外磁場對Casimir效應的影響

關仙為，龍玉梅，巴合提古麗·阿斯里別克，劉輝，羅筱璇，張 雪，鄭泰玉

(1.東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024； 2.新疆伊犁師范大學電子與信息工程學院，新疆 伊犁 135000)

零點漲落是電磁場量子描述的一個顯著特點，也是真空中導體板之間的Casimir力和原子與導體板之間的Casimir-Polder力產生的根源[1-2].此后科學家又做了很多有益工作，包括將Casimir-Polder力廣泛應用在物理精密儀器及在不同材料中，如金屬、石墨烯[3]、超導材料[4].

Casimir力在納米結構材料中發揮了重要作用，2013年Thompson提出利用聚焦的光學鑷子束[5]捕獲單個Rb原子，并將其耦合到固態器件上，即納米級光子晶體腔.該裝置也可用于測量基態原子和導體板之間的Casimir-Polder力.2018年科學家研究了原子與石墨烯片之間的Casimir-Polder相互作用及與環境的熱平衡理論[6]，并基于非零溫度下量子電動力學原理，給出了Casimir-Polder自由能和力的表達式.

區域Ⅰ充滿電介質；區域Ⅱ真空態圖1 理論模型示意圖

近年來越來越多的科學家研究排斥力，希望能夠克服納米技術中的靜摩擦問題.理論研究已經發現了3種可以實現排斥力的方法，其中2種已經被實驗所證實[7-8].第3種方法要利用磁場獲得[9]，但是沒有實驗能夠證明.為了在理論上證明第3種方法，本文選擇不受電場影響，在磁場作用下得到自旋能級分裂的中子，將其放在一維介質腔中，如圖1所示.本文首先得到腔壁之間Casimir力的表達式，然后通過改變參量研究外部磁場大小、腔長、中子在腔中位置對力的影響.

1 理論模型

如圖1所示，本文將一個受外部磁場調控的中子置于腔中位置x0處，x<0空間內充滿透明的電介質，x>0空間內為真空.腔的兩端x=-l和x=L(L→∞)處分別放置理想導體板，且在x=0處沒有涂層，允許其兩邊的場相互耦合[10].主要研究初態為裸基態時腔壁之間的動態Casimir力.

哈密頓量寫成

H=HN+HF+HI.

(1)

其中HN是中子的自由哈密頓量，在外部磁場的作用下中子的自旋態發生分裂，因此中子的自由哈密頓量可以寫成

(2)

用HF表示有介質存在時的電磁場哈密頓量，公式為

(3)

(4)

這樣相互作用哈密頓量的表達式為

(5)

2 腔壁之間的Casimir力

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

運用微擾理論計算初態為裸基態系統的二階能移為

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

通過求能量的導數得到腔壁之間的Casimir力為

(16)

將(13)—(15)式代入到(16)式中，得到外磁場影響下的腔壁之間的Casimir力的表達式

(17)

其中：

(18)

(19)

用Si(x)和Ci(x)分別表示正弦積分函數和余弦積分函數[15].并引入輔助函數：

(20)

h2(x，t)=sin(x)[Ci(x+ω0t)+Ci(ω0t-x)]+cos(x)[Si(x+ω0t)-Si(ω0t-x)]；

(21)

(22)

(23)

3 Casimir力的討論

為了進一步研究在外磁場作用下，含有中子的一維介質腔腔壁之間Casimir力的特點以及中子位于腔中的位置和微腔尺寸對力產生的影響，進行數值分析.

不同腔長情況下力隨磁感應強度大小變化關系示意圖見圖2.圖2中子在腔中位置x0、相對介電常數εr取固定值，微腔長度l取不同值.從圖2中可以看出該力為正值，即為排斥力，且隨著磁感應強度的增大，力逐漸增大.這說明磁場對該力的大小有調控作用.在磁感應強度大小相同時，微腔的長度越小，力的數值越大.可以推測當腔的長度足夠長時，由電磁場的零點漲落引起的Casimir力將會消失.

x0=-0.5×10-7 m，εr=1.44，t=1×10-13 s圖2 不同腔長情況下力隨磁感應強度大小變化關系示意圖

=2×10-7 m，εr=1.44，t=1×10-13 s圖3 中子位于腔中不同位置情況下力隨磁感應強度大小變化關系示意圖

圖3表示微腔長度l、相對介電常數εr取固定值，中子在腔中位置取不同值的情況下力隨磁感應強度大小的變化趨勢.由圖3可知，力仍隨磁感應強度的增大而增大.磁感應強度相同時，x0越小，即中子越靠近x=-l處的理想導體板，力的數值越大，這與二能級原子與腔壁之間的Casimir-Polder力的相關結論是相似的[16].

4 結論

本文在海森堡表象中運用微擾理論得到含有中子的一維介質腔壁之間的Casimir力[17].通過數值分析得到了不同因素對力的影響.結果表明，腔壁之間的力是排斥力，其大小受到外部磁場的調控，且隨微腔長度的增加而減小.這說明中子距離理想導體板越近作用力越明顯.該結果為實驗中測得Casimir力提供了理論參考.