軸心Bij，其中y軸與兩鉸鏈中心線連線重合，箭頭的方向由Bi指向Bij，z軸指向靜平臺，x軸滿足右手定則，兩鉸鏈轉(zhuǎn)動中心名義值及誤差值分別為e和Δbij。動平臺定參考系{P}建立，原點P位于動平臺中心，xy平面平行于靜平臺，x軸指向C1，z軸垂直于動平臺向上，y軸滿足右手定則。坐標系{P1}和坐標系{P}重合，坐標系{P2}是繞坐標系{P}的z軸旋轉(zhuǎn)2π/3而形成的，坐標系{P3}是繞坐標系{P}的z軸旋轉(zhuǎn)4π/3而形成的。坐標系{P}相對于靜平臺定參考系{O}的誤差矢量為θ。鉸鏈坐標系{Ci}建立，原點為動平臺鉸鏈轉(zhuǎn)動軸心Ci，坐標系{Ci}各個軸向方向和坐標系各個軸向{Pi}重合，點Ci坐標系名義矢量和誤差矢量為ci和Δci，坐標系{Ci}的姿態(tài)誤差矢量為θci。鉸鏈坐標系{Cij}建立，原點為點Cij，其y軸與兩鉸鏈中心軸線連線重合，箭頭方向是由轉(zhuǎn)動副指向鉸鏈，兩鉸鏈轉(zhuǎn)動中心名義值及誤差值分別為e和Δcij。連桿li的方向是由Bij指向Cij，平行四邊形結(jié)構(gòu)的長桿桿長的名義值和誤差值分別為L和ΔLi，方向單位矢量的理論值和誤差值分別為wi和Δwi。

在坐標系O－xyz下，根據(jù)矢量鏈法建立機構(gòu)位姿閉環(huán)約束方程[5]。

式中：i＝1，2，3；j＝1，2；e2＝[0，1，0]T；e3＝[0，0，1]T。

對式（1）進行1階攝動得[6]：

式中：Δpp為點P的3×1階位置誤差，Ri為指靜平臺坐標系{O}相對于坐標系{Oi}的轉(zhuǎn)換矩陣。

根據(jù)式（3）中j的不同取值，可知每條支鏈都有兩個方程，將第i條支鏈的兩個平行四邊形的方程分別相減得式（4）：

根據(jù)式（3）中j的不同取值，可知每條支鏈都有2個方程，將第i條支鏈的2個平行四邊形的方程分別相加，并加式（4）中的θ代入得：

通過對式（5）分析得知，θBizRie3在（Rie3×wi）上投影為0，由此得出影響姿態(tài)的誤差源個數(shù)總共為30個，分別是

1.2 并聯(lián)機構(gòu)正解

機構(gòu)正解是指已知其驅(qū)動量的大小，通過計算求解得機構(gòu)末端位置和姿態(tài)[2]。并聯(lián)機構(gòu)正解一般有2種方式：（1）解析法，即利用并聯(lián)機構(gòu)桿長和位置關(guān)系建立多元二次方程組；（2）數(shù)值法，利用數(shù)值迭代的方法逐步逼近機構(gòu)的位置。解析法的特點是計算快、能夠求出所有解，但缺點是因其是求多元二次方程組，求解的難度是隨著未知數(shù)的個數(shù)增加，對于多自由度機構(gòu)求解比較困難；數(shù)值法的特點是求解方法相對簡單，但求解速度要比解析法慢。本文利用2種方法求解了三自由度并聯(lián)機構(gòu)。

（1）解析法

根據(jù)三自由度機構(gòu)的位置關(guān)系可以建立一組三元二次方程組，如式（6）所示。

由式（6b）、（6c）得：

將xp代入式（6b）、（6c）得：

把xp和yp代入到式（6a）中得：

其中：

（2）數(shù)值法

正解步驟如下。首先給出一組位置坐標，并對其進行位置反解，將反解出的滑塊位移和輸入滑塊位移進行相減，若相減之后的值達到設(shè)定的精度要求則記錄該點位置；若沒有達到，利用相減的差值和代入之前位置坐標的雅可比逆矩陣相乘，便得到一組修正位置，將得到修正位置和之前的位置坐標相加得到新的位置，對該位置繼續(xù)求解滑塊位移。數(shù)值法正解流程如圖2所示。

