等量異號雙環電荷在軸線上產生勻強電場條件的研究*

周群益

(廣州理工學院通識教育學院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長沙學院電子信息與電氣工程學院 湖南 長沙 410022)

侯兆陽

(長安大學理學院 陜西 西安 710064)

周麗麗

(贛南醫學院醫學信息工程學院 江西 贛州 341000)

1 引言

兩個半徑和電流大小方向都相同的共軸通電線圈的距離等于半徑時，中間部分接近于勻強磁場，這種線圈稱為亥姆霍茲線圈[1～3]．兩個大小相同的共軸圓環帶有等量異號電荷時，簡稱為帶電雙環．當雙環很近時，在遠處產生的電場等效于一個電偶極子產生的電場[4]．與亥姆霍茲線圈類似，當兩環之間的距離等于某一臨界距離時，兩環之間的電場接近于勻強電場．文中說明了雙環之間的場強隨距離變化的規律，求出了臨界距離和臨界電場．

2 軸線上的電場隨距離的變化

如圖1所示，取z軸為兩環共軸，原點取在兩環正中間．設兩個圓環的半徑為a，距離為2L，均勻帶有等量異號電荷±Q．

圖1 等量異號共軸雙環電荷的場強

當均勻正負圓環電荷中心位于原點時，在軸線上產生的場強為[2～4]

(1)

場強和距離無量綱化處理后關系如圖2所示，帶正電荷的圓環在軸線上產生的場強用先負后正的虛線表示，帶負電荷的圓環在軸線上產生的場強用先正后負的點虛線表示，當兩環重合時，L=0,合場強為零用實線表示．

圖2 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 0)

兩條曲線都有一個“峰”，E±(z)對z求導數，可得

(2)

(3)

如圖3所示，正電荷向左,負電荷向右拉開雙環，當L= 0.1a時，原點處的合場強形成一個“峰”，稱為“主峰”．“主峰”附近的電場并不均勻．

圖3 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 0.1a)

繼續拉開雙環，“主峰”不斷長高．如圖4所示，當L= 0.707 11a時，兩個環的“峰”重疊，合場強的“主峰”達到最高．

圖4 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 0.707 11a)

繼續拉開雙環，“主峰”不斷降低．如圖5所示，當L=a時，兩個環的“峰”錯開，“主峰”降低一些．

圖5 雙環電荷軸線上的電場強度(L = a)

繼續拉開雙環，“主峰”將分裂為兩個對稱的“次峰”．如圖6所示，當L= 2a時，“主峰”變成了“主谷”．“主谷”附近的電場也不太均勻．

圖6 雙環電荷軸線上的電場強度(L = 2a)

3 軸線上的臨界距離和臨界電場

在“主谷”的兩側各有一個對稱的拐點．如果減少雙環之間的距離，兩個拐點將向中垂線靠攏．當兩個拐點恰好在中垂線重合時，“主谷”消失，兩個“次峰”就合并為一個“平峰”，這個距離是臨界距離．

在圖1中，左環正電荷在場點軸線點P處產生的電場強度為

(4)

右環負電荷在軸線上場點P處產生的電場強度為

(5)

合場強為

E(z) =E1(z) +Ez(z)=

(6)

L是兩環之間的半距離，是決定場強分布規律的參數．將E(z)對z求導數得

(7)

二階導數為

(8)

解得

(9)

2LC是兩環之間的臨界距離，LC就是臨界半距．這種雙環稱為臨界雙環或亥姆霍茲雙環．臨界雙環在z= 0處的臨界場強為

(10)

臨界雙環的電場強度如圖7所示，在原點附近電場比較均勻．

圖7 臨界雙環軸線上的電場強度(L = LC)

4 公式的無量綱化和MATLAB程序

取半徑a為長度單位，則無量綱的坐標和距離為

(11)

(12)

MATLAB的計算功能和圖形功能都很強，根據公式可設計一個簡短的程序，完成各種曲線的計算和繪制(見附錄)．

5 結束語

靜電學和恒磁學往往有一些相似的問題．既然亥姆霍茲線圈可以在軸線上產生均勻磁場，也應該存在“亥姆霍茲雙環”在軸線上產生均勻電場．這是一種十分有趣的聯想．利用亥姆霍茲線圈磁場的求法，即可求得臨界雙環的電場．

利用MATLAB能夠簡單地求出臨界距離，還可以將雙環電荷所形成的電場隨距離的變化過程用動畫演示出來．