形狀因子及復雜結構井擬穩態流動階段井底壓力漸近解的計算方法

徐有杰 劉啟國 李曉平 楊思涵 張 楷 譚曉華

1.“油氣藏地質及開發工程”國家重點實驗室·西南石油大學 2.中國石油西南油氣田公司勘探開發研究院

0 引言

油氣藏形狀位置因子（以下簡稱形狀因子）是影響油氣井擬穩態流動階段井底壓力漸近解及產能指數的重要參數，從而會對油氣井生產動態預測結果產生直接影響。1954年，Matthews等[1]基于壓力恢復試井解釋方法，得到了矩形封閉油藏平均地層壓力隨時間的變化曲線。基于該方法，Dietz[2]推導出不同邊界形狀因子計算式，并且確定了擬穩態流動開始的時間。上述兩位學者在計算形狀因子時，都是假定油氣井以定產量進行生產。Ozkan等[3]針對常規直井、水平井和無限導流壓裂直井，采用解析解的方法，得到了圓形和矩形封閉形狀因子計算式。然而，上述學者僅僅給出了油氣井定產量生產條件下形狀因子的計算方法。1998年，Helmy等[4]推導出油氣井定壓生產條件下的形狀因子計算方法，并與Dietz[2]計算的形狀因子（以下簡稱Dietz形狀因子）進行對比，發現在油氣井定產量生產條件下的形狀因子大于定壓生產條件下的形狀因子。2005年，Haryanto[5]采用數值模擬方法計算了有限導流壓裂直井定壓生產條件下的形狀因子，并且分析了形狀因子與導流能力的關系。

對于一些簡單井型，采用解析解的方法求取擬穩態流動階段井底壓力漸近解較容易，但是對于一些復雜結構井（多段壓裂水平井、多分支水平井等）[6]，則難度較大。因此，尋求一種實用、有效的形狀因子計算方法，對于準確獲取復雜結構井擬穩態流動階段井底壓力漸近解及產能指數具有重要意義。為此，筆者針對不同形狀封閉邊界油氣藏中直井，根據試井分析曲線——壓力及壓力導數曲線之間的關系，重新計算形狀因子，并且與Dietz形狀因子進行對比；在此基礎上，推導出復雜結構井擬穩態流動階段井底壓力漸近解，并且進行驗證，進而繪制Blasingame遞減曲線典型圖版。

1 矩形封閉邊界油氣藏直井井底壓力解

假設矩形封閉邊界油氣藏中有一口定產量生產的直井，該井所處位置如圖1所示，圖中L1、L2、L3、L4分別表示井距離矩形封閉油氣藏上、左、下、右邊界的距離，xe、ye分別表示矩形封閉邊界油氣藏長度與寬度；流體在儲層中的流動滿足達西滲流規律，流體溫度保持恒定；忽略毛細管力和重力的影響。

基于點源函數法，Ozkan等[7]推導出無限大外邊界油氣藏在Laplace空間任意位置的壓力解，即

其中

根據鏡像反映法，得到矩形封閉邊界油氣藏所有鏡像井的井底壓力解，即

其中

矩形封閉邊界油氣藏中直井井底壓力解為式（1）、（2）之和，即

通過Stehfest數值反演，計算得到矩形封閉邊界油氣藏中直井在實空間的井底壓力解，進而繪制井底壓力與壓力導數曲線。

2 形狀因子計算及驗證

對于圓形封閉邊界油氣藏，處于擬穩態流動階段的直井井底壓力漸近解為[4]：

式中pwD表示實空間無因次井底壓力或擬壓力；tDA表示基于油氣藏面積定義的無因次時間；A表示油氣藏面積，cm2；γ表示歐拉常數；CA表示形狀因子，無量綱；rw表示井筒半徑，cm。

根據試井分析曲線——壓力及壓力導數曲線可以進行流動階段劃分。而由式（4）看出，可以將等式右邊第2項看作油氣井擬穩態流動階段pwD和p'wDtDA之差，因此，對式（4）關于lntDA求導，pwD和p'wDtDA之差即是擬穩態流動階段井底壓力漸近解系數，即