圖2 并聯(lián)機構(gòu)正解流程

三自由度并聯(lián)機構(gòu)尺寸如下，定平臺直徑為1 500 mm，動平臺直徑為700 mm，平行四邊形結(jié)構(gòu)，長桿長度為750 mm，短桿長度為200 mm。在給定的工作空間z＝－600 mm，xy在圓r≤20 mm上選取72個點。利用Matlab對其進行2種正解方法驗證，其中數(shù)值法精度設(shè)定為0.000 001 mm。計算結(jié)果如圖3所示，其中橫坐標代表測試點，縱坐標為根號下x、y、z 3個方向誤差平方和，即從中可以知道，無論是解析法還是數(shù)值法，都能準確地得到機構(gòu)的位置，還存在誤差的原因是計算機計算精度所致。

圖3 三自由度并聯(lián)機構(gòu)正解誤差

1.3 誤差耦合分析

本文只探討誤差耦合對于機構(gòu)精度的影響，誤差的隨機性不在此次研究范圍內(nèi)，所以將三自由度并聯(lián)機構(gòu)的各個誤差值設(shè)定為定值[7]。具體值如表1所示。

表1 三自由度并聯(lián)機構(gòu)誤差值 mm

將以上各個單鏈的誤差（共30個）參數(shù)代入式（5）各條支鏈誤差方程中，并進行全局坐標轉(zhuǎn)換，此時可以得到3條支鏈在全局下的坐標誤差，再將每條單鏈上的誤差代入到三自由度正解的2種解法中。解析法誤差耦合如圖4所示，把各個單鏈累計后的誤差帶入該機構(gòu)正解方程，即式（6）中，由于支鏈誤差的存在改變了正解方程，將不含誤差的驅(qū)動量代入方程中，可以得到此時該機構(gòu)將各支鏈誤差耦合之后末端位置的誤差。數(shù)值法誤差耦合如圖5所示，將各條支鏈上的誤差轉(zhuǎn)換為各條支鏈上的驅(qū)動誤差，最終將驅(qū)動誤差通過數(shù)值法轉(zhuǎn)換為末端的位置誤差。繼續(xù)使用正解中的72個點進行分析，其結(jié)果如圖6～8所示，其分別代表了每條支鏈上不同方向的誤差和經(jīng)過耦合代入正解中的各個軸向的誤差。通過觀察，發(fā)現(xiàn)2種正解方法得出的耦合誤差結(jié)果相同，相互印證了利用正解方法代入求出機構(gòu)末端位置誤差的有效性；其次，通過分析對比發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)機構(gòu)耦合之后的誤差小于各支鏈方向性的誤差，即通過耦合后，各個方向上的誤差對于動平臺的誤差影響會降低，這也可解釋并聯(lián)機構(gòu)的精度要比串聯(lián)機構(gòu)精度高的原因。

圖4 解析法流程

圖5 數(shù)值法流程

圖6 三自由度并聯(lián)機構(gòu)x軸誤差

圖7 三自由度并聯(lián)機構(gòu)y軸誤差

圖8 三自由度并聯(lián)機構(gòu)z軸誤差

通過分析可以得出如下結(jié)論：并聯(lián)機構(gòu)經(jīng)過耦合后，機構(gòu)的結(jié)構(gòu)可以消除一部分誤差；耦合的誤差要比各個支鏈相加要小很多；耦合之后的誤差大小和各個支鏈誤差相加后并沒有明顯的聯(lián)系。

2 Stewart機構(gòu)誤差分析

Stewart機構(gòu)是并聯(lián)機構(gòu)中使用比較多且比較成熟的機構(gòu)，在第1節(jié)中利用正解的2種算法已經(jīng)證明了該方法的有效性，本節(jié)將誤差加入到Stewart機構(gòu)的正解中去，研究其誤差耦合特性。首先對機構(gòu)進行介紹，Stewart機構(gòu)是由動平臺、靜平臺以及連接動靜平臺的6條支鏈構(gòu)成。按照鉸鏈形式的不同，其可以被分為6－UPS、6－SPS或是6－UCU等。本文針對6－UPS機構(gòu)進行研究，如圖10所示。該機構(gòu)靜平臺直徑為540 mm，動平臺直徑為480 mm，最短桿長為500 mm，最長為900 mm。由于Stewart機構(gòu)的位置正解是求一組六元二次方程組，求解較困難，采用數(shù)值法對其進行求解。在z＝610，x＝20 cosα，y＝20 sinα上選取72個點進行正解驗證。其中誤差桿長精度設(shè)定為0.000 001 mm。結(jié)果如圖9所示，圖中可以清晰地看出數(shù)值法對于求解Stewart機構(gòu)的有效性。

