基于SFS對雕刻模型高度的優化研究

王嘉琦，劉洋，趙慶志

（山東理工大學機械工程學院，山東淄博 255012）

0 引言

Shape from shading（簡稱SFS）算法是由美國麻省理工學院Horn教授[1]提出的一種單目測距算法。目前SFS算法在恢復單個物體外表面上有著重要應用，我們在計算機等媒體上所見到的圖像實際上是由攝像機捕捉到的通過某一光源對物體的照射所反射出的能量[2-4]。SFS算法研究的正是輻射度與物體所反射出的能量之間的關系。

Ikuechi和Horn首先提出了SFS的變分求解方法[5]。通過將輻射度方程的灰度誤差表達為一個泛函，把SFS問題轉化為一個泛函的極小化問題，然后通過求解這個泛函極小化問題從而得到SFS問題的解[6-7]。Horn引入了光滑約束保證得到唯一的解使得恢復表面更加光滑的同時卻也變得更加扁平[8]。所以本文引入了綜合約束模型：在光滑約束的基礎上，增加了表面梯度約束和灰度梯度約束，改善了傳統變分法實驗結果過于光滑和扁平的問題。

1 模型高度獲取

SFS技術是通過圖像的灰度值來計算物體實際高度的，所以物體顏色的不同會對高度獲取造成相當大的影響，因此我們首先需要通過PhotoShop、Illustrator等專業圖像處理軟件對物體原圖進行處理，處理之后獲得一張深度圖，再由深度圖通過轉換顏色空間得到圖像亮度，然后根據清晰度評價函數（TenenGrad）得到圖像塊（5×5）的清晰度，獲取到可靠性更高的深度灰介圖。

1.1 顏色空間轉換

為使得圖像具有視覺統一性，需要將圖像轉換至LUV顏色空間，在LUV顏色空間中L代表亮度，U、V代表色度，本文通過利用XYZ顏色空間實現RGB顏色空間到LUV顏色空間的過渡，具體方法如下：

1）首先通過矩陣實現RGB顏色空間到XYZ顏色空間的轉換：

2）通過公式實現XYZ顏色空間到LUV顏色空間的轉換：

式中：

選擇標準光源D65作為參考光源，則Xn=95.047，Yn=100.000，Zn=108.883。代入上式可得：

由此便完成了由RGB顏色空間到XYZ顏色空間再到LUV顏色空間的轉換。

1.2 約束模型和泛函表達

通過綜合約束條件解決SFS問題首先要建立約束模型和泛函表達，輻射度方程的灰度誤差表達式為

由表達式可知，求解SFS問題就等同于求解F1（p,q）極小條件下的p和q。

假設重建表面光滑，且光滑約束表達式為

式中，px、py、qx、qy為表面梯度的偏導數。

為使所獲圖像在高度表達上更加理想，在光滑約束的基礎上再引入表面梯度約束和灰度梯度約束，表面梯度約束表達式為

式中，zx、zy為表面高度的偏導數。

灰度梯度約束表達式為

綜合以上可以得出綜合約束表達式為

式中，λ、μ、ν均為加權系數。由于高度z直接出現在表達式中，所以通過求上述泛函的極小化解，就可以直接得到z值，避免了從梯度到高度的積分過程中可能出現的振蕩。

1.3 變分求解

由變分原理可知，方程的解等價于下面歐拉方程的解：

圍繞p和q進行泰勒展開，有：

其余項同理展開后整理可得

其中：

于是有：

式中：δp為泰勒展開中的p-p0項；δq、δz相同。這里將其定義為迭代一次后的增量，于是可建立如下迭代公式關系：

式中，k為迭代次數。

由于要在計算機中編程實現，還需要應用有限差分法對偏導數等一些非離散量進行離散化處理。將圖像區域Ω按圖像本身像素進行網絡劃分。以px為例，離散化形式為

式中，i、j表示像素在圖像中所處的行列數，其他與此相同。

2 迭代算法的實現

2.1 建立迭代過程

根據以上分析和推導，建立迭代過程如下：給出光源入射方向（ps，qs，-1）；給定初值p0、q0、z0，加權系數λ、μ、ν，并令k=0。

計算δp、δq、δz并令：

給定光源入射方向（0,0,-1），通過實驗進行驗證，經對比可知，前4次迭代，模型還原度逐步提高，直到第5次時模型高度出現了與加工要求所不符的噪聲。

圖1 原圖

圖2 迭代1次效果圖

圖3 迭代2次效果圖

圖4 迭代3次效果圖

圖5 迭代4次效果圖

圖6 迭代5次效果圖

2.2 高度變換

由于通過SFS算法獲取的模型高度在z軸之上不能直接參與浮雕加工，因此還需要對模型高度進行平移和縮放變換。具體過程如下：

1）整體平移處理。假設模型進行變換前的高度為zq，變換后的高度為zh，將生成的浮雕模型整體沿Z軸方向下移Hmax，則

2）高度縮放變換。設縮放比例為p，則

圖7 高度變換

因此可以根據模型原高度zq求出模型在每一點處的加工深度zh：

實驗結果如圖8所示，左邊通過直方圖與原始圖像的截面誤差分析對比表明迭代誤差滿足要求，右邊為仿真的圖像，結果顯示重建圖像還原度高，實驗結果理想。

圖8 仿真實驗結果

3 結語

本文基于SFS技術通過數學演繹實現了對雕刻模型高度獲取的優化。使得所獲產品在三維空間中的立體還原度進一步改良。通過顏色空間的轉換獲取圖像每個像素點處的亮度，用圖像像素點處的亮度代替圖像像素強度。通過在光滑約束的基礎上引入表面梯度約束和灰度梯度約束實現綜合約束下變分法求解SFS問題，再根據所得結果和實際加工要求通過平移、縮放等方法調節浮雕模型，最終達到加工要求。