式中bDpss表示擬穩態流動階段井底壓力漸近解系數，該數值與井結構、邊界大小及形狀等因素有關。

可以看出，通過計算擬穩態流動階段pwD和p'wDtDA之差，可以反求圓形封閉邊界形狀因子。若井位于矩形封閉邊界油氣藏中，可以采取同樣的方法求得形狀因子。

下面以圓形封閉邊界油氣藏為例，驗證筆者提出的形狀因子計算方法的準確性。假設一口直井處于油氣藏中心位置，外邊界半徑為5 000 m，井筒半徑為0.1 m。

如圖2所示，圖中藍色線對應擬穩態流動階段，該階段直井pwD和p'wDtDA的差值為10.070，則bDpss為10.070。對于圓形封閉邊界油藏，Dietz形狀因子為31.600。基于本文方法，計算形狀因子（CA），有

可以看出，對于圓形封閉邊界油氣藏中心的一口直井，采用本文方法計算得到的形狀因子與Dietz形狀因子的相對誤差在1%以內。然后，針對不同形狀封閉邊界油氣藏中直井，將采用本文方法計算的形狀因子與Dietz形狀因子對比，結果非常接近（表1），進一步驗證了本文方法的準確性，同時計算出擬穩態流動階段開始的無因次時間（tDpss），其計算式為：

表1 不同形狀封閉邊界條件下形狀因子計算結果對比表

式中K表示儲層滲透率，D；t表示生產時間，s；表示儲層孔隙度；μ表示流體黏度，mPa·s；Ct表示綜合壓縮系數，10MPa－1。

3 復雜結構井擬穩態流動階段井底壓力漸近解及其驗證

計算形狀因子的主要目的是為了計算擬穩態流動階段井底壓力漸近解，那么，既然利用pwD和p'wDtDA之差可以計算形狀因子，那么就可以利用pwD和p'wDtDA之差計算擬穩態流動階段井底壓力漸近解。對于常規直井（含壓裂直井）、水平井，可以通過公式簡化，得到實空間井底壓力漸近解，但是對于復雜結構井（如多段壓裂水平井、多分支井等），則無

法通過解析反演的方法直接得到擬穩態流動階段井底壓力漸近解，從而無法對Blasingame遞減分析方法的物質平衡時間進行準確計算，進而無法準確計算復雜結構井的單井控制儲量。

基于前面直井擬穩態流動階段井底壓力漸近解結構，對于復雜結構井，可以采用同樣的方法計算復雜結構井擬穩態流動階段井底壓力漸近解。因此，通過求取復雜結構井擬穩態流動階段pwD和p'wDtDA之差，即求得復雜結構井的bDpss，從而可以獲得復雜結構井擬穩態流動階段井底壓力漸近解，即

式中pwDps表示擬穩態流動階段無因次井底壓力。

下面分別對不同邊界油氣藏中復雜結構井井底壓力漸近解進行驗證。

3.1 圓形封閉邊界油氣藏＋大斜度井

Cinco-Ley等[8]、Ozkan等[9]分別給出了均質油氣藏中大斜度井在實空間和Laplace空間的井底壓力計算式。姜瑞忠等[10]考慮儲層滲透率應力敏感和啟動壓力梯度等因素，建立雙重介質大斜度井試井數學模型并分析各參數對試井曲線的影響。任俊杰等[11]建立三重介質油氣藏大斜度井試井數學模型并且給出了對應的井底壓力響應曲線。借鑒前人的研究成果，筆者此次計算得到均質、圓形封閉邊界油氣藏中大斜度井井底壓力及其導數，求得兩者之差，然后，通過擬穩態流動階段無因次井底壓力與壓力導數差來驗證本文方法的準確性，其中無因次變量的定義見本文參考文獻[9]，此處不再贅述。

