滾動關節軸承摩擦力矩檢測裝置設計及運動分析

季曄，宗曉明，高飛，權思佳，盧陽

(1.洛陽理工學院，河南 洛陽 471023；2.中航光電科技股份有限公司，河南 洛陽 471003；3.洛陽軸承研究所有限公司，河南 洛陽 471039；4.河南科技大學，河南 洛陽 471003；5.高端軸承摩擦學技術與應用國家地方聯合工程實驗室，河南 洛陽 471003)

摩擦力矩是評價和影響軸承質量的重要參數，摩擦對軸承性能研究的重要性日益得到重視，摩擦學也成為軸承研發的基礎理論，各國學者在Palmgren[1]軸承摩擦力矩計算公式的基礎上開展了大量研究[2-3]。文獻[4]研究了角接觸球軸承溝曲率半徑系數對摩擦力矩的影響；文獻[5]建立了推力球軸承動力學模型和摩擦力矩數學模型，得到了不同工況對軸承摩擦力矩的影響。近些年，國外學者研究了軸承摩擦力矩與潤滑油性質、溫度、載荷等因素之間的關系，研制了針對性的軸承摩擦力矩測量系統[6]。文獻[7]基于傳遞測量法研制了帶密閉容腔的軸承摩擦力矩測試儀；文獻[8]研制了雙杠桿式軸承摩擦力矩測量系統；文獻[9]研制了M992微型軸承轉動摩擦力矩測量儀；文獻[10]設計了圓錐滾子軸承摩擦力矩測量儀。

滾動關節軸承主要用于精密機械，要求具備零間隙、高運動精度、高剛度和低阻尼等特點，與之配套的摩擦力矩等性能參數測量裝置在國內未見報道，有必要進行相關研究。根據滾動關節軸承的運動特點，其摩擦力矩測量儀器需具備3個獨立的空間轉動自由度，可以采用并聯機構實現[11-13]。文獻[14]研究了3-PSU&S三轉動自由度并聯機構的運動學設計問題，分析了閉環矢量法建立機構位置逆解模型，推導出關節空間與操作空間的速度映射模型；文獻[15]以一種三轉動自由度數控臺為對象,研究了該機構的奇異位形、工作空間及尺度綜合；文獻[16-17]對三轉動并聯機構進行了結構類型綜合，設計了一種能輔助實現人體踝關節運動的三轉動并聯機構，并對其進行了運動學分析；文獻[18]基于G_F集理論提出了一種具有三轉動運動特征的四支鏈并聯機構構型方法。

綜上分析，本文設計了一種用于滾動關節軸承摩擦力矩測量的混聯機構。針對測量裝置的核心單元——三轉動并聯機構，利用螺旋理論分析了機構運動原理，建立機構輸入、輸出關系方程并推導出輸入、輸出運動學關系表達式。給定尺度參數，分析了運動平臺工作空間、位置正解方法，并根據某一摩擦力矩檢測路徑得到了機構運動學參數變化規律。

1 滾動關節軸承結構

如圖1所示，滾動關節軸承由推力桿、軸承座、滾動體和保持架組成。軸承座上有4個用于連接固定的螺栓孔，推力桿末端通過外螺紋與其他桿件相連，另一端為球頭，安放于保持架內。目前，該類軸承主要由日本企業生產，國內仍缺乏此類軸承性能檢測的相關設備。

1—保持架；2—滾動體；3—軸承座；4—螺栓孔；5—推力桿

2 滾動關節軸承摩擦力矩檢測裝置

滾動關節軸承摩擦力矩檢測裝置如圖2所示，由三轉動并聯機構、移動平臺、光杠、絲杠、固定平臺等部分構成。

1—底座；2—移動平臺；3—右立柱；4—上壓板；5—滾動關節軸承；6—凸緣；7—三轉動并聯機構；8—左立柱圖2 摩擦力矩檢測裝置機械結構圖Fig.2 Mechanical structure diagram of friction torque measuring device

滾動關節軸承通過軸承座上的螺栓孔與并聯機構運動平臺相連，推力桿通過末端螺紋與凸緣相連，凸緣與上壓板連接，并聯機構通過球面副與移動平臺鉸接。立柱支承移動平臺，通過調整立柱高度向軸承施加不同的預緊力，等同于拉壓試驗機。

