一類Kadomtsev-Petviashvili和(3+1)維KdV型方程的新行波解

林府標，張千宏

(貴州財經大學數統學院，貴州 貴陽 550025)

0 引言

目前雖然已經提出了精確求解非線性偏微分方程的許多行之有效的方法，例如齊次平衡法[1-3]，指數函數法[4-5]，廣義Tanh函數法[6-8]，試探函數法[9-11]等，但是求解非線性偏微分方程并沒有普遍適用的統一方法，而且許多重要的非線性偏微分方程至今還沒有找到精確解.因此，繼續探索精確求解非線性偏微分方程的新方法和給出新的精確解是一項有實際意義和探究價值的工作.下列Riccati方程在流體力學、彈性振動理論、生物學等眾多領域有著廣泛且重要的應用：

(1)

特別地，廣義Tanh函數法的關鍵思想就是充分利用Riccati方程(1)進行反復計算，將φ的所有導數轉化成關于φ的代數多項式，從而把非線性偏微分方程的精確求解問題歸結為非線性代數多項式方程根的探究問題.另外，運用Riccati方程(1)的一個好處是參數b的符號可用于判斷所得行波解的數量和形狀.

眾所周知，Riccati方程(1)具有三角函數和有理函數類型的顯式精確解[6-8].另外，文獻[12]給出了Riccati方程(1)的12種類型的顯式精確解.運用試探函數法結合Matlab軟件計算給出 Riccati方程(1)的8種類型的顯式新精確解，其結果列于表1，而表1中的顯式精確解在文獻[6-8，12]中并沒有給出.

本文首先用試探函數法結合Matlab軟件計算尋找Riccati方程(1)的顯式新精確解；其次運用所獲得的Riccati方程(1)的新精確解構造精確求解非線性演化偏微分方程的exp(-ψ(ξ))展式法；最后采用廣義Tanh函數法和exp(-ψ(ξ))展式法求解一類Kadomtsev-Petviashvili方程和(3+1)維KdV型方程的顯式新行波解.

表1 Riccati方程(1)的顯式新精確解

1 exp(-ψ(ξ))展式法的求解步驟

許多非線性偏微分方程[8-11]不能采用廣義Tanh函數法[6-8]獲得其精確解，例如不易找到精確解的Rosenau方程ut+uxxxxt+ux+uux=0.因此，為了尋找非線性演化偏微分方程的更多精確解，利用表1中Riccati方程(1)的精確解構造exp(-ψ(ξ))展式法.事實上，在Riccati方程(1)中若令φ=exp(ψ(ξ))，則Riccati方程(1)可轉化變形為

(2)

其中ψ=lnφ(ξ)，而函數φ=φ(ξ)為Riccati方程(1)的解，其具體表達式可根據b的符號從表1中選取.考慮一般形式的非線性演化偏微分方程

F(u，ut，ux，uy，utt，uxx，uyy，uxt，…)=0.

(3)

其中：u=u(t，x，y)是未知函數；F是關于u和它的各階偏導數的多項式，并且含有最高階導數項和非線性項.

第一步 作行波變換ξ=x-ct+ky，其中c，k為常數.假設方程(3)具有形如u(t，x，y)=v(ξ)的解，從而方程(3)約化變形為常微分方程

F(v，-cv′，v′，kv′，c2v″，v″，k2v″，-cv″，…)=0.

(4)

第二步 若可能，則先對方程(4)兩邊同時關于ξ積分1次或多次，然后假設方程(4)的解的表達式可寫成

v(ξ)=b0+b1exp(-ψ(ξ))+…+bn(exp(-ψ(ξ)))n.

(5)

其中：ψ=ψ(ξ)滿足方程(2)；正整數n可利用齊次平衡原理[1-3]通過方程(4)中最高階導數項和非線性項得到；bi(i=0，1，…，n)為待定實參數.

第三步 將v=v(ξ)的表達式(5)代入方程(4)，反復采用方程(2)結合Matlab軟件計算整理可得到關于exp(ψ(ξ))的多項式.因此分別令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…)的各項系數為零，即可獲得關于bi(i=0，1，…，n)，b，c，k的代數方程組.

第四步 利用吳消元法[13]結合Matlab軟件計算將求出的常數bi(i=0，1，…，n)，b，c，k代入方程(5)，可寫出方程(3)的新行波解，其中ψ=lnφ(ξ)，而函數φ=φ(ξ)可根據b的符號從表1中選取.

注1 對于未知函數u=u(t，x)，u=u(t，x，y，z)的情形，可類似地寫出exp(-ψ(ξ))展式法的求解步驟.

2 Kadomtsev-Petviashvili方程的新行波解

先考慮(2+1)維常系數Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程：

(6)

其中α，β，γ均為自由參數.KP方程(6)可看作KdV方程在高維情形的推廣，它可用于描述水波的運動.作行波變換，令ξ=x-ct+ky，其中c，k為常數，且假設u(t，x，y)=v(ξ)為方程(6)的解.則方程(6)可約化為常微分方程βv″″+(γk2-c)v″+α(v′2+vv″)=0，于是對此方程兩邊同時關于ξ積分1次，并令積分常數為零得到

βv?+(γk2-c)v′+αvv′=0.

(7)

根據exp(-ψ(ξ))算法(5)的核心思想和齊次平衡原理[1-3]，在方程(7)中平衡v?和vv′項得到n=2.因此，假設方程(7)的解的表達式可寫成

v(ξ)=b0+b1exp(-ψ(ξ))+b2(exp(-ψ(ξ)))2.

