低維空間上分片線性函數的逼近因子與剖分數

陶玉杰，由巧俐，李曉萍

(1.通化師范學院數學學院，吉林 通化 134002； 2.遼東學院師范學院數學系，遼寧 丹東 118003；3.天津師范大學管理學院，天津 300387)

2000年，文獻[1]通過剖分輸入空間首次提出分片線性函數的概念，并以此為工具討論T-S模糊系統對一類可積函數的逼近性，繼而又探究了Mamdani模糊系統對p-可積函數的逼近性能[2-4].但遺憾的是這些結果只是把分片線性函數作為一個橋梁來完成理論證明，并沒有給出如何獲取這個分片線性函數的方法，這必然限制了分片線性函數的更廣泛應用.2014年，文獻[5]通過引入誘導算子及其算術運算給出了K-積分模概念，并研究了廣義Mamdani模糊系統的泛逼近性.文獻[6]在文獻[1，5]的基礎上進一步給出n元分片線性函數的構造方法及其解析式，并通過矩陣行列式給出了對應方程系數的求解公式.2015年，文獻[7]通過引入K-擬減運算建立了Kp-積分模，并由此討論了分片線性函數逼近一類可積函數問題，繼而又以分片線性函數為橋梁研究了廣義Mamdani模糊系統對一類Kp-可積函數的逼近性能[8].這些結果對進一步拓寬研究模糊系統的逼近性能具有重要的理論意義.

2017年，文獻[9]利用對廣義正方體的網格剖分構造了具體的分片線性函數，并證明該分片線性函數在最大范數和矩陣模意義下可以任意精度逼近連續函數.然而，文獻[9]對其中逼近因子并沒有給出詳細說明，只是粗略地把它作為一個常數來處理，這不得不說是一個憾事.本文將針對這個缺陷首先在低維歐氏空間中證明逼近因子與剖分數無關.

1 預備知識

分片線性函數在研究模糊系統逼近性中起著舉足輕重的作用，它不僅是1元分段線性函數在多元情況下的推廣，而且也是溝通模糊系統和被逼近函數的一個重要橋梁.本文用Rn表示n維歐式空間，N表示自然數集.對給定實數a>0，令

Δ(a)={(x1，x2，…，xn)∈Rn|0≤xi≤a，i=1，2，…，n}，

并稱Δ(a)為Rn中邊長為a的廣義正方體，實際上Δ(a)=[0，a]×[0，a]×…×[0，a]=[0，a]n.

定義1.1[1]設n元連續函數S：Rn→R滿足如下條件：

(1) 存在a>0，使S在廣義正方體Δ(a)之外恒為零；

則稱S為Rn上一個分片線性函數，其中βij和λj均為常數，i=1，2，…，n.

此時，?x=(x1，x2，…，xn)∈Δi1i2…in，ij=1，2，…，m，j=1，2，…，n，不妨設剖分后每個小多面體Δi1i2…in的n+1個頂點在Rn+1空間上所確定的超平面方程為

(1)

再將Δi1i2…in的n+1個頂點坐標依次代入(1)式，可在Rn+1上獲得1組抽象超平面線性方程為

(2)

(3)

定義1.2 設矩陣A為n階方陣，令‖A‖=|(|A|)|，則稱‖A‖為A的矩陣模，亦即，矩陣?！珹‖即為A的行列式的絕對值.顯然，任何方陣A的矩陣?？倽M足‖A‖≥0.

引理1[9]設f在緊集Δ(a)?Rn上連續，(x；f(x))是給定數據對，但f的解析表達式未知，則?ε>0，存在剖分數m∈N和形如(3)式的分片線性函數S，使其在無窮范數意義下滿足

2 主要結果

按照引理1，只有當逼近因子是一個與剖分數m無關的常數，分片線性函數S對所給f才具有逼近性，故這個逼近因子是否與m無關至關重要.然而，文獻[9]并沒有給出證明，只是粗略地把它視為常數.下面，將針對低維空間(n≤3)證明這個逼近因子確實與剖分數m無關.

當n=1時，將閉區間[0，a]分成m個小區間，使每個小區間長度為a/m.若?x∈[0，a]，動點x只能落在其中某個閉區間上，不妨設此閉區間為[x1，x2]=[(i-1)a/m，ia/m]，見圖1.

圖1 n=1時區間長度為a/m的等距剖分示意圖

由系數行列式得矩陣模‖D1‖=a/m.進而獲得

圖2 n=2時邊長為a/m的小正方形的剖分示意圖

按方程組(2)中系數行列式公式得

再由(2)—(3)式計算得：

證明當n=3時，將正方體[0，a]×[0，a]×[0，a]等距剖分成邊長為a/m的m3個小正方體，再對每個小正方體沿對角面等分成若干小四面體(不計個數)，且直角邊長仍為a/m.為簡單起見，只在xOy面上給出小正方體Δ(a/m)的等距剖分示意圖，參見圖3.

圖3 n=3時邊長為a/m的小正方體Δ(a/m)剖分示意圖

從而矩陣模‖D3‖=(a/m)3.此外，由(2)—(3)式容易獲得：

再依據矩陣模定義立刻獲得

綜上所述，對n=1，2，3低維空間來說，逼近因子中所含剖分數m恰好被抵消掉，亦即，逼近因子與剖分數m無關.然而，這到底是偶然還是必然僅憑目前情況尚不能確定.為此，它促使人們猜想在一般情況下逼近因子與剖分數m的取值是否也無關? 對此問題本文暫不予討論.