滾動關節軸承摩擦力矩檢測裝置的機構原理如圖3所示，待檢測軸承的推力桿通過凸緣與上固定平臺相連，移動副調整移動平臺高度至合適位置，軸承座與并聯機構運動平臺固定連接。三轉動并聯機構驅動支鏈運動，帶動滾動關節軸承任意方向轉動。摩擦力矩檢測完成后，將軸承從檢測設備中取下。

1—移動副；2—移動平臺；3—三轉動并聯機構；4—滾動關節軸承

3 三轉動并聯機構設計與分析

三轉動并聯機構是檢測裝置的核心單元，其構型取決于各支鏈結構，支鏈的運動螺旋和約束螺旋則決定著運動平臺的自由度。運動平臺具有三轉動自由度，需要支鏈限制其3個移動自由度，且具有3個驅動支鏈。因此，選用SRRR結構為驅動支鏈，其中S為球面副，R為轉動副。如圖4所示，支鏈S1處為S副，與地面相連；A1，B1，R1處為3個R副，其轉動軸線平行。

圖4 SRRR支鏈結構Fig.4 Structure of SRRR-limb

在S副處建立笛卡爾坐標系，支鏈的運動螺旋為

(1)

支鏈的約束螺旋為

(2)

式中：L1,L2,M1,M2為非零實數。

支鏈提供一個約束運動平臺沿z方向的移動自由度。選取同樣的3條SRRR支鏈，運動平臺喪失1個移動自由度；增加1條從動支鏈，該支鏈只有1個位于運動平臺幾何中心的S副，設計的并聯機構為3-SRRR/S，如圖5所示。

圖5 3-SRRR/S并聯機構Fig.5 Parallel mechanism of 3-SRRR/S

3-SRRR/S并聯機構中，S1，S2，S3與檢測裝置移動平臺相連，待檢測軸承的軸承座與運動平臺上的螺紋孔相連。顯然，由于僅存在1個S副，從動支鏈具有空間3個轉動自由度運動螺旋，3個約束移動的反螺旋。

機構各支鏈均約束平臺沿z軸的移動自由度，存在一個公共約束，因此機構階數降為5；SiAi(i=1,2,3)構件可以繞自身旋轉，為局部自由度。根據修正的Kutzbach-Grübler公式，機構的自由度為

5×(11-13-1)+21-3=3，

(3)

式中：F為機構的自由度數；λ為機構的階數；n為構件數；g為運動副數；fi為第i個運動副的自由度數；ν為去除公共約束后的冗余約束數(機構中不存在)；ζ為機構中存在的局部自由度數。

綜上所述，機構運動平臺可以實現空間三轉動自由度。

4 機構運動學建模

4.1 位置關系分析

根據圖5所示并聯機構，以S1A1B1R1驅動支鏈為分析對象，在△A1B1R1中定義

θ1=∠A1B1R1，

(4)

根據余弦定理可得

(5)

絞點S1與R1之間的距離記為l1，根據支鏈幾何關系和機構學原理可得

(6)

同理，其余2條驅動支鏈也存在上述幾何關系，則

。(7)

(8)

T=TzTyTx，

(9)

式中：P為動平臺中心點矢量，即O′x′y′z′坐標系在Oxyz坐標系下的位置矢量；Tx，Ty，Tz為旋轉變換矩陣；α，β，γ分別為滾動(Roll)、俯仰(Pitch)、偏轉(Yaw)角的RPY角表示。

li(i=1,2,3)在Oxyz坐標系下的矢量可以表示為

li=ri-Si，

(10)

式中：Si為與地面連接的球面副在Oxyz坐標系下的位置矢量。

(11)

機構的輸入參數為θi，輸出參數為運動平臺姿態角α，β,γ。通過(7)式和(11)式即可得到機構的輸入、輸出位姿關系。

4.2 速度關系方程

將(7)式對時間求導可得

(12)

機構速度逆雅可比矩陣Jinv為

將(11)式對時間求導可得

(13)

機構速度正雅可比矩陣Jdir為

根據(12)式和(13)式可以得到機構輸入角與姿態角變化率之間的關系。運動平臺角速度與姿態角和姿態角變化率滿足

(14)

式中：ωx，ωy，ωz為Oxyz坐標系下運動平臺繞x軸、y軸和z軸轉動的角速度。

4.3 加速度關系方程

將(12)式對時間求導可得

(15)

