大氣環境下的LES技術分析

王 俊，黃 依，黃坤榮

（南華大學機械工程學院，湖南衡陽 421001）

0 引言

建筑通風功能主要有滿足室內人體基本生理需求、排出室內污染物、消除室內余熱的功能，合理的建筑設計可以利用自然通風實現上述功能，從而達到節能減排的目的，CFD技術的發展使其成為了研究自然通風的重要技術手段之一。作為在大氣環境下的CFD模擬，RANS往往都不能得到精準的計算結果[1－2]，其原因是大氣的湍流表現十分復雜且隨機，盡管使用了LES技術，但是仍然面對著如何構造自然風的難點，營造出來的自然風需要體現出大氣湍流的特性，這絕非易事。

LES合成入口邊界條件主要分為前驅模擬和人工合成湍流兩種方式。前驅模擬主要利用周期性循環或者將發展好的湍流流場應用在入口做為邊界條件，但耗費的資源比較多，人工合成湍流技術不需要多余的計算代價，已經得到了充分的研究。從原理上來區別它們有：（1）正交分解法（POD）；（2）合成渦流法（SEM），經改進后已經被應用在了多種情況[3－6]；（3）湍流能譜法。前幾種方法都不能較好地反映大氣湍流特性，對于大氣環境下的模擬，湍流能譜法可以從大氣能譜來構造湍流，因此具有較好的精度。

1 湍流能譜法

基于一個給定的湍流場，可以用一定數量的正余弦函數疊加而來，Kraichnan[7]最早進行了相關研究，提出了用能譜來構造速度場，并定義了一個速度場，其表達式如下：

當流體為不可壓縮時，考慮到連續性方程的約束條件，還需要滿足以下關系：

式中：矢量ζn和ξn為在三維或者二維的高斯分布中獨立選取的；kn為各項同性分布在隨機球表面的矢量。

kn值的不同對應了4個典型的能譜：

式中：k0為隨機球的半徑；v0為均方根的速度。

當kn為各項同性分布在隨機球表面時，遵循E1和E3譜，當kn為從標準差為k0/2、k0/30.5的高斯分布中選取時，遵循E2和E4譜。

2 改進后的能譜法

2.1 RFG法

Random Flow Generation（RFG）由Smirnov[8]提出，該方法考慮了湍流長度尺度和時間尺度，并將它們納入了速度合成公式中，提高了與空間的相關性。其湍流生成技術分為以下幾個步驟。

（1）尋找一個正交變換張量aij，使得給定的各項異性速度相關張量rij對角化：

（2）構造一個中間速度ui，其是正弦和余弦函數的和，且具有隨機的相位和振幅。

（3）合成速度場:

式中：l和τ分別為湍流的長度和時間尺度，可以根據湍動能k和耗散率ε得到，通?？梢圆捎脤嶒灮駾NS來獲得它們；εijm為向量積運算中使用的排列張量；N（M，σ）為平均值為M、標準差為σ的正態分布；knj和ωn分別為樣本波數矢量n和湍流能譜的頻率。

使用的能譜為：

對上一步生成的速度場進行正交和縮放操作來合成脈動速度，由此可以確定合成的湍流場中湍動能k的大小。

RFG法生成的流場是無發散的，這也是不可壓縮流中連續性方程的約束條件，對于均勻和非均勻的流場高階無發散。該技術由于其合成方法簡單、便于實現的特性已經被加入到了Fluent軟件中。同樣RFG的缺點也十分明顯，將l的值取為湍流長度尺度并不能反映出良好空間的相關性，并且其采用的湍流能譜遵循高斯分布，然而高斯譜模型忽略了慣性子程和耗散子程中的能量，在實際中的大氣能譜的含能子程中包含了大量的湍流能量[8]，這意味著RFG法的計算結果不能反映真實的流場情況。

2.2 DSRFG法

為了解決上述問題，在RFG法的基礎上所改進的湍流能譜法有Discretizing and Synthesizing Random Flow Generation(DSRFG)[9]、Modified discretizing and Synthesiz?ing random Flow Generation(MDS－RFG)[10]、Consistent DSRFG(CDSRFG)[11]，后兩種方法都是基于DSRFG的一些修正，MDSRFG對DSRFG的時空相關性進行了更新，并添加了修正參數來再現時間相關性；DSRFG生成的脈動速度的相干性與實際大氣邊界層數據不一致，利用相干函數對長度尺度進行了修正，并更新了DSRFG的頻率，此方法為CDSRFG。這里重點討論的是它們改進依據的原方法本體DSRFG法。