圖3分別繪制出圓形封閉邊界油氣藏大斜度井（pwD－p'wDtDA）—tDA和（pwD－pwDps）—tDA曲線，圖中hD表示無因次儲層厚度。可以看出，在壓力波未到達封閉邊界之前，（pwD－p'wDtD）隨tDA增大而增大，當壓力波到達封閉邊界以后，（pwDp'wDtD）為一定值，該數值即對應式（8）中bDpss的數值。求得bDpss，即得到了大斜度井擬穩態流動階段井底壓力漸近解。繪制（pwD－pwDps）—tDA曲線，如圖3所示，在壓力波未到達封閉邊界之前，（pwDpwDps）隨tDA增大而減小，當壓力波到達封閉邊界以后，（pwD－pwDps）為0，從而證實利用本文方法計算的擬穩態流動階段井底壓力漸近解（pwDps）是正確的。

另外，基于本文方法還可以計算大斜度井擬表皮因子。關于大斜度井擬表皮因子的計算，參見本文參考文獻[12-14]。根據Rogers等[15]的研究，大斜度井擬穩態流動階段井底壓力解與完全射開的直井擬穩態流動階段井底壓力解的差即為大斜度井擬表皮因子。基于本文方法，分別計算井斜角為50°、60°、75°，hD為100、200、500、1 000、2 000、5 000條件下大斜度井擬表皮因子（圖4紅點），然后將計算結果與Ozkan等[9]計算的大斜度井擬表皮因子（圖4實線）相比，相對誤差在1%以內，驗證了本文方法的準確性。

3.2 圓形封閉邊界油氣藏＋有限導流壓裂直井

Pratikno等[16]推導出圓形封閉邊界油氣藏中有限導流壓裂直井擬穩態流動階段井底壓力漸近解，有限導流壓裂直井的bDpss計算式為：

其中

u=lnCfD

a1=0.936 268 00

a2=－1.004 890 00

a3=0.319 733 00

a4=－0.042 353 20

a5=0.002 217 99

b1=－0.385 539 00

b2=－0.069 886 50

b3=－0.048 465 30

b4=－0.008 135 58

式中ReD表示無因次圓形封閉邊界的半徑；CfD表示無因次裂縫導流能力。

圖5分別繪制出圓形封閉邊界油氣藏有限導流壓裂直井（pwD－p'wDtDA）—tDA和（pwD－pwDps）—tDA曲線，可以看出，在壓力波未到達封閉邊界以前，（pwD－p'wDtDA）隨tDA增大而增大，當壓力波到達封閉邊界以后，（pwD－p'wDtDA）為一定值，該數值即對應式（8）中bDpss的數值。求得bDpss，即得到了有限導流壓裂直井擬穩態流動階段井底壓力漸近解。繪制（pwD－pwDps）—tDA曲線，如圖5所示，在壓力波未到達封閉邊界之前，（pwD－pwDps）隨tDA增大而減小，當壓力波到達封閉邊界以后，（pwDpwDps）為0，從而證實利用本文方法計算的擬穩態流動階段井底壓力漸近解（pwDps）是正確的。

再利用Pratikno等[16]計算的bDpss與采用本文方法計算的bDpss進行對比，發現裂縫導流能力無論如何變化，兩種方法計算的bDpss相對誤差都很小（表2），完全能夠滿足工程需求，同時也驗證了本文方法的準確性。

表2 圓形封閉邊界油氣藏有限導流壓裂直井bDpss結果對比表

3.3 矩形封閉邊界油氣藏＋有限導流壓裂直井

王曉冬等[17]推導出矩形封閉邊界油藏有限導流多段壓裂水平井井底壓力解。之后，Xing等[18]基于圓形封閉邊界油氣藏有限導流壓裂直井井底壓力解，得到矩形封閉邊界油氣藏有限導流壓裂直井的bDpss，其計算式為：

其中

u=lnCfD

式中xeD、yeD分別表示矩形封閉邊界油氣藏無因次寬度與長度；xwD、ywD分別表示壓裂井所在位置無因次橫、縱坐標；xD、yD分別表示計算點所在位置無因次橫、縱坐標。

圖6分別繪制出矩形封閉邊界油氣藏有限導流壓裂直井（pwD－p'wDtDA）—tDA和（pwD－pwDps）—tDA曲線，可以看出，在壓力波未到達封閉邊界以前，（pwD－p'wDtDA）隨tDA增大而增大，當壓力波到達封閉邊界以后，（pwD－p'wDtDA）為一定值，該數值即對應式（8）中bDpss的數值。求得bDpss，即得到了有限導流壓裂直井擬穩態流動階段井底壓力漸近解。繪制（pwD－pwDps）—tDA曲線，如圖6所示，在壓力波未到達封閉邊界之前，（pwD－pwDps）隨tDA增大而減小，當壓力波到達封閉邊界以后，（pwDpwDps）為0，從而證實利用本文方法計算的擬穩態流動階段井底壓力漸近解（pwDps）是正確的。