將(13)式對時間求導可得

(16)

將(14)式對時間求導，可得機構運動平臺角加速度為

(17)

5 三轉動并聯機構尺度參數設計與數值算例

5.1 工作空間分析

運動平臺姿態角受O′處S副運動范圍的限制，約束條件為[19]

(18)

驅動支鏈Si處S副的約束條件為[20]

(19)

式中：φ1，φ2，φ3分別為S1，S2，S3處運動副的傾斜角。

除Bi外，機構中的R副可以不約束轉動角度。Bi為驅動副，控制θi的角度變化。受桿長和干涉條件限制，θi的約束條件為

(20)

α-β和α-γ姿態角的工作空間如圖6所示，計算結果顯示，姿態角工作空間呈球面狀，運動平臺工作空間連續，內部無空洞。

圖6 工作空間截面圖Fig.6 Cross section of workspace

5.2 位置正解分析

機構輸入、輸出參數關系表達式為強耦合非線性方程組，可采用粒子群優化算法(PSO)處理此類高維非線性問題[21]。前期采用較大的權重因子w有利于提高算法的探索能力以得到合適的種子，后期采用較小的w則傾向于局部搜索[22-23]。因此，提出一種動態變權重的PSO算法，w的動態變化值定義為

(21)

式中：wmin為最小權重因子，一般為[0.2,0.5]；wmax為最大權重因子，一般為[0.8,1]；kmax為最大迭代次數；k為當前迭代次數。

在工作空間內，將輸入θi代入(7)式得到li，建立適應度評價函數為

ffitness(α,β,γ)=

(22)

改進PSO算法求得min{ffitness(α,β,γ)}時的X=(αβγ)T即為位置正解初值，再用擬牛頓(Broyden)法進行迭代計算[24]，結果作為位置正解終值。算法的計算區間為整個工作空間，在工作空間內選取10組姿態角進行對比，結果見表1。

表1 姿態角計算結果Tab.1 Calculation results of attitude angle rad

經過多次計算可知，改進PSO算法受隨機初始粒子的影響會使優化結果有所波動，經過一次Broyden迭代計算后精度大大提高，迭代不超過5次即可收斂。

5.3 摩擦力矩測量路徑運動學參數計算

模擬軸承任一運動路徑，并聯機構運動平臺中心點從姿態X0(0.034 907，-0.122 17，-0.157 08)T轉動到姿態Xf(0.087 266，-0.087 27，-0.104 72)T，單位為rad。要求運動時間為5 s，運動平臺初始時刻和終止時刻的角速度和角加速度均為零，采用五次多項式軌跡，運動方程為

X=s0+s1t+s2t2+s3t3+s4t4+s5t5，

(23)

用X表示(αβγ)T，則

(24)

根據X0到Xf姿態的軌跡條件，運動平臺姿態角變化方程為

(25

將(25)式代入(11)式得到li的變化曲線，根據(7)式推導可得

(26)

將li計算結果代入(26)式可以得到輸入角的變化規律，根據已推導出的運動學關系可得輸入角角速度和角加速度的變化規律，如圖7所示。運動平臺姿態角變化過程中，機構輸入角滿足工作空間約束條件，角速度和角加速度曲線初始時刻和終止時刻為0，曲線變化平穩。

圖7 轉動運動發生器運動學參數變化曲線Fig.7 Variation curve of kinematic parameters of rotational motion generator

6 結束語

1)設計了用于滾動關節軸承摩擦力矩測量的混聯機構，機構包括實現一個獨立運動的移動平臺和實現三轉動自由度的新型并聯機構。

2)建立了三轉動并聯機構的輸入、輸出運動學模型，計算了機構運動平臺工作空間和位置正解，隨機選取一條摩擦力矩檢測路徑得到了機構運動學參數的變化規律。

3)機構分析計算結果為摩擦力矩檢測系統控制策略研究和軟件開發奠定了理論基礎。

除用于軸承摩擦力矩測量外，該裝置也可以用于旋轉精度等軸承性能指標的測量。工業生產對設備精度要求越來越高，能耗要求越來越低，滾動關節軸承可以在大幅度空間靈活轉動，且能量損失明顯小于滑動關節軸承，開發相應的測量設備保證產品質量和使用性能有顯著意義。