基于核心素養建構圓模型 圓滿解決電磁學問題*

陳紅林

(曲靖市第二中學 云南 曲靖 655000)

1 構建圓模型解決電場問題

電場強度和電勢作為描述電場力的性質與能的性質兩個重要物理量，在高考中經常涉及.而點電荷作為一種重要特殊的物理模型，要充分利用圓或球的相關性質進行物理建模，比如點電荷的等勢球面；點電荷任意半徑R的球面上各點場強大小相等；均勻帶電球殼或者球體在球外空間產生的電場可以等效于電荷集中于球心處的點電荷；等量同種電荷關于連線中心對稱的兩點場強大小相等、方向相反；等量異種電荷關于連線中心對稱的兩點場強相同等等，都可以科學地建構圓或球的模型來解決電場相關問題.

【例1】均勻帶電的球殼在球外空間產生的電場等效于電荷集中于球心處產生的電場.如圖1(a)所示，在半球面AB上均勻分布正電荷，總電荷量為q，球面半徑為R，CD為通過半球頂點和球心O的軸線，在軸線上有M和N兩點，OM=ON=2R.已知M點的場強大小為E，則N點的場強大小為( )

圖1 例1題圖

圖2 例2題圖

解析：如圖2(b)在半球體AB右側補上另一個電荷量為q的半球體，則建立了一個均勻帶電荷量為2q的球體模型，由對稱性可知，右半球在M點的電勢φM′等于左半球在N點的電勢，即

φN=φM′

(1)

根據球體內M點與O點電勢相等得

(2)

由式(1)、(2)解得

(3)

故選項B正確.

以上兩個例題在學生正確的物理觀念前提下，先通過假設法來建立球體模型，再采用對稱的思想進行科學推理最后得出正確結論.充分體現了物理核心素養中的物理觀念與科學思維.

2 構建圓模型解決磁場中的問題

帶電粒子在均勻磁場中垂直于磁場的平面內運動軌跡為圓，所以要在充分利用圓的相關性質上去建構軌跡圓模型，常用的軌跡圓模型有如下幾種:

(1)對于在磁場中入射速度方向恒定、大小變化的粒子，可以如圖3建構“放縮圓”解決臨界問題，如當圓軌跡與直線邊界相切時存在臨界值.

圖3 放縮圓

(2)對于在磁場中入射速度大小恒定、方向變化的粒子，可以如圖4建構“旋轉圓”解決臨界問題.

圖4 旋轉圓

設粒子運動半徑為R，則平面內有粒子通過的最大面積為4πR2，粒子能達到的最遠距離為2R.

(3)沿圓形磁場半徑方向射入磁場的粒子，必沿半徑方向射出磁場(即徑向入射必徑向出射).

(4)當圓形磁場的半徑與軌跡圓半徑相等時，存在兩條特殊規律，如圖5所示.

規律一：帶電粒子從圓形有界磁場邊界上某點射入磁場，則粒子的出射速度方向與圓形磁場上入射點的切線方向平行，如圖5(a)一點發散成平行.

規律二：平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子，其所有粒子都從磁場邊界上的同一點射出，并且出射點的切線與入射速度方向平行，如圖5(b)平行會聚于一點.

圖5 圓形磁場的聚焦問題

圖6 例3題圖

解析：根據旋轉圓法作圖建構如圖7所示的圓模型，可知帶電粒子可能經過的區域為選項A.

圖7 圓模型

【例4】如圖8所示，一足夠長的矩形區域abcd內充滿方向垂直紙面向里的、磁感應強度為B的勻強磁場，在ad邊中點O，垂直于磁場射入一速度方向與ad邊夾角θ=30°，大小為v0的帶正電粒子.已知粒子質量為m，電荷量為q，ad邊長為L，ab邊足夠長，粒子重力不計，求：

(1)粒子能從ab邊上射出磁場v0的大小范圍；

(2)如果帶電粒子不受上述v0大小范圍的限制，求粒子在磁場中運動的最長時間.

圖8 例4題圖

解析：此題屬于入射速度方向恒定、大小變化的粒子，如圖9所示可以改變軌道半徑畫放縮圓，當半徑為R1時軌跡與ab邊相切其速度最小；半徑為R2時軌跡與dc邊相切其速度最大.

(a)

由幾何關系得

(4)

(5)

又因為

(6)

聯立上式得

(7)

如圖9由對稱性可得粒子在磁場中運動的最長時間為

(8)

【例5】(2009年高考理綜海南卷)如圖10所示，ABCD是邊長為a的正方形.質量為m，電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區域.在正方形內適當區域中有勻強磁場.電子從BC邊上的任意點入射，都只能從A點射出磁場.不計重力，求：

圖10 例5題圖

(1)此勻強磁場區域中磁感應強度的方向和大小；

(2)此勻強磁場區域的最小面積.

(2)如圖11所示，以D為圓心，a為半徑的圓周與電子最上邊軌跡CEA圓弧所圍的區域，就是所求的最小磁場區域.其面積為

圖11 例5題分析圖

例3，例4和例5這3個例題以帶電粒子的軌跡圓分別建立旋轉圓、放縮圓、磁聚焦物理圓模型，讓學生運用抽象與聯想、推演與計算、模型與建模等思維方法來組織、調動相關的知識與能力，解決生活實際情境或學習探索情境的問題[1].