(8)

其中:b0，b1，b2為待求常數；函數ψ=ψ(ξ)滿足方程(2).于是把(8)式代入方程(7)，反復利用方程(2)計算整理得關于exp(ψ(ξ))的多項式，分別令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…，5)的系數為零得到關于b0，b1，b2，b，α，β，γ，c，k的代數方程組：

bb2(αb2+12b2β)=0，bb1(αb2+2b2β)=0，b1(αb0+2bβ-c+γk2)=0，

(9)

其中：b0為自由常數；ψ=lnφ(ξ)，而函數φ=φ(ξ)可從表1中根據b的符號依次選取.進而可寫出行波解(9)的具體表達式，但文獻[14]并沒有給出精確解.

類似地，利用廣義Tanh函數法[6-8]結合齊次平衡原理[1-3]，假設方程(7)的解的表達式可寫成

v(ξ)=b0+b1φ(ξ)+b2φ2(ξ).

(10)

其中：b0，b1，b2為待求常數；函數φ=φ(ξ)滿足Riccati方程(1).于是把(10)式代入方程(7)，反復利用Riccati方程(1)計算整理得關于φ的多項式，因此分別令φj(j=0，1，…，5)的系數為零得到關于b0，b1，b2，b，α，β，γ，c，k的代數方程組：

b2(αb2+12β)=0，b1(αb2+2β)=0，bb1(αb0+2bβ-c+γk2)=0，

(11)

其中：b0為自由常數；函數φ=φ(ξ)可根據b的符號從表1中依次選取.從而可寫出行波解(11)的具體表達式，但文獻[14]并沒有給出精確解.

考慮(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程[15]

(12)

作行波變換ξ=x-ct+ky+λz，其中c，k，λ為常數，且假設u(t，x，y，z)=v(ξ)是方程(12)的解.則方程(12)可約化為常微分方程v″″+(c+k2+λ2)v″-6v′2-6vv″=0，對此方程兩邊同時關于ξ積分1次，并取積分常數為零得到

v?+(c+k2+λ2)v′-6vv′=0.

(13)

依據exp(-ψ(ξ))展式法(5)和齊次平衡原理[1-3]，在方程(13)中平衡v?和vv′項得到n=2.因此，方程(13)的解的表達式可假設寫為

v(ξ)=d0+d1exp(-ψ(ξ))+d2(exp(-ψ(ξ)))2.

(14)

其中：d0，d1，d2為待定常數；函數ψ=ψ(ξ)滿足方程(2).把(14)式代入方程(13)，反復利用方程(2)結合Matlab軟件計算得關于exp(ψ(ξ))的多項式，分別令(exp(ψ(ξ)))j(j=0，1，…，5)的系數為零，得到關于d0，d1，d2，c，k，λ，b的代數方程組：

bd2(d2-2b2)=0，bd1(3d2-b2)=0，-8b2-bc+6bd0-bk2-bλ2+18d2=0，

(15)

其中：d0，c，k，λ為常數；ψ=lnφ(ξ).根據b的符號，從表1中選取函數φ=φ(ξ)可寫出解(15)的具體表達式，但文獻[15-18]并沒有給出精確解.

同理，依據廣義Tanh函數法[6-8]結合齊次平衡原理[1-3]可設方程(13)的解的表達式為

v(ξ)=d0+d1φ(ξ)+d2φ2(ξ).

(16)

其中：d0，d1，d2為待定常數；函數φ=φ(ξ)滿足Riccati方程(1).把(16)式代入方程(13)，反復利用Riccati方程(1)結合Matlab軟件計算得關于φ的多項式，分別令φj(j=0，1，…，5)的系數為零，得到關于d0，d1，d2，c，k，λ，b的代數方程組：

d1(-18bd2+8b+c-6d0+k2+λ2)=0，bd1(2b+c-6d0+k2+λ2)=0，

(17)

其中d0，c，k，λ為常數.根據b的符號，從表1中選取函數φ=φ(ξ)可寫出解(17)的具體表達式，但文獻[15-18]并沒有給出精確解.

3 (3+1)維KdV型方程的新行波解

考慮(3+1)維KdV型方程[19]

(18)

作行波變換ξ=x-ct+ky+λz，c，k，λ為常數，且假設u(t，x，y，z)=v(ξ)是方程(18)的解.則方程(18)可約化為常微分方程

λv(5)+kv?+30λv′v?+60λv′3-cv′+6kv′2=0.

(19)

類似地，利用廣義Tanh函數法[6-8]和exp(-ψ(ξ))展式法(5)求解方程(19)可獲得方程(18)的行波解.為了行文簡潔，省略其求解過程，僅給出方程(18)行波解的結果：

其中：c0，c，k，λ為常數，且k2+4cλ≥0；ψ=lnφ(ξ)，而函數φ=φ(ξ)可根據b的符號從表1中選取.上述找到的精確解文獻[18-19]并沒有給出.

4 結論

找到了Riccati方程的8種類型的新精確解，利用Riccati方程的新精確解構造了exp(-ψ(ξ))展式法，此方法可用于求解非線性偏微分方程.采用廣義Tanh函數法和exp(-ψ(ξ))展式法獲得了(2+1)和(3+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程及(3+1)維KdV型方程的新行波解.把Riccati方程的顯式新精確解結合廣義Tanh函數法和exp(-ψ(ξ))展式法可用于求解其他一些非線性演化偏微分方程的新精確解，例如文獻[15]中求解的Potential Kadomtsev-Petviashvili(PKP)方程uxt+3/2uxuxx+1/4uxxxx+3/4uyy=0.