例談小學高年級幾何解題策略

文∣鄧玉玲

《義務教育數學課程標準(2011年版)》提到，“從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程不等式函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律求出結果，并討論結果的意義，這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識”。而模型思想要求將一個問題的解決拓展為一類問題的解決，因此合理運用模型的策略與方法的教學，有利于解決學生不能靈活解題的問題。本文重點解決在小學高年級的幾何復習教學中如何通過圖形表征、數學符號表征、轉化等構等常用的策略與方法，幫助學生理解題目，促進學生形成舉一反三、觸類旁通的能力，使學習能力不同的學生在復習中均得到提高。

一、借助圖形表征，培養學生建構意識

小學生的思維以具體形象為主，在解題過程中，借助直觀圖形有利于引導學生思維由形象過渡到抽象。在小學數學的“圖形與幾何”的教學目標中，提到培養學生關于空間觀念、提高利用幾何直觀去進行思考的能力。所以，教師在教授幾何知識的教學中，要合理引導學生建立直觀圖形，達到培養學生的空間意識，幫助學生快速掌握一些有效的分析解題方法，使其達到快速準確解題的目的，促進學生自覺構建圖形的意識，提高學生靈活解題的能力。

(一)抓住關鍵詞，構建圖形，準確理解題意

復習時構建圖形模型，把觀察和思考聯系起來，有利于培養學生的空間觀念。

【例1】將一塊棱長18厘米的正方體木料削成一個最大的圓柱體，求它的表面積、體積。

解題時要把第一句話中的關鍵詞“削”“最大”用圖形表示出來，如圖1。“最大”的意思就是圓柱的底面直徑等于正方體的棱長，圓柱的高等于正方體的高，用a=d=h表示,這樣就很直觀地表達了題目的含義，同時又幫助學生積累分析解決問題的經驗，使學生解題的準確率和速度大為提高。

【例2】從一根圓柱體木料中鋸出6厘米長的一段圓柱。剩下的木料是高與底面直徑相等的圓柱體，表面積比原來減少了150.72平方厘米。原來圓柱體木料的表面積是多少平方厘米？體積是多少立方厘米？

抓住“鋸”“剩下”“減少”等關鍵詞畫圖發現少的150.72就是6C，6C=150.72，從而可求底面半徑，此題可解。在平面幾何方面，一個三角形和一個平行四邊形等底等高，已知三角形的面積是35平方厘米，則平行四邊形的面積是多少？根據第一句話隱含的意思構建圖2。

觀察圖形, 得到在等底等高的平行四邊形和三角形中,S平=2S三。

圖1

圖2

從上面的例子可以總結出：抓住關鍵詞、構建圖形，能幫助學生準確快速地理解題意，提高解題的準確率和速度。

(二)借助技術展現動態圖形，解讀題目隱含的數量關系

信息技術可以打破時空的界限，展現圖文并茂的特征，可以把學生難以理解的知識用動靜結合的畫面直觀地呈現在學生的面前，清晰的表象，豐富了學生的思維，達到有效幫助學生理解題目含意的目的，找到題目隱含的等量關系。

【例3】一個棱長6.9厘米的正方體切成棱長2.3厘米的小正方體，可以得到多少個小正方體？ 小正方體的表面積之和比原來大正方體的表面積增加了多少？

圖3

根據題目的描述進行構圖，如圖3。

從圖3可以看到長可分3塊，寬也可分3塊，因此一層有3×3=9 ( 塊)，高分3層，因此一共可切到3×3×3=27(塊)。當教師在課堂上講解到表面積之和增加多少時，用動畫演示使學生清晰地看到：每切下一刀就會多了兩個邊長為6.9厘米的正方形截面，切6刀增加了12個截面，故得：6.9×6.9×12=571.32(平方厘米)。

完成這題后，教師把棱長改為12厘米，再做演示，然后引導學生對比，得出結論：一個棱長為M的正方體可以切成棱長為N的小正方體的塊數是(M÷N)的3次方(M可以被N整除)。

【例4】一個長方體水池，底面為邊長51厘米的正方形，里面插著一根長1.1米的木樁，木樁的底面是一個棱長是5.3厘米的正方形，木樁有一部分浸在水中，一部分露出水面。現將木樁提高21厘米(仍有部分浸在水里)，那么露出水面的木樁浸濕部分面積為多少平方厘米？