再利用Xing等[18]計算的bDpss與采用本文方法計算的bDpss進行對比，發現裂縫導流能力無論如何變化，兩種方法計算的bDpss相對誤差都很小（表3），完全能夠滿足工程需求，同時也驗證了本文方法的準確性。

表3 矩形封閉邊界油氣藏有限導流壓裂直井bDpss結果對比表（考慮CfD變化）

通過大量計算后發現，對于矩形封閉邊界油氣藏而言，長寬比不僅影響bDpss，還影響擬穩態流動階段開始的時間。如圖7所示，圖中藍色點則對應擬穩態流動階段開始的數據點，其橫坐標對應擬穩態流動階段開始的時間，縱坐標則對應bDpss。在不同長寬比條件下，將采用本文方法計算的bDpss與Xing等[18]計算的bDpss相比，相對誤差維持在0.5%左右（表4），滿足工程需求，再一次驗證本文方法的準確性。

表4 矩形封閉邊界油氣藏有限導流壓裂直井bDpss結果對比表（考慮長寬比變化）

4 Blasingame遞減曲線典型圖版的繪制

式中tDd表示Blasingame遞減曲線無因次時間；qDd表示Blasingame遞減曲線無因次產量。

無因次產量積分及產量積分導數曲線計算式為：

式中qDdi表示Blasingame遞減曲線無因次產量積分；α表示積分變量，無量綱；qDdid表示Blasingame遞減曲線無因次產量積分導數。

基于式（11）～（14），針對常規直井繪制Blasingame遞減曲線典型圖版，如圖8所示，在擬穩態流動階段qDd—tDd曲線呈斜率為－1的直線，并且長寬比越大，晚期線性流特征越明顯。

對于壓裂直井，假設該井位于油氣藏中心位置，裂縫延伸方向和矩形封閉邊界油氣藏的長度方向一致，如圖9所示，在油氣藏外邊界長度一定的情況下，若長寬比越大，單井控制面積越小，bDpss越大，晚期線性流特征越明顯，Blasingame遞減曲線在非穩態流動階段所處的位置越高。如圖10所示，在單井控制面積相同的情況下，若裂縫導流能力越高，bDpss則越小，Blasingame遞減曲線在非穩態流動階段所處的位置越高。通過Blasingame圖版擬合，可以計算單井控制儲量，進而確定單井控制半徑[21]。

5 結論

1）針對不同形狀邊界油氣藏直井，通過計算擬穩態流動階段無因次井底壓力（pwD）及其導數（p'wDtDA），求得兩者的差值，則可以反求形狀因子，并且采用本文方法計算的形狀因子與Dietz形狀因子結果非常接近，驗證了本文方法的準確性。

2）通過求取復雜結構井擬穩態流動階段pwD和p'wDtDA之差，則求得復雜結構井的擬穩態流動階段井底壓力漸近解系數（bDpss），進而可以獲得任意復雜結構井擬穩態流動階段井底壓力漸近解。

3）基于本文方法，計算的大斜度井擬表皮因子與Ozkan等計算結果的相對誤差在1%以內，驗證了本文方法的準確性。

4）對于矩形封閉邊界油氣藏中常規直井，擬穩態流動階段Blasingame遞減曲線的無因次產量曲線斜率為－1，并且長寬比越大，晚期線性流特征越明顯。

5）對于矩形封閉邊界油氣藏中壓裂直井，在外邊界長度一定的情況下，若長寬比越大，單井控制面積則越小，bDpss越大，晚期線性流特征越明顯，Blasingame遞減曲線在非穩態流動階段所處的位置越高；在單井控制面積相同的情況下，若無因次裂縫導流能力越大，bDpss則越小，Blasingame遞減曲線在非穩態流動階段所處的位置越高。