基于切比雪夫不等式地震人員傷亡評估

王 野，于建杰，余世舟

(中國地震局工程力學研究所，中國地震局地震工程與工程振動重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080 )

我國是一個破壞性地震頻發的國家，近幾十年來隨著經濟的高速發展，財富集中、人口密集，地震風險增加，為減少地震造成的損失，開展震害預測工作對地震預防和震后應急尤為重要。其中，地震人員傷亡評估結果是震前預防和震后應急工作的重要參考依據[1-7]。

對比國內外已有研究成果，地震人員傷亡的評估方法，按照結果表達方式來分，則主要分為兩類，其一是給出地震造成人員傷亡的期望值，如國外的Samardjieva等學者[8]根據1990年以來的全球范圍內的地震震害人員傷亡統計數據，回歸分析得到的基于全球尺度下的人員傷亡和震級之間的公式，給出在不同震級下人員傷亡的期望值；國內的肖光先[9]以房屋破壞間數作為主要參數，并同時考慮相對人口密度的影響，總結得出近似的人員傷亡期望值經驗計算公式；劉吉夫等[10]收集了大量國內破壞性地震的數據，并考慮了死亡率為0時的特殊情況，擬合給出新的地震人員傷亡期望值評估模型；鄭山鎖、張睿明等[11]在考慮了不同時段人員在室率、人員密度以及不同結構類型破壞下人員傷亡率的情況下，給出了地震傷亡評估模型，并通過算例驗算，驗證其評估模型的合理性和正確性。其二是給出地震造成人員傷亡數在某一范圍內的概率，如李帆等[12]考慮了人員密度、在室率和結構不同破壞狀態下人員死亡率，通過運用中心極限定理，給出了在不同給定預測概率下的死亡人數上限；USGS于2007年發布的全球地震快速評估系統PAGER[13],在人員損失評估方面，給出基于歷史震害數據回歸分析得到的經驗評估模型，從而得到人員傷亡數落在某兩個閾值間的概率。

總結人員傷亡評估方法現狀可發現，有些評估方法雖然考慮到了建筑結構易損性對傷亡的影響，但其往往只能給出人員傷亡的期望值，由于實際房屋建筑的震害表現具有很強的不確定性，單一的期望值估算不能充分評估描述震害損失的不確定性。還有些評估方法雖然能給出某一人員傷亡范圍的概率，但多是基于歷史傷亡數據的統計分析結果給出的，未考慮區域建筑結構易損性差異。

因此，本文基于建筑結構易損性，采用切比雪夫不等式分析結構震害的不確定性變化范圍，給出地震人員傷亡評估結果的變化函數。并結合算例對比分析評估方法的適用性。

1 震害分布趨勢

建筑結構易損性結果通常以易損性曲線或震害矩陣的形式給出。將建筑結構不同的破壞等級按照震害指數進行劃分，將各破壞等級對應的震害指數范圍中值作為橫坐標，各破壞等級的概率為縱坐標，則可得到在不同烈度下各破壞等級比例的散點圖，并將散點用平滑的曲線進行連接，令其與正態函數曲線對比可發現，其分布趨勢近似服從截斷正態分布。現以某地的單層房屋震害矩陣為例做對比圖，如圖1及表1所示。

表1 某地單層房屋震害矩陣Table 1 Earthquake damage matrix of a single-story building in a certain area

圖1 各烈度下震害指數-概率散點圖與正態函數曲線趨勢圖對比圖Fig.1 Comparison of seismic damage index-probability scatter plot and normal function curve trend graph under different intensity

2 基于切比雪夫不等式的范圍限定

基于震害分布趨勢及切比雪夫不等式對分布函數曲線各區間的概率估計方法，可給出各破壞等級可能的比率限定范圍。

首先根據1中震害分布趨勢所述可知某一烈度下各破壞等級比例曲線分布趨勢近似服從截斷正態分布，則可根據易損性曲線或震害矩陣，以不同破壞等級對應的震害指數為橫坐標，各破壞等級的概率為縱坐標，進行正態分布擬合，給出正態分布函數N(μ,δ2)。則震害分布為N(μ,δ2)/P{0≤X≤1}在[0～1]間的截斷部分。