圖9 Stewart機構(gòu)正解平均誤差圖

圖10 Stewart并聯(lián)機構(gòu)坐標系

圖10 所示為采用矢量法對其進行誤差建模。首先在靜平臺建立根坐標系{O}，坐標系{O}原點位于靜平臺中心點，x軸和點A1呈30°夾角，z軸指向上方，通過右手定則便可以獲得y軸的方向。建立坐標系{Oi}，其中xy平面不變，繞z軸旋轉(zhuǎn)使x軸指向靜平臺上的各個鉸點。規(guī)定各個鉸點理想坐標為a，誤差為Δa。各個理想桿長為l實際桿長為Δl。動平臺坐標系{Op}建立，規(guī)定動xy平面和動平臺平面重合z軸垂直于動平臺指向上方，x軸和點b呈－30°夾角。建立坐標系{Ooi}，其中xy平面不變繞z軸旋轉(zhuǎn)使x軸指向動平臺上的各個鉸點。在坐標系O－xyz下，根據(jù)矢量鏈法建立機構(gòu)位姿閉環(huán)約束方程，如式（10）。

對式（10）進行1階攝動得：

對式（11）進行分析，每條支鏈有7個誤差分別是Δaix、Δaiy、Δaiz、Δli、Δbix、Δbiy、Δaiz，總共有6條支鏈，所以誤差源總共為42個。

同三自由度并聯(lián)機構(gòu)一樣，只分析誤差耦合對于機構(gòu)動平臺的影響，所以誤差的隨機性不在此次考慮中。規(guī)定機構(gòu)的誤差如表2所示。

表2 Stewart并聯(lián)機構(gòu)誤差值 mm

將表中的誤差代入到Stewart機構(gòu)的數(shù)值法正解中，即流程圖求解桿長的方程中，繼續(xù)使用正解中的72個點進行分析。結(jié)果如圖11～14所示。

圖11 Stewart機構(gòu)x軸誤差

從圖11～14可以看出，不同的單鏈經(jīng)過誤差耦合之后，動平臺端的誤差都要比單鏈最大的誤差小，同三自由度并聯(lián)機構(gòu)一起分析，可以得出如下結(jié)論：并聯(lián)機構(gòu)經(jīng)過耦合后，機構(gòu)的結(jié)構(gòu)可以消除一部分的誤差；耦合的誤差要比各個支鏈相加要小很多；耦合之后的誤差大小和各個支鏈誤差相加后并沒有明顯的聯(lián)系。

圖12 Stewart機構(gòu)y軸誤差

圖13 Stewart機構(gòu)z軸誤差

圖14 Stewart平均誤差

3 結(jié)束語

本文針對一種三自由度并聯(lián)機構(gòu)，將不同的誤差代入各條支鏈模型中，從而計算出各條支鏈誤差。并聯(lián)機構(gòu)正解方法一般為解析法和數(shù)值法，本文將計算出的各條支鏈的誤差用不同的方式代入到正解中，可以得到含有誤差的末端點位置。對比兩種不同的帶有誤差的正解末端點，發(fā)現(xiàn)其基本一致，從而相互驗證將誤差加入正解中得到各條支鏈耦合后機構(gòu)末端點的位置誤差。其次，分析Stewart機構(gòu)的誤差模型，并將帶有誤差的各條支鏈代入到數(shù)值法中，得到含有各條支鏈誤差耦合的Stewart末端點位置誤差。最后，分析了兩類耦合后的機構(gòu)，發(fā)現(xiàn)通過耦合后，末端點的誤差遠遠小于各條支鏈的誤差和，說明并聯(lián)機構(gòu)本身可降低各條支鏈的誤差。