教師在課件中先出示木樁插在水里的圖(如圖4)，再點擊出示木樁提起水下降的動畫畫面，讓學生清楚看到濕的部分包含兩個部分，一部分是木樁提起露出的21厘米，另一部分就是木樁提起后水下降露出來的部分，如圖5。完成此題后引導學生得到此類題的數量關系：從水里提起或放入水里時浸濕部分的面積=提起或浸入的浸濕的面積+因為水面下降或上升造成的浸濕面積。

圖4 圖5

利用技術動態構圖可以有效突破解題的難點，有效提高學生的解題能力。

二、借助數學符號表征，培養學生抽象意識

六年級學生已具有一定抽象能力，具備學習抽象符號模型的基礎。數形結合和符號化是小學數學的重要數學思想，2011年版課標指出“符號感主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律并用符號來表示，理解符號所表達的數量關系和變化規律會進行符號間的轉換”。在“幾何復習”教學中，教師引導學生從重點詞句入手，構建圖形，使文字直觀化，把直觀看到的結果用數量關系或字母符號表示出來，使問題迅速得到解決。

(一)從重點詞入手，用符號表示數量關系

重點詞是指在小學數學解決問題中，與題目的解題方法相關或隱含等量關系的詞語。

【例5】把一塊棱長10厘米的正方體鐵塊熔鑄成一個底面直徑是20厘米的圓錐形鐵塊。這個圓錐形鐵塊的高約是多少？(得數保留整厘米數)

(二)從重點詞入手構建圖形，挖掘隱含的數量關系

有些題目表面看比較復雜，如果從重點詞入手構建圖形，就能直觀看到隱含的數量關系。

【例6】一個長方體，如果長增加1.5分米，則體積增加3立方分米；如果寬增加2.3分米，則體積增加11.5立方分米；如果高增加2.4分米，則體積增加9.6立方分米。求這個長方體的表面積。

引導學生抓住重點詞語“長增加”“寬增加”“高增加”構建出圖6。通過觀察，找到隱含的數量關系，并用符號表示。

圖6

因此，在幾何解決問題復習教學中，教師引導學生從重點詞入手構建圖形，抽象出數量關系和變化規律并用符號來表示，有效提高學生構建知識的意識和能力，同時不同的題目可以用相同的數量關系列算式或列方程來解，培養學生“以不變的方法應萬變題目”的意識和能力。

三、借助轉化，提高學生綜合運用知識的能力

(一)構造特殊圖形，化難為易

特殊與一般思想是一個非常重要的數學思想方法。特殊與一般可以互相轉化，對于難以求解的一般問題，也可以轉化為特殊問題，發現解決問題的途徑，從而解決一般問題。有些幾何題對于某個年級的小學生來說比較難理解，可以通過由已知條件構造出一個特殊的圖形，降低難度破解題目。

圖7

【例7】長方形ABCD的面積是24平方厘米，P為長方形內的一點，如圖7，求陰影部分的面積是長方形面積的( )。

圖8

這道題對于四年級的學生比較難理解，對于六年級的學生雖然可以代入字母求解，但過程比較煩瑣，原因是P為長方形內任意一點解題難度較大，而任意一點即包括在長方形中心的那點，因此中心點的規律也符合任意一點的規律，于是構建出圖8,觀察圖8得到：S陰影=S長÷2，此題迎刃而解。

(二)從已知的相關知識入手，化未知為已知

六年級的幾何復習包括了整個小學階段的幾何知識，知識點多而散，有些知識學習時間間隔較長回憶起來有些困難，學生甚至已經忘記部分知識。學生需要將題目問題轉化成已掌握的相關知識來解決，以此提高學生的綜合解題能力和綜合學習能力，所以在復習教學中教師注意引導學生利用轉化的方法，重建模型。

總之，在幾何解決問題復習中有效利用圖形表征、數學符號表征、轉化等構等常用的策略與方法教學，既避免學生生硬套題，又培養學生主動構建的意識和空間想象能力，有效地促進學生綜合解題能力和綜合學習能力的發展。