其次基于切比雪夫不等式可計算出各破壞等級的比例上限，計算見下式(1)。

(1)

式中：P{0≤X≤1}為正態函數N(μ,δ2)在[0～1]間的概率；K為破壞等級比例約束上限；ζ1、ζ2分別為破壞等級對應的震害指數范圍的兩個邊界值到均值μ的距離，如K為建筑物基本完好比例約束上限，則ζ1、ζ2為基本完好對應的震害指數范圍的兩個邊界值到均值μ的距離。

3 不確定性的評估方法

基于建筑結構易損性，考慮人員在室率、各破壞等級對應的經驗傷亡率，即可估算因建筑破壞而導致的人員傷亡。

根據前文切比雪夫不等式約束后的各破壞等級比例變化范圍，即可給出地震造成人員傷亡最值。其中傷亡人數最小值Dmin計算方式為：令約束后的各破壞等級比例變化范圍按照完好、輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞、損壞的順序依次在變化范圍內取上限值，至比例累計到1時停止后續破壞等級的取值(即計算最小值時在各破壞等級比例和為1的前提下，令建筑結構盡可能處在破壞程度輕的等級)，同時考慮人員在室率、各破壞等級對應的經驗傷亡率，即可估算因建筑破壞而導致的人員傷亡最小值Dmin。同理對于最大值Dmax的計算方式為：令約束后的各破壞等級比例變化范圍按照損壞、嚴重破壞、中等破壞、輕微破壞、完好的順序依次在變化范圍內取上限值，至比例累計到1時停止后續破壞等級的取值(即計算最大值時在各破壞等級比例和為1的前提下，令建筑結構盡可能處在破壞程度嚴重的等級)，同時考慮人員在室率、各破壞等級對應的經驗傷亡率，即可估算因建筑破壞而導致的人員傷亡最大值Dmax。

ATC-13方法中假定專家意見的結果按照對數正態分布，并按照專家給出的最大和最小值構成90%的置信區間，給出各烈度地震破壞損失率的對數正態分布[14]。本文借鑒ATC-13方法給出損失率分布函數的研究思路，以正態分布函數距均值處3倍標準差距內構成約99.7%為置信區間，給出人員傷亡分布函數曲線。其中以傷亡人數最大值Dmax最小值Dmin對數均值近似作為函數均值μD，計算見式(2)，按照滿足置信區間約為99.7%的要求，以6倍標準差距離為限值求出函數標準差δD，如式(3)所示，進而給出變化函數及趨勢圖。

μD=(lg(Dmax)+lg(Dmin))/2.

(2)

δD=(lg(Dmax)-lg(Dmin))/6.

(3)

4 算例分析

基于某城市震害預測的基礎信息，以多層砌體房屋為例，對上述方法進行算例分析。該城市多層砌體房屋震害矩陣如下表2所示，給出該城市多層砌體房屋各烈度下的對數死亡人數函數曲線的過程為以下幾步：

表2 某城市多層砌體房屋震害矩陣Table 2 Earthquake damage matrix of a multistory masonry building in a city

表3 各烈度下正態分布函數相關參數 Table 3 Relevant parameters of normal distribution function under each intensity烈度μδⅥ-0.16990.2050Ⅶ0.17090.2352Ⅷ0.45460.2277Ⅸ0.63190.2081Ⅹ1.52580.6006表4 多層砌體房屋在不同烈度下死亡人數Table 4 The death toll of multi-storey masonry houses under different intensity烈度DmaxDDminⅥ000Ⅶ1780Ⅷ258530Ⅸ6663571Ⅹ3507146427

1)將建筑物破壞等級按照震害指數進行數值化，以破壞等級對應的震害指數為橫坐標，對應的概率為縱坐標，進行正態分布擬合，給出在各烈度下的正態分布函數N(μ,δ2)，具體參數見表3。