DSRFG由Huang[9]提出，該方法是對RFG法的重大改進，新添加了對齊和重新映射的操作，不僅提出了新的速度合成公式，并且對以往的參數進行了新的定義。該方法生成的速度場為：

式中：a為均勻分布在0～1的隨機數；ζ和ξ為從N（0，1）中隨機獨立選取的ζ和ξ的隨機矢量；N（μ，σ）為標準正態分布，其均值為μ，標準差為σ；km,n為波數；E(km)為湍流能譜；km為km,n隨機分布的球的半徑即Ls為湍流積分尺度。

各向異性的湍流速度場合成如下。

km,n需要隨空間條件不斷變換，Huang提出在確定km,n之間，先將pm,n、qm,n能譜沿著主軸對齊，可以使得其分布重新映射在半徑為km的球面上。對于給定的能譜E(km)，pm.n和qm.n由如下公式合成：

km,n遵循以下關系式：

該方法生成的速度場嚴格無發散，具有良好的空間相關。Rixin Yu[12]指出盡管上述的幾種方法可以解釋各向異性，但是空間變化太大導致的不均勻性仍然沒有得到很好處理。在不能保證入口邊界條件滿足無發散約束時，結果精準度會受到影響。

3 新方法推導

根據Rixin Yu的研究[12]，若??u＝0，則速度場u可以寫成勢函數形式：u＝?×ψ，對勢函數采用Huang的形式重寫：

則:

代入得:

其他各個方向速度同理可以得到，因此最終速度為:

設：

式中：rm,n為垂直于km,n的單位隨機向量；km為km,n隨機分布的球的半徑即| km,n|。

則有：

得到的各向同性、空間均勻分布由勢函數得到的速度場滿足指定的湍流能譜及湍流能量?？偨Y起來公式如下：

式中：ζm,n為均勻分布單位球上的隨機向量。

對于各向異性湍流，之前的方法直接改變了各個方向的湍流能譜，也就是式（1）中pm,n和qm,n的方向，這會使得??u≠0。在上述方法中，pm,n和qm,n的方向平行于ζm,n。為了得到相應的脈動速度分量，可以使得：

對于非均勻湍流，假設式（17）中Vm,n和Wm,n改為垂直方向非均勻分布，則有：

此時速度場為:

4 渠道流驗證

為了體現DSRFG和VPDRFG生成的湍流場差異，分別使用它們生成的湍流場作為渠道流LES計算的入口條件，初始脈動量大小由DNS計算獲得[13]，如圖1所示，能譜選擇修正后的Von－Karman譜，詳細可以參考[14]。

圖1 渠道流中各個方向速度脈動量在空間上的分布Figure1 Spatial distribution of velocity pulsation in all direc?tions in channel flow

4.1 計算模型的網格

對近壁面處使用了網格加密，如圖2所示。DNS計算結果中各個方向速度脈動量在垂直流動方向上的分布，δ為槽道的半高。本次計算分別以實驗結果代入不同離散譜方法作為槽道流計算的入口邊界，近壁面網格y＋值小于1，不使用壁面函數。

圖2 渠道流網格Figure2 Grid of channel flow

4.2 LES計算求解

應用開源軟件OpenFOAM進行LES計算，為了便于計算，采用可壓縮流LES模型－kEqn（一方程渦粘模型），Ce＝1.048，Ck＝0.026 54，Cs＝0.065，壓力項使用GAMG求解，時間項的離散使用Backward（瞬態二階隱性），其他項采用均二階精度。時間步長為0.004 s，一共進行了12 000步LES計算。

4.3 結果討論

圖3所示為在Q＝200時，DSRFG與新方法生成的湍流場的差異，可以看出新方法產生了更多的渦結構，在計算時間相同時，DSRFG內的流場發展緩慢，新方法可以更快地重現入口湍流，這意味著使用新方法計算時可以花費更少的總時間步長，節約計算機成本。

圖3 DSRFG與新方法的渦結構的比較Figure3 Comparison between DSRFG and vortex structure of the new method

5 結束語

LES技術已經成為了研究建筑通風的重要技術手段，常見的RANS模型由于其“平均”的特性，根本無法得到真實大氣環境下的流場情況。本文通過勢函數特性對DSRFG法進行了改進，提出了新的方法，該方法嚴格遵守無發散約束，并且通過渠道流案例比較了它們生成的湍流場的差異。結果表明新方法可以更快地重現湍流，與以往的方法相比，更適用于LES計算。