2)按照式(1)，可計算得到各烈度下各破壞等級比例約束上限。并根據各破壞等級比例約束上限，按照前文所述傷亡人數最值各破壞等級比例取值方法及傷亡人數計算方式，即可計算出各烈度下人員傷亡數最大值Dmax和最小值Dmin。同時為便于對比分析，采用傳統基于建筑結構易損性的傷亡人數評估方法計算出基于建筑物易損性的死亡人數期望值D。見表4。

3)依據公式(2)、(3)計算出該城市多層砌體房屋在不同烈度下的對數死亡人數變化函數，如下表5及圖2所示，其中表5中“-”表示在該烈度下無人員死亡，故無對數死亡人數函數曲線；圖2中圓點的標注信息為采用傳統評估方法得到的死亡人數期望值D在該函數曲線上的對數值及超越概率。

表5 多層砌體房屋在不同烈度下對數死亡人數函數相關參數Table 5 Relevant parameters of logarithmic death toll function for multi-storey masonry buildings under different intensities

地震造成的人員傷亡具有很大的不確定性，傳統的期望值評估結果并不能反映預測結果的不確定性，無法給出某個數量級、某個范圍內或超過某個關心閾值的可能性有多大。而不確定性分布函數曲線評估結果則可以根據曲線在某個范圍的積分給出相應的概率數值表達。

分析算例評估結果：

(1)可以給出地震造成死亡人數基于超越概率的表達。某一死亡人數的超越概率即為超過此死亡人數的部分函數曲線與橫坐標軸x=0所包圍的面積。如圖2(c)中多層砌體房屋在Ⅸ度下死亡人數達到357人的超越概率為0.0079。

(2)可以給出所關注的閾值區間的概率，即為兩個死亡人數閾值區間的部分函數曲線與橫坐標軸x=0所包圍的面積。如圖2(d)中多層砌體房屋在Ⅹ度下死亡人數在100人和1000人之間的概率為0.8436。

(3)人員傷亡是結構易損性的體現。本文方法是基于結構易損性結果給出的，能很好的反映地震作用強度及結構易損性的變化對評估結果的影響。

(4)傳統的期望值評估結果，也不一定落在發生概率較高的范圍內，而是隨地震作用強度、易損性結果變化而變化的。初步分析是由于傷亡是易損性結果與不同烈度對應的死亡率相乘導致函數曲線的變化及對數轉換所造成的。

(5)與現有的基于建筑結構易損性人員傷亡期望值評估方法對比可發現，本文方法能給出更多基于概率、超越概率的表達。由于實際房屋建筑的震害表現具有很強的不確定性，本文方法更能滿足對震害損失的不確定性的描述評估。可進一步描述低數量級發生概率高與高數量級發生概率低的風險對比問題。

對擁有多種建筑結構類型的情況，可基于卷積公式，給出同一烈度下的聯合人員傷亡概率密度函數。為便于實際應用，再選取多個人員傷亡閾值處的概率密度函數值，擬合給出對數正態分布函數。同理，給出具有不同烈度的整個評估區人員傷亡對數正態分布函數。

5 總結與展望

本文提出了基于切比雪夫不等式的人員傷亡評估模型，給出人員傷亡函數曲線，得到基于概率、超越概率表達的人員傷亡評估結果，反映了建筑物易損性對傷亡評估結果的影響。相對于基于建筑物易損性的期望值評估方法則更能充分描述評估結果的不確定性。并以算例分析驗證了評估方法的適用性。

然而本文方法仍有不足之處，如函數均值和方差是基于經驗方法給出的，有一定的主觀性，對數正態分布雖是常用的損失表達方式，但忽略了易損性從截斷正態分布到傷亡的對數正態分布的轉變所造成的誤差。為進一步提高人員傷亡評估模型的精確性，在今后的研究中將會用蒙特·卡洛方法對比驗證經驗方法，進而分析給出均值和方差的修正系數。